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1、2022人教A版數(shù)學必修二 第二章 《空間點、直線、平面之間的位置》學習過程
學習過程
知識點1:平面的基本性質(zhì)
⑴、 公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有點都在這個平面內(nèi)。
圖形語言表述:
符號語言表述;
公理1的作用:既可判定直線是否在平面內(nèi)、點是否在平面內(nèi),又可用直線檢驗平面。
⑵、 公理2:過不在一條直線的三點,有且只有一個平面。
圖形語言表述:
符號語言表述;
公理2的作用;一是確定平面,二是可用其證明點、線共面問題。
⑶、 公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
圖形語言表述:
符號語言表
2、述;
公理3的作用:其一是判定兩個平面是否相交的依據(jù),只要兩個平面有一個公共點,就可以判定這兩個平面必相交于過這點的一條直線;其二它可判定點在直線上,點是某兩個平面的公共點,線是這兩個平面的公共交線,則這點在交線上。
符號語言表述:
⑷、 公理4:平行于同一條直線的兩條直線相互平行。
知識點2:空間中直線與直線的位置關(guān)系
等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補。
異面直線夾角的取值范圍: .
知識點3:空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
(1)、直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點;
(2)、直線與平面相交——有且只有一個公共點;
(3)、直線與
3、平面平行——沒有公共點。
直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。
知識點4:平面與平面之間的位置關(guān)系
(1)、兩個平面平行——沒有公共點;
(2)、兩個平面相交——有一條公共直線。
典型例題
例題1 如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側(cè)棱CC1上的一點,CP=m,
(I)試確定m,使得直線AP與平面BD D1B1所成角的正切值為;
(Ⅱ)在線段A1C1上是否存在一個定點Q,使得對任意的m,D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP,并證明你的結(jié)論。
答案:(1)
(2)的中點
解析:(I)
故。所以。
又.
故
4、
在△,即.
故當時,直線。
(Ⅱ)依題意,要在上找一點,使得.
可推測的中點即為所求的點。
因為,所以
又,故。
從而
例題2已知兩個正四棱錐的高分別為1和2, 。
(I)證明: ;
(II)求異面直線所成的角的余弦值;
(III)求點到平面的距離。
解析:(Ⅰ)取AD的中點M,連接PM、QM。
因為P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,所以ADPM,ADQM。
從而AD平面PQM。
又PQ平面PQM,所以PQ⊥AD。
同理PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD。
(Ⅱ)連接AC、BD,設(shè)ACBD=O,由PQ平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在
5、PQ上,從而P,A,Q,C四點共面。
取OC的中點N,連接PN。
因為,所以
, (或其補角)是異面直線AQ與PB所成的角。
連接BN。 因為.
所以。
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,AD⊥平面PQM,所以平面QAD⊥平面PQM 。
過點P作PH⊥QM于H,則PH⊥QAD,所以PH的長為點P到平面QAD的距離。
連結(jié)OM。因為OM=AB=2=OQ,所以∠MQP=45°。
又PQ=PO+QO=3,于是PH=PQsin45°=。
即點P到平面QAD的距離是。
例題3 已知正方形。、分別是、的中點,將沿折起,如圖所示。記二面角的大小為。
證明平面
解析:EF分別為正方形ABCD得邊AB、CD的中點,
∴EB//FD,且EB=FD,
∴四邊形EBFD為平行四邊形。 ∴BF//ED
∵ 平面AED,而BF平面AED ∴平面.
∴。