江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 附加題 第3講 矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案

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江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 附加題 第3講 矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案_第1頁
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1、 第3講 矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [考情考向分析] 1.考查常見的平面變換與矩陣的乘法運(yùn)算,二階矩陣的逆矩陣及其求法,矩陣的特征值與特征向量的求法,屬B級(jí)要求.2.考查直線、曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程,參數(shù)方程與普通方程的互化,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,屬B級(jí)要求. 熱點(diǎn)一 二階矩陣與平面變換 例1 已知矩陣A=所對(duì)應(yīng)的變換T把曲線C變成曲線C1:+=1,求曲線C的方程. 解 設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為(x,y), 經(jīng)過變換T變成(x0,y0), 則?=,即x0=x,y0=y(tǒng). 由+=1,得曲線C的方程為x2+4y2=4. 思維升華 解決這類問題一般是設(shè)變換T:→,求出原

2、曲線在T的變換下得到的曲線,再根據(jù)條件求相應(yīng)的系數(shù)值. 跟蹤演練1 已知曲線C1:x2+y2=1,對(duì)它先作矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換,再作矩陣B=對(duì)應(yīng)的變換,得到曲線C2:+y2=1,求實(shí)數(shù)b的值. 解 從曲線C1變到曲線C2的變換對(duì)應(yīng)的矩陣為BA=?=.在曲線C1上任意選一點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)它在矩陣BA對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)? P′(x′,y′), 則有 =,即=. 故 解得 代入曲線C1方程得,y′2+2=1. 即曲線C2方程為2x2+y2=1. 與已知的曲線C2的方程+y2=1比較得(2b)2=4. 所以b=±1. 熱點(diǎn)二 二階矩陣的逆矩陣及其求法 例2 已知點(diǎn)P(3,1

3、)在矩陣A=變換下得到點(diǎn)P′(5,-1).試求矩陣A和它的逆矩陣A-1. 解 依題意得 ==, 所以解得所以A=. 因?yàn)閐et(A)==1×(-1)-0×2=-1, 所以A-1=. 思維升華 由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組,常用于求二階矩陣,要注意變換的前后順序. 跟蹤演練2 二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換TM將曲線x2+x-y+1=0變?yōu)榍€2y2-x+2=0,求M-1. 解 設(shè)曲線2y2-x+2=0上一點(diǎn)P(x,y)在M-1對(duì)應(yīng)變化下變成P(x′,y′), 設(shè)M-1=,所以代入x2+x-y+1=0得,方程(ax+by)2+(ax+by)-(cx+dy)+1=0, 即b2

4、y2+(a-c)x+(b-d)y+2abxy+a2x2+1=0,與方程y2-+1=0比較得,a=0,b=1,c=,d=1或a=0, b=-1,c=,d=-1. 所以M-1=或M-1=. 熱點(diǎn)三 特征值與特征向量 例3 已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=,并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(-1,2)變換成(-2,4). (1)求矩陣M; (2)求矩陣M的另一個(gè)特征值. 解 (1)設(shè)M=,M=8=, M==, 則 解得即M=. (2)令特征多項(xiàng)式f(λ)= =(λ-6)(λ-4)-8=0, 解得λ1=8,λ2=2. 故矩陣M的另一個(gè)特征值為2. 思維升華 

5、求矩陣M=就是要求待定的字母,利用條件建立方程組,確立待定的字母的值,從而求出矩陣,待定系數(shù)法是求這類問題的通用方法. 跟蹤演練3 已知矩陣A的逆矩陣A-1=. (1)求矩陣A; (2)求矩陣A-1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量. 解 (1)因?yàn)榫仃嘇是矩陣A-1的逆矩陣, 且|A-1|=2×2-1×1=3≠0, 所以A==. (2)矩陣A-1的特征多項(xiàng)式為f(λ)= =λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3), 令f(λ)=0,得矩陣A-1的特征值為λ1=1,λ2=3, 所以ξ1=是矩陣A-1的屬于特征值λ1=1的一個(gè)特征向量, ξ2=是矩陣A-1的屬于特征值λ2

6、=3的一個(gè)特征向量. 熱點(diǎn)四 曲線的極坐標(biāo)方程 例4 (2018·江蘇沖刺預(yù)測(cè))已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ= . (1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和C2的直角坐標(biāo)方程; (2)射線OP:θ=α與C2交于P點(diǎn),射線OQ:θ=α+與C2交于Q點(diǎn),求+的值. 解 (1)因?yàn)榍€C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x-2y-2=0, 所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ-2ρsin θ-2=0, 因?yàn)棣眩?,所以?(2+sin2θ)=6, 所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為2x2+3

7、y2=6. (2)依題意得,點(diǎn)P的極坐標(biāo)滿足 所以O(shè)P=,=, 點(diǎn)Q的極坐標(biāo)滿足 所以O(shè)Q=,=, 所以+=+=. 思維升華 解決這類問題一般有兩種思路:一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出交點(diǎn)的直角坐標(biāo),再將其化為極坐標(biāo);二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo).要注意題目所給的限制條件及隱含條件. 跟蹤演練4 在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足

