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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 文
空間幾何體的三視圖
1.若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( B )
解析:由題意知,選項(xiàng)A,C中所給的幾何體的正視圖、俯視圖不符合要求,選項(xiàng)D中所給幾何體的側(cè)視圖不符合要求.故選B.
2.(xx福建卷)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是( A )
(A)圓柱 (B)圓錐 (C)四面體 (D)三棱柱
解析:圓柱的正視圖是矩形或圓,不可能是三角形,則該幾何體不可能是圓柱.故選A.
3.(xx湖北卷)在如圖所
2、示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)為①②③④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( D )
(A)①和② (B)③和①
(C)④和③ (D)④和②
解析:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中作出棱長(zhǎng)為2的正方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示,由圖可知,該四面體的正視圖為④,俯視圖為②.故選D.
4.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三個(gè)視圖都是直角三角形,則在該三棱錐的四個(gè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為( D )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由題意可知,幾何體
3、是三棱錐,其放置在長(zhǎng)方體中形狀如圖中三棱錐ABCD,利用長(zhǎng)方體模型可知,此三棱錐的四個(gè)面,全部是直角三角形.故選D.
空間幾何體的表面積與體積
5.(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有( B )
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
解析:設(shè)圓錐底面半徑為
4、r,
因?yàn)槊锥训撞炕¢L(zhǎng)為8尺,
所以r=8,r=≈(尺),
所以米堆的體積為
V=××π×()2×5≈(立方尺),
又1斛米的體積約為1.62立方尺,
所以該米堆有÷1.62≈22(斛),選B.
6.(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)正方體截去了一個(gè)三棱錐,即截去了正方體的一個(gè)角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則正方體的體積為1,截去的三棱錐的體積為V1=××1×1×1=,故剩余部分的體積為V2=,
所求比值為=.
7.(
5、xx河北滄州質(zhì)檢)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為,則其俯視圖的面積為( B )
(A)π+2 (B)2π+4 (C)2π+6 (D)π+4
解析:三視圖所對(duì)應(yīng)的空間幾何體為一半圓錐拼接一三棱錐,
因?yàn)閂=××πa2×4+××2a×a×4
=a2(π+2)
=,
所以a2=4,
所以俯視圖的面積為πa2+·2a·a=2π+4,故選B.
8.(xx大慶市二檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為( A )
(A)32+4π (B)24+4π
(C)12+ (D)24+
解析:該幾何體為長(zhǎng)方體與球的組
6、合體,其中長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為2,2,3,球的半徑為1,故其表面積為2×2×2+2×3×4+4×π×12=32+4π,故選A.
多面體與球的切接問題
9.(xx東北三校聯(lián)合二模)一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中俯視圖為等腰直角三角形,正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形,則此三棱錐外接球的表面積為( B )
(A)16π (B)9π (C)4π (D)π
解析:由三視圖可知立體圖形如圖所示.
由三視圖知頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影E為BD中點(diǎn),AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2,
設(shè)O為外接球球心,AO=R,OE=2-R,
則AB==,
在Rt△B
7、OE中R2=(2-R)2+()2,得R=,
因?yàn)镾=4πR2,
所以此三棱錐外接球的表面積為9π.
10.(xx甘肅蘭州第二次監(jiān)測(cè))已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若球O的表面積為16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,則球心O到平面ABCD的距離為( B )
(A)1 (B) (C) (D)2
解析:設(shè)外接球O的半徑為R,則4πR2=16π,
所以R=2,
由題意知長(zhǎng)方體的對(duì)角線為球的直徑,
又AB∶AD∶AA1=∶1∶2,
設(shè)AD=x,AB=x,AA1=2x,
則x2+(x)2+(2x)2=42,
解得x=,
球心O到平面ABCD的距離
8、為AA1=x=,選B.
11.(xx江西上饒三模)從點(diǎn)P 出發(fā)的三條射線PA,PB,PC兩兩成60°角,且分別與球O相切于A,B,C三點(diǎn),若OP=,則球的體積為( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:設(shè)OP交平面ABC于O′,
由題得△ABC和△PAB為正三角形,
所以O(shè)′A=AB=AP,
因?yàn)锳O′⊥PO,OA⊥PA,
所以=,=,=,
所以O(shè)A==×=1,
即球的半徑為1,
所以其體積為π×13=π.選C.
12.(xx東北三校第一次聯(lián)合模擬)三棱柱ABCA1B1C1各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,側(cè)棱與底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,則
9、這個(gè)球的表面積為 .?
解析:在△ABC中,∠ACB=120°,
CA=CB=2,
由余弦定理可得AB=6,
由正弦定理可得△ABC外接圓半徑r=2,
設(shè)此圓圓心為O′,球心為O,
在Rt△OAO′中,球半徑R==4,
故球的表面積為S=4πR2=64π.
答案:64π
一、選擇題
1.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示,則該幾何體的俯視圖不可能是( D )
解析:根據(jù)幾何體的三視圖知識(shí)求解.
由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同,且上部是一個(gè)矩形,矩形中間無實(shí)線和虛線,因此俯視圖不可能是選項(xiàng)D.
2.(xx河
10、南模擬)如圖,某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,且其體積為,則該幾何體的俯視圖可以是( D )
解析:根據(jù)正視圖與側(cè)視圖的形狀和幾何體的體積是,
知底面積是,
所以底面是一個(gè)半徑為1的四分之一圓,故選D.
