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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第3講 三角函數(shù)、解三角形、平面向量
1.α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α=θ+2kπ(k∈Z),注意:相等的角的終邊一定相同,終邊相同的角不一定相等.
任意角的三角函數(shù)的定義:設(shè)α是任意一個角,P(x,y)是α的終邊上的任意一點(異于原點),它與原點的距離是r=>0,那么sin α=,cos α=,tan α=(x≠0),三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān),而與終邊上點P的位置無關(guān).
[問題1] 已知角α的終邊經(jīng)過點P(3,-4),則sin α+cos α的值為________.
2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公
2、式
(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.
(2)商數(shù)關(guān)系:tan α=.
(3)誘導(dǎo)公式記憶口訣:奇變偶不變、符號看象限
角
-α
π-α
π+α
2π-α
-α
正弦
-sin α
sin α
-sin α
-sin α
cos α
余弦
cos α
-cos α
-cos α
cos α
sin α
3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
(1)五點法作圖;
(2)對稱軸:y=sin x,x=kπ+,k∈Z;y=cos x,x=kπ,k∈Z;
對稱中心:y=sin x,(kπ,0),k∈Z;y=cos x,,k∈Z;y=tan x,,k∈Z.
3、(3)單調(diào)區(qū)間:
y=sin x的增區(qū)間: (k∈Z),
減區(qū)間: (k∈Z);
y=cos x的增區(qū)間: (k∈Z),
減區(qū)間:[2kπ,π+2kπ] (k∈Z);
y=tan x的增區(qū)間: (k∈Z).
(4)周期性與奇偶性:
y=sin x的最小正周期為2π,為奇函數(shù);y=cos x的最小正周期為2π,為偶函數(shù);y=tan x的最小正周期為π,為奇函數(shù).
易錯警示:求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,容易出現(xiàn)以下錯誤:
(1)不注意ω的符號,把單調(diào)性弄反,或把區(qū)間左右的值弄反;
(2)忘掉寫+2kπ,或+kπ等,忘掉寫k∈Z;
(3)書寫單調(diào)區(qū)間時,錯把弧度和角
4、度混在一起.如[0,90°]應(yīng)寫為.
[問題3] 函數(shù)y=sin的遞減區(qū)間是________________.
4.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin βsin 2α=2sin αcos α.
cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin βcos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan(α±β)=.
cos2α=,sin2α=,tan 2α=.
在三角的恒等變形中,注意常見的拆角、拼角技巧,如:
α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),
α=[(α+β
5、)+(α-β)].
α+=(α+β)-,α=-.
[問題4] 已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,則cos=________.
5.解三角形
(1)正弦定理:===2R(R為三角形外接圓的半徑).注意:①正弦定理的一些變式:(ⅰ)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;(ⅱ)sin A=,sin B=,sin C=;(ⅲ)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;②已知三角形兩邊及一對角,求解三角形時,若運用正弦定理,則務(wù)必注意可能有兩解,要結(jié)合具體情況進行取舍.在△ABC中A>B?sin A>sin B.
(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bc
6、cos A,cos A=等,常選用余弦定理判定三角形的形狀.
[問題5] 在△ABC中,a=,b=,A=60°,則B=________.
6.向量的平行與垂直
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,則a∥b?b=λa?x1y2-x2y1=0.
a⊥b (a≠0)?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
0看成與任意向量平行,特別在書寫時要注意,否則有質(zhì)的不同.
[問題6] 下列四個命題:①若|a|=0,則a=0;②若|a|=|b|,則a=b或a=-b;③若a∥b,則|a|=|b|;④若a=0,則-a=0.其中正確命題是________.
7.向量的數(shù)量積
|a|2=
7、a2=a·a,
a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2,
cos θ==,
a在b上的投影=|a|cos〈a,b〉==.
注意:〈a,b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向;
〈a,b〉為直角?a·b=0且a、b≠0;
〈a,b〉為鈍角?a·b<0且a、b不反向.
易錯警示:投影不是“影”,投影是一個實數(shù),可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零.
[問題7] 已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,則向量a在向量b上的投影為________.
8.當(dāng)a·b=0時,不一定得到a⊥b,當(dāng)a⊥b時,a·b=0;a·b=c·b,不能得到a=c,消去律不成立;(a·b)c與a(b·c)不一
8、定相等,(a·b)c與c平行,而a(b·c)與a平行.
[問題8] 下列各命題:①若a·b=0,則a、b中至少有一個為0;②若a≠0,a·b=a·c,則b=c;③對任意向量a、b、c,有(a·b)c≠a(b·c);④對任一向量a,有a2=|a|2.其中正確命題是________.
9.幾個向量常用結(jié)論
(1)++=0?P為△ABC的重心;
(2)·=·=·?P為△ABC的垂心;
(3)向量λ(+) (λ≠0)所在直線過△ABC的內(nèi)心;
(4)||=||=||?P為△ABC的外心.
易錯點1 忽視角的范圍
例1 已知sin α=,sin β=,且α,β為銳角,則α+β=___
9、_____.
錯因分析 只考慮α,β為銳角.
沒有注意到 sin α=,sin β=本身對角的范圍的限制,造成錯解.
解析 因為α,β為銳角,所以cos α==,
cos β==.
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=.
又因為0<α+β<π,所以α+β=.
答案
易錯點2 圖象平移把握不準(zhǔn)
例2 已知函數(shù)f(x)=sin(2x+),為了得到函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象,只要將y=f(x)的圖象( )
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
錯因分析?、贈]有將f
10、(x),g(x)化為同名函數(shù);②平移時看2x變成了什么,而沒有認(rèn)識到平移過程只是對“x”而言.
解析 g(x)=sin(2x+)=sin[2(x+)+],
∴y=f(x)的圖象向左平移個單位長度即可得到y(tǒng)=g(x)的圖象.
