2022年高考數(shù)學專題復習 第13講 導數(shù)的概念及其運算練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第13講 導數(shù)的概念及其運算練習 新人教A版 [考情展望]　1.利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程.2.考查導數(shù)的有關(guān)計算． 一、導數(shù)的概念 1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)： (1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ＝ 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線斜率．(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導數(shù))相應地，切線方程為y－f(x0)＝f

2、′(x0)(x－x0)． 2．函數(shù)f(x)的導函數(shù)： 稱函數(shù)f′(x)＝ 為f(x)的導函數(shù)． 二、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 原函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 三、導數(shù)的運算法則 1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(

3、x)g(x)＋f(x)g′(x)； 3.′＝(g(x)≠0)． 導數(shù)的運算法則特例及推廣 (1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，其中a，b為常數(shù)． (2)′＝－(f(x)≠0)． (3)導數(shù)的加法與減法法則，可由兩個可導函數(shù)推廣到任意有限個可導函數(shù)的情形，即[u(x)±v(x)±…±ω(x)]＝u′(x)±v′(x)±…±ω′(x)． 四、復合函數(shù)的導數(shù) 　設u＝v(x)在點x處可導，y＝f(u)在點u處可導，則復合函數(shù)f[v(x)]在點x處可導，且f′(x)＝f′(u)·v′(x)，即y′x＝y(tǒng)′u·u′x. “分解—求導—回代”法求復合函數(shù)

4、的導數(shù) (1)分解 適當選定中間變量，正確分解復合關(guān)系，即說明函數(shù)關(guān)系y＝f(u)，u＝g(x)； (2)求導 分步求導(弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導)，要特別注意中間變量對自變量求導，即先求y′u，再求u′x； (3)回代 計算y′u·u′x，并把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)． 1．某汽車的路程函數(shù)是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，則當t＝2 s時，汽車的加速度是(　　) A．14 m/s2　　　　　　　 B．4 m/s2 C．10 m/s2 D．－4 m/s2 【解析】　由題意知，汽車的速度函數(shù)為v(t)＝s′(t)＝6t2－

5、gt，則v′(t)＝12t－g， 故當t＝2 s時，汽車的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14 m/s2. 【答案】　A 2．函數(shù)y＝xcos x－sin x的導數(shù)為(　　) A．xsin x B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 【解析】　f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x. 【答案】　B 3．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0等于(　　) A．e2 B．e C. D．ln 2 【解析】　f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 由f′(x0)＝2，即ln x0＋

6、1＝2，解得x0＝e. 【答案】　B 4．曲線y＝x3＋11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是(　　) A．－9 B．－3 C．9 D．15 【解析】　∵y＝x3＋11，∴y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3， ∴曲線y＝x3＋11在點P(1,12)處的切線方程為y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9. 【答案】　C 5．(xx·江西高考)若曲線y＝xα＋1(α∈R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標原點，則α＝________. 【解析】　因為y′＝α·xα－1，所以在點(1,2)處的切線斜率k＝α，則切線方程為y－2＝α(x－1)．又切線過原點，故0－2＝

7、α(0－1)，解得α＝2. 【答案】　2 6．(xx·廣東高考)若曲線y＝kx＋ln x在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k＝________. 【解析】　函數(shù)y＝kx＋ln x的導函數(shù)為y′＝k＋，由導數(shù)y′|x＝1＝0，得k＋1＝0，則k＝－1. 【答案】?。? 考向一 [036]　導數(shù)的計算 　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝exsin x； (2)y＝x； (3)y＝x－sin cos ； (4)y＝. 【思路點撥】　(1)利用積的導數(shù)運算法則求解，(2)(3)先化簡再求導，(4)利用商的導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則求解． 【嘗試解答】　(1)y′＝(

8、ex)′sin x＋ex(sin x)′＝exsin x＋excos x. (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. (3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x. (4)y′＝ ＝ ＝. 規(guī)律方法1　1.本例在解答過程易出現(xiàn)商的求導中，符號判定錯誤. 2.求函數(shù)的導數(shù)的方法 (1)連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導. (2)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導. (3)復雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導. (4)復合函數(shù)：確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導. (5)不能直接求導的：適當恒等變形，轉(zhuǎn)化為能求導的形式再求導. 對點訓練　

9、求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝(1＋)； (2)y＝3xex－ln x＋e； (3)y＝＋e2x. 【解】　(1)∵y＝(1＋)＝2＋x－＋x， ∴y′＝－x－＋x－. (2)y′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－＝3xexln 3＋3xex－ ＝3xexln(3e)－. (3)y′＝(3－x)－(3－x)′＋e2x(2x)′ ＝－(3－x)－＋2e2x. 考向二 [037]　導數(shù)幾何意義的應用 　設函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與

10、直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值． 【思路點撥】　(1)→→→ (2)→→→ 【嘗試解答】　(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3. 當x＝2時，y＝. 又f′(x)＝a＋，于是，解得， 故f(x)＝x－. (2)設P(x0，y0)為曲線y＝f(x)上任一點，由y′＝1＋知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為.令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x

11、所圍成的三角形的面積為·|2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6. 規(guī)律方法2　1.切點(2，f(2))既在切線上，又在曲線f(x)上，從而得到關(guān)于a，b的方程組. 2.在求切線方程時，應先判斷已知點Q(a，b)是否為切點，若已知點Q(a，b)不是切點，則應求出切點的坐標，其求法如下： (1)設出切點的坐標P(x0，y0)； (2)解方程組 (3)利用點斜式寫出切線方程. 對點訓練　已知f(x)＝ln x，g(x)＝x3＋x2＋mx＋n，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切于點(1,0)． (1)求直線

12、l的方程； (2)求函數(shù)g(x)的解析式． 【解】　(1)∵l是f(x)＝ln x在點(1,0)處的切線， ∴其斜率k＝f′(1)＝1， 因此直線l的方程為y＝x－1. (2)又l與g(x)相切于點(1,0)， ∴g′(1)＝1，且g(1)＝0. 因此∴ 所以函數(shù)g(x)＝x3＋x2－x＋. 　 易錯易誤之四　求切線方程——“在”、“過”兩重天 ———　[1個示范例]　————　[1個防錯練]　——— 　　　已知曲線y＝x3上一點P，求過點P的切線方程． 【解】　(1)當P為切點時，由y′＝′＝x2， 得y′|x＝2＝4，即過點P的切線方程的斜率為4. 則所求

13、的切線方程是y－＝4(x－2)， 即12x－3y－16＝0. (2)當P點不是切點時，設切點為Q(x0，y0)， 此處誤認為點P即為切點，而直接利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，出現(xiàn)此種錯誤的原因是審題不清，不明確導致的幾何意義. 則切線方程為y－x＝x(x－x0)， 因為切線過點P，把P點的坐標代入以上切線方程， 求得x0＝－1或x0＝2(即點P，舍去)， 所以切點為Q， 即所求切線方程為3x－3y＋2＝0； 綜上所述，過點P的切線方程為12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0. 【防范措施】　 (1)“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數(shù)求導，代入點的橫坐標得到斜率. (2)“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，故應先設切點，求切點坐標. (xx·蘭州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，則a等于(　　) A．－1或－　　　 B．－1或 C．－或－ D．－或7 【解析】　設過(1,0)的直線與y＝x3相切于點(x0，x)，所以切線方程為y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切線上，則x0＝0或x0＝，當x0＝0時，由y＝0與y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，當x0＝時，由y＝x－與y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以選A. 【答案】　A