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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 4.3.1《空間直角坐標系》學(xué)案2
【教學(xué)目標】
1. 讓學(xué)生經(jīng)歷用類比的數(shù)學(xué)思想方法探索空間直角坐標系的建立方法,進一步體會數(shù)學(xué)概念、方法產(chǎn)生和發(fā)展的過程,學(xué)會科學(xué)的思維方法.
2. 理解空間直角坐標系與點的坐標的意義,掌握由空間直角坐標系內(nèi)的點確定其坐標或由坐標確定其在空間直角坐標系內(nèi)的點,認識空間直角坐標系中的點與坐標的關(guān)系.
3. 進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與確定性思維能力.
【教學(xué)重難點】
重點:求一個幾何圖形的空間直角坐標。
難點:空間直角坐標系的理解。
【教學(xué)過程】
一、 情景導(dǎo)入
1. 確定一個點在一條直線上的位置的方法
2、.
2. 確定一個點在一個平面內(nèi)的位置的方法.
3. 如何確定一個點在三維空間內(nèi)的位置?
例:如圖26-2,在房間(立體空間)內(nèi)如何確定電燈位置?
在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上,教師明確:確定點在直線上,通過數(shù)軸需要一個數(shù);確定點在平面內(nèi),通過平面直角坐標系需要兩個數(shù).那么,要確定點在空間內(nèi),應(yīng)該需要幾個數(shù)呢?通過類比聯(lián)想,容易知道需要三個數(shù).要確定電燈的位置,知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個墻面的距離即可.
(此時學(xué)生只是意識到需要三個數(shù),還不能從坐標的角度去思考,因此,教師在這兒要重點引導(dǎo))
教師:在地面上建立直角坐標系xOy,則地面上任一點的位置只須利用x,y就可確定.為了確
3、定不在地面內(nèi)的電燈的位置,須要用第三個數(shù)表示物體離地面的高度,即需第三個坐標z.因此,只要知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個墻面的距離即可.例如,若這個電燈在平面xOy上的射影的兩個坐標分別為4和5,到地面的距離為3,則可以用有序數(shù)組(4,5,3)確定這個電燈的位置(如圖26-3).
這樣,仿照初中平面直角坐標系,就建立了空間直角坐標系O—xyz,從而確定了空間點的位置.
二、合作探究、精講點撥
1. 在前面研究的基礎(chǔ)上,先由學(xué)生對空間直角坐標系予以抽象概括,然后由教師給出準確的定義.
從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸,這樣就建立了空間直角坐標系O—xyz,點
4、O叫作坐標原點,x軸、y軸、z軸叫作坐標軸,這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面,分別稱為xO平面,yO平面,zOx平面.
教師進一步明確:
(1)在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,若中指指向z軸的正方向則稱這個坐標系為右手坐標系,課本中建立的坐標系都是右手坐標系.
(2)將空間直角坐標系O—xyz畫在紙上時,x軸與y軸、x軸與z軸成135°,而y軸垂直于z軸,y軸和z軸的單位長度相等,但x軸上的單位長度等于y軸和z軸上的單位長度的,這樣,三條軸上的單位長度直觀上大致相等.
2. 空間直角坐標系O—xyz中點的坐標.
思考1:在空間直角坐標系中,空
5、間任意一點A與有序數(shù)組(x,y,z)有什么樣的對應(yīng)關(guān)系?
在學(xué)生充分討論思考之后,教師明確:
(1)過點A作三個平面分別垂直于x軸,y軸,z軸,它們與x軸、y軸、z軸分別交于點P,Q,R,點P,Q,R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標依次為x,y,z,這樣,對空間任意點A,就定義了一個有序數(shù)組(x,y,z).
(2)反之,對任意一個有序數(shù)組(x,y,z),按照剛才作圖的相反順序,在坐標軸上分別作出點P,Q,R,使它們在x軸、y軸、z軸上的坐標分別是x,y,z,再分別過這些點作垂直于各自所在的坐標軸的平面,這三個平面的交點就是所求的點A.
