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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 8.1 直線與方程教案 理 新人教A版
高考導(dǎo)航
考試要求
重難點(diǎn)擊
命題展望
1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,確定直線位置的幾何要素.
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率的計算公式.
3.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.
4.掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
5.掌握用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
6.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會求兩條平行線間的距離.
7.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標(biāo)
2、準(zhǔn)方程與一般方程.
8.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.
9.能用直線和圓的方程解決簡單的問題.
10.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.
11.了解空間直角坐標(biāo)系,會用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,會推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.
本章重點(diǎn):1.傾斜角和斜率的概念;2.根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直;3.直線的點(diǎn)斜式方程、一般式方程;4.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo);5.點(diǎn)到直線的距離和兩條平行直線間的距離的求法;6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程;7.能根據(jù)給定直線,圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;8.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和代數(shù)方法解決幾何問題.
本章難點(diǎn):1.直線的斜
3、率與它的傾斜角之間的關(guān)系;2.根據(jù)斜率判定兩條直線的位置關(guān)系;3.直線方程的應(yīng)用;4.點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo);5.圓的方程的應(yīng)用;6.直線與圓的方程的綜合應(yīng)用.
本章內(nèi)容常常與不等式、函數(shù)、向量、圓錐曲線等知識結(jié)合起來考查.
直線和圓的考查,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬于容易題和中檔題;如果和圓錐曲線一起考查,難度比較大.同時,對空間直角坐標(biāo)系的考查難度不大,一般為選擇題或者填空題.本章知識點(diǎn)的考查側(cè)重考學(xué)生的綜合分析問題、解決問題的能力,以及函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的能力等.
知識網(wǎng)絡(luò)
8.1 直線與方程
典例精析
4、
題型一 直線的傾斜角
【例1】直線2xcos α-y-3=0,α∈[,]的傾斜角的變化范圍是( )
A.[,] B.[,]
C.[,] D.[,]
【解析】直線2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α,
由于α∈[,],所以≤cos α≤,k=2cos α∈[1,].
設(shè)直線的傾斜角為θ,則有tan θ∈[1,],
由于θ∈[0,π),所以θ∈[,],即傾斜角的變化范圍是[,],故選B.
【點(diǎn)撥】利用斜率求傾斜角時,要注意傾斜角的范圍.
【變式訓(xùn)練1】已知M(2m+3,m),N(m-2,1),當(dāng)m∈ 時,直線
5、MN的傾斜角為銳角;當(dāng)m= 時,直線MN的傾斜角為直角;當(dāng)m∈ 時,直線MN的傾斜角為鈍角.
【解析】直線MN的傾斜角為銳角時,k==>0?m<-5或m>1;
直線MN的傾斜角為直角時,2m+3=m-2?m=-5;
直線MN的傾斜角為鈍角時,k==<0?-5<m<1.
題型二 直線的斜率
【例2】已知A(-1,-5),B(3,-2),直線l的傾斜角是直線AB的傾斜角的2倍,求直線l的斜率.
【解析】由于A(-1,-5),B(3,-2),所以kAB==,
設(shè)直線AB的傾斜角為θ,則tan θ=,
l的傾斜角為2θ,tan 2θ===.
所以直線l的斜率為.
【點(diǎn)撥
6、】直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個概念,應(yīng)熟練地掌握這兩個概念,扎實(shí)地記住計算公式,傾斜角往往會和三角函數(shù)的有關(guān)知識聯(lián)系在一起.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)α是直線l的傾斜角,且有sin α+cos α=,則直線l的斜率為( )
A. B. C.- D.-或-
【解析】選C.sin α+cos α=?sin αcos α=-<0?
sin α=,cos α=-或cos α=,sin α=-(舍去),
故直線l的斜率k=tan α==-.
題型三 直線的方程
【例3】求滿足下列條件的直線方程.
(1)直線過點(diǎn)(3,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距相等;
(2)直線過點(diǎn)
7、(2,1),且原點(diǎn)到直線的距離為2.
【解析】(1)當(dāng)截距為0時,直線過原點(diǎn),直線方程是2x-3y=0;當(dāng)截距不為0時,設(shè)方程為+=1,把(3,2)代入,得a=5,直線方程為x+y-5=0.
故所求直線方程為2x-3y=0或x+y-5=0.
(2)當(dāng)斜率不存在時,直線方程x-2=0合題意;
當(dāng)斜率存在時,則設(shè)直線方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0,所以=2,解得k=-,方程為3x+4y-10=0.
故所求直線方程為x-2=0或3x+4y-10=0.
【點(diǎn)撥】截距可以為0,斜率也可以不存在,故均需分情況討論.
【變式訓(xùn)練3】求經(jīng)過點(diǎn)P(3,-4),且橫、縱截距互為
8、相反數(shù)的直線方程.
【解析】當(dāng)橫、縱截距都是0時,設(shè)直線的方程為y=kx.
因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(3,-4),所以-4=3k,得k=-.此時直線方程為y=-x.
當(dāng)橫、縱截距都不是0時,設(shè)直線的方程為+=1,
因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(3,-4),所以a=3+4=7.此時方程為x-y-7=0.
綜上,所求直線方程為4x+3y=0或x-y-7=0.
題型四 直線方程與最值問題
【例4】過點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△ABO的面積最小時,求直線l的方程.
【解析】方法一:設(shè)直線方程為+=1(a>0,b>0),
由于點(diǎn)P在直線上,所以+=1.
·≤
9、()2=,
當(dāng)==時,即a=4,b=2時,·取最大值,
即S△AOB=ab取最小值4,
所求的直線方程為+=1,即x+2y-4=0.
方法二:設(shè)直線方程為y-1=k(x-2)(k<0),
直線與x軸的交點(diǎn)為A(,0),直線與y軸的交點(diǎn)為B(0,-2k+1),
由題意知2k-1<0,k<0,1-2k>0.
S△AOB=(1-2k) ·=[(-)+(-4k)+4]≥[2+4]=4.
當(dāng)-=-4k,即k=-時,S△AOB有最小值,
所求的直線方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
【點(diǎn)撥】求直線方程,若已知直線過定點(diǎn),一般考慮點(diǎn)斜式;若已知直線過兩點(diǎn),一般考慮兩點(diǎn)式;若
10、已知直線與兩坐標(biāo)軸相交,一般考慮截距式;若已知一條非具體的直線,一般考慮一般式.
【變式訓(xùn)練4】已知直線l:mx-(m2+1)y=4m(m∈R).求直線l的斜率的取值范圍.
【解析】由直線l的方程得其斜率k=.
若m=0,則k=0;
若m>0,則k=≤=,所以0<k≤;
若m<0,則k==-≥-=-,所以-≤k<0.
綜上,-≤k≤.
總結(jié)提高
1.求斜率一般有兩種類型:其一,已知直線上兩點(diǎn),根據(jù)k=求斜率;其二,已知傾斜角α或α的三角函數(shù)值,根據(jù)k=tan α求斜率,但要注意斜率不存在時的情形.
2.求傾斜角時,要注意直線傾斜角的范圍是[0,π).
3.求直線方程時,應(yīng)根據(jù)題目條件,選擇合適的直線方程形式,從而使求解過程簡單明確.設(shè)直線方程的截距式,應(yīng)注意是否漏掉過原點(diǎn)的直線;設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時,應(yīng)注意是否漏掉斜率不存在的直線.