九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動(dòng)態(tài)幾何問題透視

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1、九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動(dòng)態(tài)幾何問題透視 春去秋來，花開花落，物轉(zhuǎn)星移，世間萬物每時(shí)每刻都處于運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化中，事物的本質(zhì)特征只有在運(yùn)動(dòng)中方能凸現(xiàn)出來． 動(dòng)態(tài)幾何問題，是指以幾何知識(shí)和圖形為背景，滲入運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)的一類問題，常見的形式是：點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動(dòng)、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等，解這類問題的基本策略是： 1．動(dòng)中覓靜 這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動(dòng)中覓靜就是在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性． 2．動(dòng)靜互化 “靜”只是“動(dòng)”的瞬間，是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，動(dòng)靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形

2、轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動(dòng)”與“靜”的關(guān)系． 3．以動(dòng)制動(dòng) 以動(dòng)制動(dòng)就是建立圖形中兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運(yùn)動(dòng)函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)來研究變動(dòng)元素的關(guān)系． 注：幾何動(dòng)態(tài)既是一類問題，也是一種觀點(diǎn)與思維方法，運(yùn)用幾何動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，可以把表面看來不同的定理統(tǒng)一起來，可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法；更一般情況是，對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，努力去發(fā)掘更多結(jié)論，不同解法，通過弱化或強(qiáng)化條件來探討結(jié)論的狀況等，這就是常說的“動(dòng)態(tài)思維”． 【例題求解】 【例1】 如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時(shí)針方向在上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到A″B″C″的位置，設(shè)BC=

3、1，AC=，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是 ． 思路點(diǎn)撥 解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動(dòng)的圖形準(zhǔn)確分割．RtΔABC的兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，頂點(diǎn)A所經(jīng)過 的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120°和90°，半徑分別為2和，但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個(gè)扇形面積之和． 【例2】如圖，在⊙O中，P是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，在AB同側(cè)作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，連結(jié)A′B′，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)

4、A移到點(diǎn)B時(shí)，A′B′的中點(diǎn)的位置( ) ⌒ A．在平分AB的某直線上移動(dòng) B．在垂直AB的某直線上移動(dòng) C．在AmB上移動(dòng) D．保持固定不移動(dòng) 思路點(diǎn)撥 畫圖、操作、實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律． 【例3】 如圖，菱形OABC的長為4厘米，∠AOC＝60°，動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P出發(fā)2秒后，動(dòng)點(diǎn)Q

5、從O出發(fā)，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路線運(yùn)動(dòng)，過P、Q兩點(diǎn)分別作對(duì)角線AC的平行線．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米，請你回答下列問題： (1)當(dāng)=3時(shí)，的值是多少? (2)就下列各種情形： ①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求與之間的函數(shù)關(guān)系式． (3)在給出的直角坐標(biāo)系中，用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系． 思路點(diǎn)撥 本

6、例是一個(gè)動(dòng)態(tài)幾何問題，又是一個(gè)“分段函數(shù)”問題，需運(yùn)用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，將各段分別討論、畫圖、計(jì)算． 注：動(dòng)與靜是對(duì)立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運(yùn)動(dòng)變化的哪一類問題，都真實(shí)地反映了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)與形的變與不變兩個(gè)方面，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種重要的解題策略． 建立運(yùn)動(dòng)函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值． 【例4】 如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1m／秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A

7、—D—C以2cm／秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為2 (秒)． (1)當(dāng)為何值時(shí)，線段EF與BC平行? (2)設(shè)1<<2，當(dāng)為何值時(shí)，EF與半圓相切? (3)當(dāng)1≤<2時(shí)，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，問點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求AP：PC的值． 思路點(diǎn)撥 動(dòng)中取靜，根據(jù)題意畫出不同位置的圖形，然后分別求解，這是解本例的基本策略，對(duì)于(1)、(2)，運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方

8、程；對(duì)于(3)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化，只需看是否為一定值． 注：動(dòng)態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律，而把特定的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想． 【例5】 ⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)；如圖(1)，連結(jié)O2 O1并延長交⊙O1于P點(diǎn)，連結(jié)PA、PB并分別延長交⊙O2于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)C O2并延長交⊙O2于E點(diǎn)．已知⊙O2的半徑為R，設(shè)∠CAD=． (1)求：CD的長(用含R、的式子表示)； (2)試判斷CD與PO1的位置關(guān)系，并說明理由； (3)設(shè)點(diǎn)P′