3.(xx河南六市第二次聯(lián)考)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,其中側(cè)視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形,則這個(gè)幾何體的體積是( B )
(A)2 cm3 (B) cm3 (C)3 cm3 (D)3 cm3
解析:由三視圖可知幾何體如圖所示,
其側(cè)面PCB與底面垂直,且△PCB為邊長(zhǎng)為2的正三角形,
底面為直角梯形,上底為1,下底為2,高為2,
11、所以四棱錐的體積為V=××(1+2)×2××2=.
4.(xx赤峰模擬)已知三棱錐的直觀圖及其俯視圖與側(cè)視圖如圖,俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)視圖是一直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖面積為( B )
(A) (B)2 (C)4 (D)
解析:三棱錐的正視圖如圖所示,
所以該三棱錐的正視圖面積=×2×2=2.
故選B.
5.(xx太原市高三模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是扇形,則該幾何體的體積為( B )
(A)4π (B)2π (C) (D)
解析:由正視圖可知該幾何體的高為H=3,其俯視圖如圖,
OA=OB=2,AC=,AC⊥OB
12、,
所以∠AOB=,弧AB的長(zhǎng)為,
所以扇形面積為S=×2×=,
所以幾何體的體積為V=3×=2π.
選B.
6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( B )
(A)6+ (B)7+ (C)8+ (D)7+2
解析:由三視圖可知該幾何體是底面為直角梯形(梯形上底長(zhǎng)為1,下底長(zhǎng)為2,高為1),高為1的直棱柱,故其表面積為
1×1×2+×(1+2)×1×2+1×2+1×=7+.
故選B.
7.(xx黑龍江高三模擬)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)都在球面上,它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都如圖所示.圖中圓內(nèi)有一個(gè)以圓心為中心邊長(zhǎng)為1的正方形.則這個(gè)四面體的外接球的表面積是( B
13、 )
(A)π (B)3π (C)4π (D)6π
解析:由三視圖可知,該四面體是正方體的一個(gè)內(nèi)接正四面體,且正方體的棱長(zhǎng)為1,所以內(nèi)接正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為,即球的直徑為,所以球的表面積為S=4π×()2=3π,故選B.
8.(xx遼寧沈陽(yáng)高三一模)已知直三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱的長(zhǎng)都為3,頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為( B )
(A)9π (B)21π (C)33π (D)45π
解析:如圖,因?yàn)樗欣獾拈L(zhǎng)都為3,
所以O(shè)O1=,
OA即為其外接球的半徑R,
又AO1=××3=,
所以R2=O+A=()2+()2=,
所以S球=4πR2=21π.
14、
故選B.
9.(xx河南六市聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積是( D )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由三視圖可知,該幾何體的直觀圖如圖所示,
四邊形ABCD為直角梯形,上底為2,下底為4,高為2,
且OA,AB,AD兩兩垂直,OA=2,
所以該幾何體的體積為
V=××2=4.
選D.
10.(xx鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))某三棱錐的三視圖如圖所示,且三個(gè)三角形均為直角三角形,則xy的最大值為( C )
(A)32 (B)32 (C)64 (D)64
解析:設(shè)三棱錐的高為h,則根據(jù)三視圖可得
所以x2+y2=128,
15、因?yàn)閤>0,y>0,
所以x2+y2≥2xy,所以xy≤64,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=8時(shí)取“=”號(hào),
故xy的最大值為64.選C.
11.(xx廣西南寧二模)已知如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為( B )
(A)24π (B)6π (C)4π (D)2π
解析:依題意知,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐ABCD,
其中AB⊥平面BCD,AB=,
BC=CD=,BD=2,
將該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體,
則有(2R)2=()2+()2+()2=6,
所以R=,
所以外接球的表面積為S=4πR2=4π×()2=6π.
選B.
12.(xx唐山市一
16、模)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( C )
(A)4 (B)21+
(C)3+12 (D)+12
解析:根據(jù)三視圖可知該幾何體是正六邊形截得的正方體下方的幾何體,
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,
所以根據(jù)分割的正方體的2個(gè)幾何體的對(duì)稱性得,
S1=×6×22=12,
正六邊形的面積為6××()2=3,
所以該幾何體的表面積為12+3.選C.
二、填空題
13.(xx廣西南寧二模)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等且=,則的值是 .?
解析:設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,
17、則由題意知,==·=,①
又2πr1·h1=2πr2·h2,
所以=,②
把②代入①可得,=,
所以=()2=()2=.
答案:
14.(xx遼寧沈陽(yáng)高三一模)已知某多面體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形,則此多面體最長(zhǎng)的一條棱長(zhǎng)為 .?
解析:由三視圖知,該幾何體是一個(gè)四棱錐,
如圖所示,其底面是直角梯形,AD=4,AB=4,OA=4,BC=1,
則OD==,
CD==5,
OB==,
OC===,
故多面體最長(zhǎng)的一條棱長(zhǎng)為.
答案:
15.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為 .?
解析:由三視圖知,幾何體由一個(gè)四棱錐與四棱柱組成,
則體積V=×2×2×1+1×1×2=.
答案:
16.(xx大連市高三一模)如圖,半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD,該四棱錐的體積為,則該半球的體積為 .?
解析:設(shè)球的半徑為R,則底面ABCD的面積為2R2,
因?yàn)榘肭騼?nèi)有一內(nèi)接正四棱錐SABCD,
該四棱錐的體積為,
所以×2R2×R=,所以R3=2,
所以該半球的體積為V=×πR3=π.
答案:π