8、tan α0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a. 解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2+(y-1)2=a2(a>0),C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsin θ+1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1. 當(dāng)a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3

9、上. 所以a=1. 熱點(diǎn)五 參數(shù)方程 例5 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為ρ=2sin θ. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,),求PA+PB. 解 方法一 (1)由ρ=2sin θ,得x2+y2-2y=0, 即x2+(y-)2=5. (2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程, 得2+2=5,即t2-3t+4=0. 由于Δ=(-3)2-4×4=2>0,故可設(shè)t1,t2是上述方程的兩實(shí)根,所以又直線

10、l過點(diǎn)P(3,), 故由上式及t的幾何意義, 得PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3. 方法二 (1)同方法一. (2)因?yàn)閳AC的圓心為(0,),半徑r=,直線l的普通方程為y=-x+3+. 由 得x2-3x+2=0. 解得或 不妨設(shè)A(1,2+),B(2,1+), 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,).故PA+PB=+=3. 思維升華 過定點(diǎn)P0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù)),t的幾何意義是數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負(fù)之分.使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1,P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則P1P2=|t1-t2|,P1P2的中點(diǎn)對(duì)

11、應(yīng)的參數(shù)為(t1+t2). 跟蹤演練5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng). 解 將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)) 代入拋物線方程y2=4x,得2=4, 解得t1=0,t2=-8. 所以AB=|t1-t2|=8. 1.(2018·江蘇)已知矩陣A=. (1)求A的逆矩陣A-1; (2)若點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P′(3,1),求點(diǎn)P的坐標(biāo). 解 (1)因?yàn)锳=,又det(A)=2×2-1×3=1≠0, 所以A可逆,從而A-1=. (2)設(shè)P(x,y),則 =, 所以=A-1=

12、, 因此,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-1). 2.(2018·江蘇)在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsin=2,曲線C的方程為ρ=4cos θ,求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng). 解 因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ, 所以曲線C是圓心為(2,0),直徑為4的圓. 因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsin=2, 則直線l過點(diǎn)A(4,0),且傾斜角為, 所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn). 設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B,則∠OAB=. 如圖,連結(jié)OB. 因?yàn)镺A為直徑,從而∠OBA=, 所以AB=4cos =2. 因此,直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2. 3.(2017·江蘇)已知矩陣A=,B=.

13、(1)求AB; (2)若曲線C1:+=1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2,求C2的方程. 解 (1)因?yàn)锳=,B=, AB= =. (2)設(shè)Q(x0,y0)為曲線C1上任意一點(diǎn),它在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)P(x,y), 則 =, 即所以 因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0,y0)在曲線C1上,所以+=1, 從而+=1,即x2+y2=8. 因此曲線C1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線 C2:x2+y2=8. 1.(2018·蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)已知矩陣M=的一個(gè)特征值為3,求M-1. 解 由=0, 得(λ-2)(λ-x)-4=0的一個(gè)解為3,代入得x=-1, 因?yàn)镸

14、=, 所以M-1=. 2.已知矩陣A=,B=,向量α=, x,y為實(shí)數(shù).若Aα=Bα,求x+y的值. 解 由已知,得Aα= =, Bα= =. 因?yàn)锳α=Bα,所以=. 故解得 所以x+y=. 3.(2015·江蘇)已知x,y∈R,向量α=是矩陣A=的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量,求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值. 解 由已知,得Aα=-2α, 即 ==, 則即所以矩陣A=. 從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)=(λ+2)(λ-1), 所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1. 4.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=

15、-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a. 解 (1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0, 故C上的點(diǎn)(3cos θ,sin θ)到l的距離為 d=. 當(dāng)a≥-4時(shí),d的最大值為 . 由題設(shè)得=,所以a=8; 當(dāng)a<-4時(shí),d的最大值為. 由題設(shè)得=,所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16. 5.已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓C的半徑. 解 以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐

16、標(biāo)系的原點(diǎn)O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρ-4=0,化簡(jiǎn),得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圓C的半徑為. 6.(2016·江蘇)已知矩陣A=,矩陣B的逆矩陣B-1=,求矩陣AB. 解 B=(B-1)-1==. ∴AB= =. 7.(2016·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng). 解 直線l的方程化為普通方程為x

17、-y-=0, 橢圓C的方程化為普通方程為x2+=1, 聯(lián)立方程組得 解得或 ∴取A(1,0),B. 故AB= =. 8.(2018·揚(yáng)州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù),m是常數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cos θ. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)若直線l與曲線C相交于P,Q兩點(diǎn),且PQ=2,求實(shí)數(shù)m的值. 解 (1)因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程是 (t是參數(shù)), 所以直線l的普通方程為x-y-m=0. 因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cos θ,故ρ2=6ρcos θ, 所以x2+y2=6x, 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是(x-3)2+y2=9. (2)曲線C表示以C(3,0)為圓心,3為半徑的圓,設(shè)圓心到直線l的距離為d, 則d==2, 又d==2, 所以|3-m|=4,即 m=-1或m=7. 10

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