2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二講 橢圓習(xí)題講練 理 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二講 橢圓習(xí)題講練 理 新人教A版 1．（xx廣東）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質(zhì)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力．依題意，設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3. 答案：D 2．（xx山東）已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　

2、) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝±x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝± b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為(b，b)，所以四邊形的面積為4× b× b＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1. 答案：D 3．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ）已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為(　

3、　) A.＋＝1　　　　　　　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、斜率公式、焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦問(wèn)題，意在考查考生通過(guò)解方程組求解弦的中點(diǎn)的能力．運(yùn)用兩點(diǎn)式得到直線的方程，代入橢圓方程，消去y，由根與系數(shù)的關(guān)系得到a，b之間的關(guān)系，并由a，b，c之間的關(guān)系確定橢圓方程．因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，－1)，所以直線AB的方程為y＝(x－3)，代入橢圓方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，選擇D. 答案：D　 4．（2011新課標(biāo)全國(guó)）在

4、平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過(guò)F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_(kāi)___． 解析：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，∵e＝，∴＝.根據(jù)△ABF2的周長(zhǎng)為16得4a＝16，因此a＝4，b＝2， 所以橢圓方程為＋＝1. 答案：＋＝1 5．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ）設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本題主要考查橢圓離心率的

5、計(jì)算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． 法一：由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝＝＝＝＝. 法二：由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，變形可得(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． 答案：D　 6．（xx四川，5分）從橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半

6、軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想．由已知，點(diǎn)P(－c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，則b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，則＝，即該橢圓的離心率是. 答案：C 7．（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意可得|PF2|＝|F

7、1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝. 答案：C 8．（2011浙江，4分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若＝5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________． 解析：根據(jù)題意設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(c，d)．F1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為(－，0)，(，0)，可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)．∵＝5，∴c＝，d＝.∵點(diǎn)A、B都在橢圓上，∴＋d2＝1，＋()2＝1.解得m＝0，n＝±1，故點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，±1)． 答案：(0，±1) 9．(2011遼寧，12分)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直

8、線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，＝2. (1)求橢圓C的離心率； (2)如果|AB|＝，求橢圓C的方程． 解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1<0，y2>0. (1)直線l的方程為y＝(x－c)，其中c＝. 聯(lián)立 得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0. 解得y1＝，y2＝. 因?yàn)椋?，所以－y1＝2y2. 即＝2·. 得離心率e＝＝. (2)因?yàn)閨AB|＝ |y2－y1|，所以·＝. 由＝得b＝a. 所以a＝，得a＝3，b＝. 橢圓C的方程為＋＝1. 備選10．[xx·江西卷] 設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左右

9、焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D.若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于________． 14.　[解析] 由題意A，B，F(xiàn)1(－c，0)，則直線F1B的方程為y－0＝(x＋c)． 令x＝0，得y＝－，即D， 則向量DA＝，＝. 因?yàn)锳D⊥F1B，所以·＝2c2－＝0， 即2ac＝b2＝(a2－c2)， 整理得(e－1)(e＋)＝0，所以e＝(e>0)． 故橢圓C的離心率為. 11．（xx陜西，13分）已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率． (1)求橢圓C2的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)

10、原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，＝2，求直線AB的方程． 解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為＋＝1(a>2)， 其離心率為，故＝，則a＝4， 故橢圓C2的方程為＋＝1. (2)法一：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x＝， 將y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16， 所以x＝， 又由＝2，得x＝4x，即＝， 解得k＝±1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 法二：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分

11、別記為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上， 因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以 x＝，由＝2，得x＝，y＝， 將x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，　 解得k＝±1，故直線AB的方程為y＝x或y＝－x. 12．（xx天津，13分）設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)．若·＋·＝8，求k

12、的值． 解：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能力以及運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題的能力． (1)設(shè)F(－c,0)，由＝，知a＝c.過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線的方程為x＝－c，代入橢圓方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a2－c2＝b2，從而a＝，c＝1，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直線CD的方程為y＝k(x＋1)，由方程組消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.因

13、為A(－，0)，B(，0)所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2 ＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋. 由已知得6＋＝8，解得k＝±. 13、[xx·陜西卷] 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)． (1)求橢圓的方程； (2)若直線l：y＝－x＋m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點(diǎn)，且滿足＝，求直線l的方程． 圖1-5 20．解： (1)由題設(shè)知解得 ∴橢圓的方程為＋＝1. (2)由題設(shè)，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1， ∴圓心(0，0)到直線l的距離d＝. 由d<1，得|m|<，(*) ∴|CD|＝2＝2＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－mx＋m2－3＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3， ∴|AB|＝＝. 由＝，得＝1， 解得m＝±，滿足(*)． ∴直線l的方程為y＝－x＋或 y＝－x－.