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1、2022年高中數(shù)學 初高中銜接教材 第一講 數(shù)與式的運算
在初中,我們已學習了實數(shù),知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù),我們把實數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式.代數(shù)式中有整式(多項式、單項式)、分式、根式.它們具有實數(shù)的屬性,可以進行運算.在多項式的乘法運算中,我們學習了乘法公式(平方差公式與完全平方公式),并且知道乘法公式可以使多項式的運算簡便.由于在高中學習中還會遇到更復雜的多項式乘法運算,因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容,補充三個數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式.在根式的運算中,我們已學過被開方數(shù)是實數(shù)的根式運算,而在高中數(shù)學學習中,經(jīng)常會接觸到被開方數(shù)是字母的情形,但在初中卻沒有涉
2、及,因此本節(jié)中要補充.基于同樣的原因,還要補充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容.
一、乘法公式
【公式1】
證明:
等式成立
【例1】計算:
解:原式=
說明:多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列.
【公式2】(立方和公式)
證明:
說明:請同學用文字語言表述公式2.
【例2】計算:
解:原式=
我們得到:
【公式3】(立方差公式)
請同學觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系,公式1、2、3均稱為乘法公式.
【例3】計算:
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4
3、)原式=
說明:(1)在進行代數(shù)式的乘法、除法運算時,要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu).
(2)為了更好地使用乘法公式,記住1、2、3、4、…、20的平方數(shù)和1、2、3、4、…、10的立方數(shù),是非常有好處的.
【例4】已知,求的值.
解:
原式=
說明:本題若先從方程中解出的值后,再代入代數(shù)式求值,則計算較煩瑣.本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系,用整體代換的方法計算,簡化了計算.請注意整體代換法.本題的解法,體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略,根據(jù)題求利用題知,是明智之舉.
【例5】已知,求的值.
解:
原式=
①
②,
4、把②代入①得原式=
說明:注意字母的整體代換技巧的應用.
引申:同學可以探求并證明:
二、根式
式子叫做二次根式,其性質(zhì)如下:
(1) (2)
(3) (4)
【例6】化簡下列各式:
(1) (2)
解:(1) 原式=
(2) 原式=
說明:請注意性質(zhì)的使用:當化去絕對值符號但字母的范圍未知時,要對字母的取值分類討論.
【例7】計算(沒有特殊說明,本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)):
(1) (2) (3)
解:(1) 原式=
(2) 原式=
(3) 原式=
說明:(1)二次根式的化簡結(jié)果應滿足:①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),
5、因式是整式;②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.
(2)二次根式的化簡常見類型有下列兩種:①被開方數(shù)是整數(shù)或整式.化簡時,先將它分解因數(shù)或因式,然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來;②分母中有根式(如)或被開方數(shù)有分母(如).這時可將其化為形式(如可化為) ,轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況.化簡時,要把分母中的根式化為有理式,采取分子、分母同乘以一個根式進行化簡.(如化為,其中與叫做互為有理化因式).
【例8】計算:
(1) (2)
解:(1) 原式=
(2) 原式=
說明:有理數(shù)的的運算法則都適用于加法、乘法的運算律以及多項式的乘法公式、分式二次根式的運算.
6、
【例9】設,求的值.
解:
原式=
說明:有關(guān)代數(shù)式的求值問題:(1)先化簡后求值;(2)當直接代入運算較復雜時,可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點,倒推幾步,再代入條件,有時整體代入可簡化計算量.
三、分式
當分式的分子、分母中至少有一個是分式時,就叫做繁分式,繁分式的化簡常用以下兩種方法:(1) 利用除法法則;(2) 利用分式的基本性質(zhì).
【例10】化簡
解法一:原式=
解法一:原式=
說明:解法一的運算方法是從最內(nèi)部的分式入手,采取通分的方式逐步脫掉繁分式,解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進行化簡.一般根據(jù)題目特點綜合使用兩種方法.
【例11】化簡
解:原式=
說明:
7、(1) 分式的乘除運算一般化為乘法進行,當分子、分母為多項式時,應先因式分解再進行約分化簡;(2) 分式的計算結(jié)果應是最簡分式或整式.
練 習
A 組
1.二次根式成立的條件是( )
A. B. C. D.是任意實數(shù)
2.若,則的值是( )
A.-3 B.3 C.-9 D.9
3.計算:
(1) (2)
(3) (4)
4.化簡(下列的取值范圍均使根式有意義):
(1) (2)
(3) (4)
5.化簡:
(1) (2)
8、
B 組
1.若,則的值為( ):
A. B. C. D.
2.計算:
(1) (2)
3.設,求代數(shù)式的值.
4.當,求的值.
5.設、為實數(shù),且,求的值.
6.已知,求代數(shù)式的值.
7.設,求的值.
8.展開
9.計算
10.計算
11.化簡或計算:
(1)
(2)
(3)
(4)
第一講 習題答案
A組
1. C 2. A
3. (1) (2)
(3) (4)
4.
5.
B組
1. D 2. 3.
4. 5. 6. 3 7.
8.
9.
10.
11.