九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十九講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角

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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十九講 轉(zhuǎn)化靈活的圓中角 角是幾何圖形中最重要的元素，證明兩直線位置關(guān)系、運(yùn)用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角，而圓的特征，賦予角極強(qiáng)的活性，使得角能靈活地互相轉(zhuǎn)化． 根據(jù)圓心角與圓周角的倍半關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)化；由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可將圓周角在大小不變的情況下，改變頂點(diǎn)在圓上的位置進(jìn)行探索；由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和外角等于內(nèi)對(duì)角，可將與圓有關(guān)的角互相聯(lián)系起來(lái)． 熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論． 注：根據(jù)頂點(diǎn)、角的兩邊與圓的位置關(guān)系，我們定義了圓心角與圓周角，類(lèi)似地，當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外或圓內(nèi)，我們可以定義圓外角與圓

2、內(nèi)角，這兩類(lèi)角分別與它們的所夾弧度數(shù)有怎樣的關(guān)系?讀者可自行作一番探討． 【例題求解】 【例1】 如圖，直線AB與⊙O相交于A，B再點(diǎn)，點(diǎn)O在AB上，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝40°，點(diǎn)E是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O不重合)，直線EC交⊙O于另一點(diǎn)D，則使DE=DO的點(diǎn)正共有 個(gè)． 思路點(diǎn)撥 在直線AB上使DE=DO的動(dòng)點(diǎn)E與⊙O有怎樣的位置關(guān)系? 分點(diǎn)E在AB上(E在⊙O內(nèi))、在BA或AB的延長(zhǎng)線上(E點(diǎn)在⊙O外)三種情況考慮，通過(guò)角度的計(jì)算，確定E點(diǎn)位置、存在的個(gè)數(shù)． 注： 弧是聯(lián)系與圓

3、有關(guān)的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法． 【例2】 如圖，已知△ABC為等腰直角三形，D為斜邊BC的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D的⊙O與邊AB、AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F、M，對(duì)于如下五個(gè)結(jié)論：①∠FMC=45°；②AE+AF＝AB；③；④2BM2=BF×BA；⑤四邊形AEMF為矩形．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用與圓有關(guān)的角，尋找特殊三角形、特殊四邊

4、形、相似三角形，逐一驗(yàn)證． 注：多重選擇單選化是近年出現(xiàn)的一種新題型，解這類(lèi)問(wèn)題，需把條件重組與整合，挖掘隱合條件，作深入的探究，方能作出小正確的選擇． 【例3】 如圖，已知四邊形ABCD外接⊙O的半徑為5，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，且AB2=AE×AC，BD＝8，求△ABD的面積． 思路點(diǎn)撥 由條件出發(fā)，利用相似三角形、圓中角可推得A為弧BD中點(diǎn)，這是解本例的關(guān)鍵． 【例4】 如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，連結(jié)AC，過(guò)點(diǎn)C作直線CD⊥AB于D(AD

5、F，連結(jié)AF與直線CD交于點(diǎn)G． (1)求證：AC2=AG×AF； (2)若點(diǎn)E是AD(點(diǎn)A除外)上任意一點(diǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立?若成立．請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 (1)作出圓中常用輔助線證明△ACG∽△AFC； （2）判斷上述結(jié)論在E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況下是否成立，依題意準(zhǔn)確畫(huà)出圖形是關(guān)鍵． 注：構(gòu)造直徑上90°的圓周角，是解與圓相關(guān)問(wèn)題的常用輔助線，這樣就為勾股定理的運(yùn)用、相似三角形的判定創(chuàng)造了條件． 【例5】 如圖，圓內(nèi)接六邊形ABCDEF滿足AB=CD=EF，且對(duì)角線

