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1、高中數(shù)學(xué) 二函數(shù)單元測評 新人教B版必修1
一、選擇題:本大題共10小題,共50分.
1.函數(shù)f(x)=的定義域是( )
A. B.
C. D.
解析:由2x-3>0得x>.
答案:D
2.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )
A.f(x)=x4-1 B.f(x)=x2(-1<x<3)
C.f(x)=x+ D.f(x)=
解析:由定義域關(guān)于原點對稱,且f(-x)=f(x)得B、C、D都錯.
答案:A
3.函數(shù)y=x2-4x+1,x∈[2,5]的值域是( )
A.[1,6] B.[-3,1]
C.[-3,6] D.[-3,+∞)
解析:y=
2、(x-2)2-3,函數(shù)在[2,+∞)上是增函數(shù),所以f(2)=-3,又x∈[2,5],∴f(5)=6.
答案:C
4.下列選項中正確的是( )
A.f(x)=-x2+x-6的單調(diào)增區(qū)間為
B.f(x)=-在[0,+∞)上是增函數(shù)
C.f(x)=在(-∞,+∞)上是減函數(shù)
D.f(x)=-x3+1是增函數(shù)
解析:f(x)=-x2+x-6在上是增函數(shù),故A正確;f(x)=-在[0,+∞)上是減函數(shù),f(x)=在(-∞,0)和(0,+∞)上是減函數(shù),f(x)=-x3+1是減函數(shù).
答案:A
5.已知函數(shù)f(x)=(a-x)|3a-x|,a是常數(shù)且a>0,下列結(jié)論正確的是( )
3、
A.當(dāng)x=3a時,有最小值0
B.當(dāng)x=3a時,有最大值0
C.無最大值且無最小值
D.有最小值,但無最大值
解析:由f(x)=可畫出簡圖.
分析知C正確.
答案:C
6.函數(shù)f(x)=-x+5的零點個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:令f(x)=0得=x-5,∵函數(shù)y=與y=x-5圖像有兩個交點,∴函數(shù)f(x)=-x+5有兩個零點.
答案:B
7.若|x|≤1時,y=ax+2a+1的值有正有負(fù),則a的取值范圍為( )
A.a(chǎn)≥- B.a(chǎn)≤-1
C.-1<a<- D.以上都不是
解析:由于|x|≤1時,y=ax+2
4、a+1的值有正有負(fù),則有f(-1)·f(1)<0,即(3a+1)·(a+1)<0,解得-1<a<-,故選C.
答案:C
8.若函數(shù)f(+1)=x2-2x,則f(3)等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:令+1=3,得x=2,∴f(3)=22-2×2=0.
答案:A
9.設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上為減函數(shù),若x1<0,且x1+x2>0,則( )
A.f(x1)>f(x2)
B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)<f(x2)
D.無法比較f(x1)與f(x2)的大小
解析:x1<0,且x1+x2>0,∴x1>-x2,
5、又f(x)在(-∞,0)為減函數(shù),∴f(x1)<f(-x2),又f(x)是偶函數(shù),∴f(x1)<f(x2).
答案:C
10.已知反比例函數(shù)y=的圖像如圖所示,則二次函數(shù)y=2kx2-4x+k2的圖像大致為( )
A. B.
C. D.
解析:由反比例函數(shù)的圖像知k<0,∴二次函數(shù)開口向下,排除A、B,又對稱軸為x=<0,排除C.
答案:D
第Ⅱ卷(非選擇題,共70分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
11.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)-1≤x<0時,f(x)=x+1,那么當(dāng)0<x
6、≤1時,f(x)=__________.
解析:0<x≤1時,-1≤-x<0,f(-x)=-x+1,
∴此時f(x)=f(-x)=-x+1=1-x.
答案:1-x
12.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),(x,y∈R),則下列各式恒成立的是__________.
①f(0)=0;②f(3)=3f(1);③f=f(1);④f(-x)·f(x)<0.
解析:令x=y(tǒng)=0得f(0)=0;令x=2,y=1得:f(3)=f(2)+f(1)=3f(1);令x=y(tǒng)=得:f(1)=2f,
∴f=f(1);令y=-x得:f(0)=f(x)+f(-x)即f(-x)=-f(x),∴
7、f(-x)·f(x)=-[f(x)]2≤0.
答案:①②③
13.用二分法研究函數(shù)f(x)=x3+2x-1的零點,第一次經(jīng)計算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一個零點x0∈__________,第二次計算的f(x)的值為f(__________).
解析:由函數(shù)零點的存在性定理,
∵f(0)<0,f(0.5)>0,
∴在(0,0.5)存在一個零點,第二次計算找中點即=0.25.
答案:(0,0.5) 0.25
14.若函數(shù)f(x)=x2-(2a-1)x+a+1是(1,2)上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為__________.
解析:函數(shù)f(x)的對稱軸為x==a-,
8、
∵函數(shù)在(1,2)上單調(diào),∴a-≥2或a-≤1,即a≥或a≤.
答案:a≥或a≤
三、解答題:本大題共4小題,滿分50分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(12分)已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2.
(1)若函數(shù)的圖像經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.
解:(1)∵f(0)=0,f(2)=0,
∴∴m=1.(6分)
(2)∵y=f(x)在[2,+∞)為增函數(shù),
∴對稱軸x=-≤2,
∴m≥0.(12分)
16.(12分)已知函數(shù)f(x)=.
(1)求f(x)的定義
9、域;
(2)判斷并證明f(x)的奇偶性;
(3)求證:f=-f(x).
解:(1)由1-x2≠0得x≠±1,故f(x)的定義域為{x|x≠±1,x∈R}.(4分)
(2)f(x)是偶函數(shù),證明如下:
設(shè)x∈{x|x≠±1,x∈R},則-x∈{x|x≠±1,x∈R}.
∵f(-x)===f(x),
∴f(x)是偶函數(shù).(8分)
(3)∵f=
==
=-
=-f(x),
∴f=-f(x)成立.(12分)
17.(12分)已知函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2),函數(shù)g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函數(shù)g(x)的定義域;
(2)若f(x)是奇函數(shù),且在定
10、義域上單調(diào)遞減,求不等式g(x)≤0的解集.
解:(1)由題意可知
解得即<x<.(4分)
故函數(shù)f(x)的定義域為.(6分)
(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,
∴f(x-1)≤-f(3-2x).(8分)
∵f(x)為奇函數(shù),∴f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減,
∴
解得<x≤2.(10分)
∴g(x)≤0的解集為.(12分)
18.(14分)已知函數(shù)f(x)=,x∈[1,+∞).
(1)當(dāng)a=時,求函數(shù)f(x)的最小值;
(2)若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)當(dāng)a=時,f(x)=x++2.
用單調(diào)函數(shù)定義可證f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),(4分)
∴f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值為f(1)=.
(6分)
(2)在區(qū)間[1,+∞)上,f(x)=>0恒成立,等價于x2+2x+a>0恒成立.(8分)
設(shè)y=x2+2x+a,x∈[1,+∞).
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=1時,ymin=3+a.(12分)
于是,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a>0時,f(x)>0恒成立.
∴a>-3.(14分)