答案 A
易錯點3 三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤
例3 求函數(shù)y=sin(-)的單調(diào)區(qū)間.
錯因分析 由于受思維定勢的影響,本題容易出現(xiàn)仍然按照函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間的判斷方法進行,如認(rèn)為當(dāng)x滿足2kπ-≤-x≤2kπ+(k∈Z)時函數(shù)單調(diào)遞增,就會求錯函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解 原函數(shù)變形為y=-sin(-),令u=-,則只需求y=sin u
11、的單調(diào)區(qū)間即可,所以y=sin u在2kπ-≤-≤2kπ+(k∈Z),即3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)上單調(diào)遞增;y=sin u在2kπ+≤u=-≤2kπ+(k∈Z),即3kπ+≤x≤3kπ+π(k∈Z)上單調(diào)遞減.
故y=sin(-)=-sin u的單調(diào)遞減區(qū)間為[3kπ-,3kπ+](k∈Z),單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ+,3kπ+](k∈Z).
易錯點4 解三角形忽視檢驗
例4 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=1,c=.
(1)若角C=,則角A=________;
(2)若角A=,則b=________.
錯因分析 在用正弦定理解三角形時,易出現(xiàn)漏解或
12、多解的錯誤,如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大,在求得sin A==后,得出角A=或;在第(2)問中沒有考慮角C有兩解,由sin C==,只得出角C=,所以角B=,解得b=2,這樣就出現(xiàn)漏解的錯誤.
解析 (1)由正弦定理=,
得sin A==,
又a<c,所以A<C.所以A=.
(2)由=,
得sin C==,得C=或,
當(dāng)C=時,B=,可得b=2;
當(dāng)C=時,B=,此時得b=1.
答案 (1) (2)2或1
易錯點5 忽視向量共線致誤
例5 已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是____________________
13、____________________________________________________.
錯因分析 誤認(rèn)為θ為銳角?cos θ>0,沒有排除θ=0即兩向量同向的情況.
解析 由θ為銳角,有0b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
3.
14、(xx·東北三校聯(lián)考)已知sin αcos α=,則cos2(α+)的值為( )
A. B. C. D.
4.函數(shù)y=2sin(-2x)(x∈[-π,0])的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.[-π,-] B.[-,0]
C.[-,-] D.[-,-]
5.函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)(A,φ∈R)的部分圖象如圖所示,那么f(0)等于( )
A.- B.-1
C.- D.-
6.在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,若a2+b2=2c2,則cos C的最小值為( )
15、A. B. C. D.-
7.(xx·陜西省五校第一次聯(lián)考)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,點M在AB邊上,且AM=AB,則·等于( )
A.- B. C.-1 D.1
8.在△ABC中,B=60°,AC=,則AB+2BC的最大值為________.
9.如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)圖象的一部分,A,B是圖象上的一個最高點和一個最低點,O為坐標(biāo)原點,則·的值為________.
10.(xx·天津)已知函數(shù)f(x)=cos x·sin(x+)-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周
16、期;
(2)求f(x)在閉區(qū)間[-,]上的最大值和最小值.
學(xué)生用書答案精析
3.三角函數(shù)、解三角形、平面向量
要點回扣
[問題1] -
[問題2]?。?
[問題3] (k∈Z)
[問題4]?。?
[問題5] 45°
[問題6]?、?
[問題7]
[問題8]?、?
查缺補漏
1.D [因為角α的終邊經(jīng)過點(-4,3),所以x=-4,y=3,r=5,
所以cos α==-.]
2.C [∵a=sin 33°,b=cos 55°=sin 35°,
c=tan 35°=,
又0b>a.]
3.C [∵sin αcos α=,
∴sin
17、 2α=2sin αcos α=,
∴cos2(α+)====.]
4.C [因為y=2sin(-2x)=-2sin(2x-),
所以函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)遞減區(qū)間.
由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
即函數(shù)y=2sin(-2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
[+kπ,+kπ](k∈Z)
又x∈[-π,0],所以k=-1,
故函數(shù)y=2sin(-2x)(x∈[-π,0])的單調(diào)遞增區(qū)間為[-,-].]
5.B [由題圖可知,函數(shù)的最大值為2,因此A=2.
又因為函數(shù)經(jīng)過點,
則2sin=
18、2,
即2×+φ=+2kπ,k∈Z,
得φ=-+2kπ,k∈Z.
f(0)=2sin φ=2sin=-1.]
6.C [∵cos C==,
又∵a2+b2≥2ab,∴2ab≤2c2.
∴cos C≥.∴cos C的最小值為.]
7.D [=+=+,
又=+,
所以·=(+)·(+)=2
+2+·=1+-·
=-||·||cos 60°=-×1×2×=1.]
8.2
解析 由正弦定理知==,
∴AB=2sin C,BC=2sin A.
又A+C=120°,∴AB+2BC
=2sin C+4sin(120°-C)
=2(sin C+2sin 120°cos C-2
19、cos 120°sin C)
=2(sin C+cos C+sin C)
=2(2sin C+cos C)=2sin(C+α),
其中tan α=,α是第一象限角,
由于0°<C<120°,
且α是第一象限角,
因此AB+2BC有最大值2.
9.π2-1
解析 由題意可知A(,1),B(,-1),·=×+1×(-1)=π2-1.
10.解 (1)由已知,
有f(x)=cos x·(sin x+cos x)-cos2x+
=sin x·cos x-cos2x+
=sin 2x-(1+cos 2x)+
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因為f(x)在區(qū)間[-,-]上是減函數(shù),在區(qū)間[-,]上是增函數(shù),
f(-)=-,f(-)=-,
f()=,
所以,函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-,]上的最大值為,最小值為-.