6、AD、BE、CF相交于一點(diǎn)Q，設(shè)AD與CF的交點(diǎn)為P． 求證：（1）；(2)． 思路點(diǎn)撥 解本例的關(guān)鍵在于運(yùn)用與圓相關(guān)的角，能發(fā)現(xiàn)多對(duì)相似三角形． (1) 證明△QDE∽△ACF；(2)易證，通過(guò)其他三角形相似并結(jié)合(1)把非常規(guī)問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題的證明． 注：有些幾何問(wèn)題雖然表面與圓無(wú)關(guān)，但是若能發(fā)現(xiàn)隱含的圓，尤其是能發(fā)現(xiàn)共圓的四點(diǎn)，就能運(yùn)用圓的豐富性質(zhì)為解題服務(wù)，確定四點(diǎn)共圓的主要方法有： (1)利用圓的定義判定； (2)利用圓內(nèi)接四

7、邊形性質(zhì)的逆命題判定． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．一條弦把圓分成2：3兩部分，那么這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為 ． 2．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的一點(diǎn)，則∠1+∠2= ． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，則EF的長(zhǎng)為 ． 4．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB+AC=12，AD⊥BC于D，AD＝

8、3，設(shè)⊙O的半徑為，AB的長(zhǎng)為，用的代數(shù)式表示，= ． 5．如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)BC到E，已知∠BCD：∠ECD＝3：2，那么∠BOD等于( ) A．120° B．136° C．144° D．150° 6．如圖，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，則∠BOC等于( ) A．20° B．30° C．40° D．50° 7．如圖，BC為半圓O的直徑，A、D為半圓O上兩點(diǎn)，AB=，BC=2，則∠D的度數(shù)為( ) A．60° B． 120° C．

9、 135° D．150° ⌒ ⌒ 8．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，點(diǎn)P是弧AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，PD與AB交于點(diǎn)F．給出下列四個(gè)結(jié)論：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④ ∠EPC=∠APD，其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．如圖，已知B正是△ABC的外接圓O的直徑，CD是△ABC的高． (1)求證：AC·BC=BE·CD； (2) 已知CD=6，AD=3，BD

10、=8，求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)． 10．如圖，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連結(jié)FB，F(xiàn)C． (1)求證：FB=FC； (2)求證：FB2=FAFD； (3)若AB是△ABC的外接圓的直徑，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的長(zhǎng)． 11．如圖，B、C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，P是以BC為直徑的圓周上的任意一點(diǎn)(B、C點(diǎn)除外)，則tan∠APB·tan∠CPD=

11、 ． 12．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=，則四邊形ABCD的面積為 ． 13．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，則BC= ． ⌒ 14．如圖，AB是半圓的直徑，D是AC的中點(diǎn)，∠B=40°，則∠A等于( ) A．60° B．50° C．80° D．70°

12、 15．如圖，已知ABCD是一個(gè)以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB=5，PC=4，分別延長(zhǎng)AB和DC，它們相交于P，若∠APD=60°，則⊙O的面積為( ) A．25π B．16π C．15π D．13π 16．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的高，AB=AC，過(guò)A、D兩點(diǎn)的圓與AB、AC

13、分別相交于點(diǎn)E、F，弦EF與AD相交于點(diǎn)G，則圖中與△GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)為( ) A．5 B．4 C．3 D．2 17．如圖，已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為2，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為E，AE=EC，AB=AE，且BD=，求四邊形ABCD的面積． 18．如圖，已知ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點(diǎn)，且有∠BAE=∠DAC． 求證：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·B C＝AC·BD． 19．如圖，已知P是⊙O直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，直線PCD交⊙O于C、D

14、兩點(diǎn)，弦DF⊥AB于點(diǎn)H，CF交AB于點(diǎn)E． (1)求證：PA·PB=PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為2，求弦CF的長(zhǎng)． ⌒ 20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=4，S△ABC=，∠B為銳角，且關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，D是劣弧AC上任一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、C重合)，DE平分∠ADC，交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F． (1)求∠B的度數(shù)； (2)求CE的長(zhǎng)； (3)求證：DA、DC的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 參考答案