9、為⊙O1上(⊙O2外)的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)P′A、P′B并分別延長交⊙O2于C′、D′，請你探究∠C′AD′是否等于? C′D′與P′Ol的位置關(guān)系如何?并說明理由． ⌒ 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(1)、(2)，作出圓中常見輔助線；對(duì)于(3)，P點(diǎn)雖為OOl上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但⊙O1、⊙O2一些量(如半徑、AB)都是定值或定弧，運(yùn)用圓的性質(zhì)，把角與孤聯(lián)系起來． 學(xué)力訓(xùn)練 1．如圖， ΔABC中，∠C=90°，AB=12cm，∠ABC=

10、60°，將ΔABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處，則AC邊掃過的圖形的面積是 cm (π=3.14159…，最后結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)． 2．如圖，在RtΔ ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC= cm，將ΔABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至ΔA'BC'的位置，且使A、B、C'三點(diǎn)在同一條直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過的最短路線的長度是 cm． 3．一塊等邊三角形的木板，邊長為l，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束走過的路徑長度為( ) A． B． C．4

11、 D． 4．把ΔABC沿AB邊平移到ΔA'B'C'的位置，它們的重疊部分的面積是ΔABC的面積的一半，若AB=，則此三角形移動(dòng)的距離AA'是( ) A． B． C．1 D． 5．如圖，正三角形ABC的邊長為6厘米，⊙O的半徑為r厘米，當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB—BC—CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A時(shí)，⊙O隨

12、著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)． (1)若r=厘米，求⊙O首次與BC邊相切時(shí)AO的長； (2)在O移動(dòng)過程中，從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下，r的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù)； (3)設(shè)O在整個(gè)移動(dòng)過程中，在ΔABC內(nèi)部，⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S，在S>0時(shí)，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍． 6．已知：如圖，⊙O韻直徑為10，弦AC=8，點(diǎn)B在圓周上運(yùn)動(dòng)(與A、C兩點(diǎn)不重合)，連結(jié)BC、BA，過點(diǎn)C作CD⊥AB于

13、D．設(shè)CB的長為，CD的長為． (1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時(shí)，求的值； (2)在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，以CD為直徑的圓與⊙O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時(shí) 的取值范圍； (3)在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，如果過B作BE⊥AC于E，那么以BE為直徑的圓與⊙O能內(nèi)切嗎?若不能，說明理由；若能，求出BE的長． 7．如圖，已知A為∠POQ的邊OQ上一點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點(diǎn)，且∠MAN=∠POQ=(為銳角)．當(dāng)∠MAN以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(∠MAN保持不變)

14、時(shí)，M、N兩點(diǎn)在射線OP上同時(shí)以不同的速度向右平移移動(dòng)．設(shè)OM=，ON= (>≥0)，ΔAOM的面積為S，若cos、OA是方程的兩個(gè)根． (1)當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)30°(即∠OAM=30°)時(shí)，求點(diǎn)N移動(dòng)的距離； (2)求證：AN2=ON·MN； (3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (4)試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍． 8．已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C＝60°，BD⊥CD．

15、 (1)求BC、AD的長度； (2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm／s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1cm／s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)時(shí)，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況)； (3)在(2)的前提下，是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 9

16、．已知：如圖①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF＝nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分別在兩鄰邊長、的矩形ABCD各邊上運(yùn)動(dòng)． 設(shè)AE=，四邊形EFGH的面積為S． (1)當(dāng)n=l、2時(shí)，如圖②、③，觀察運(yùn)動(dòng)情況，寫出四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置，使? (2)當(dāng)n=3時(shí)，如圖④，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍)，探索S隨增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何位置，使； (3)當(dāng)n=k (k≥1)時(shí)，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由．

17、 10．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位／秒的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位／秒的速度沿軸正方向運(yùn)動(dòng)，B(4，2)，以BE為直徑作⊙O1． (1)若點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)線段EF與線段OB交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G與⊙O1的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)在(1)的條件下，連結(jié)FB，幾秒時(shí)FB與⊙O1相切? (3)如圖2，若E點(diǎn)提前2秒出發(fā)，點(diǎn)F再出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F出發(fā)后，E點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)BA⊥軸于A點(diǎn)，連結(jié)AF交⊙O1于點(diǎn)P，試問PA·FA的值是否會(huì)發(fā)生變化?若不變，請說明理由，并求其值；若變化，請求其值的變化范圍． 參考答案