這樣,在空間直角坐標系中,空間任意一點A與有序數(shù)組(x,y,
6、z)之間就建立了一種一一對應(yīng)關(guān)系:A(x,y,z).
教師進一步指出:空間直角坐標系O—xyz中任意點A的坐標的概念
對于空間任意點A,作點A在三條坐標軸上的射影,即經(jīng)過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,它們與x軸、y軸、z軸分別交于點P,Q,R,點P,Q,R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標依次為x,y,z,我們把有序數(shù)組(x,y,z)叫作點A的坐標,記為A(x,y,z).(如圖26-4)
思考2: (1)在空間直角坐標系中,坐標平面xOy,xOz,yOz上點的坐標有什么特點?
(2)在空間直角坐標系中,x軸、y軸、z軸上點的坐標有什么特點?
解:(1)xOy平面、xOz平面、yOz平面內(nèi)
7、的點的坐標分別形如(x,y,0),(x,0,z),(0,y,z).
(2)x軸、y軸、z軸上點的坐標分別形如(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z).
三、典型例題
例1、在空間直角坐標系O—xyz中,作出點P(5,4,6).
注意:在分析中緊扣坐標定義,強調(diào)三個步驟,第一步從原點出發(fā)沿x軸正方向移動5個單位,第二步沿與y軸平行的方向向右移動4個單位,第三步沿與z軸平行的方向向上移動6個單位(如圖26-5).
變式練習(xí): 已知長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長AB=12,AD=8,AA′=5,以這個長方體的頂點A為坐標原點,射線AB,AD,AA′分別為x軸、y軸和z
8、軸的正半軸,建立空間直角坐標系,求這個長方體各個頂點的坐標.
注意:此題可以由學(xué)生口答,教師點評.
解:A(0,0,0),B(12,0,0),D(0,8,0),A′(0,0,5),C(12,8,0),B′(12,0,5),D′(0,8,5),C′(12,8,5).
討論:若以C點為原點,以射線CB,CD,CC′方向分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系,那么各頂點的坐標又是怎樣的呢?
得出結(jié)論:建立不同的坐標系,所得的同一點的坐標也不同.
例2、結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞,如圖是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體),其中色點代表鈉原子,黑點代表氯原
9、子,如圖,建立空間直角坐標系Oxyz后,試寫出全部鈉原子所在位置的坐標。
解:把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來寫它們所在位置的坐標。
下層原子全在xOy平面,它們所在位置的豎坐標全是0,所以下層的五個鈉原子所在位置的坐標分別為:
(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(,,0),
中層的四個鈉原子所在位置的坐標分別為:
(,0,),(1,,),(,1, ),(0,, )
上層的五個鈉原子所在位置的坐標分別為:
(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(,,1)。
變式練習(xí):在長方體OABC-D’A’B’C’中,∣OA∣=3
10、,∣OC∣=4,∣OD∣=2,寫出D 、C、 A 、B四點關(guān)于平面xOy對稱的坐標。
注意:此題可以由學(xué)生口答,教師點評.
解:因為D在z軸上,且∣OD∣=2,它的豎坐標為2,它的橫坐標與縱坐標都是零,所以D點的坐標是(0,0,2),點C在y軸上,且∣OC∣=4,所以點C的坐標為(0,4,0),點A的坐標為(3,0,2),B的坐標為(3,4,2)。所以D點對稱點的坐標是(0,0,-2),點C對稱點的坐標為(0,4,0),點A對稱點的坐標為(3,0,-2),B的對稱點坐標為(3,4,-2)。
四、反思總結(jié):
五、當(dāng)堂檢測:
1. 在空間直角坐標系中,畫出下列各點:A(0,0
11、,3),B(1,2,3),C(2,0,4),D(-1,2,-2).
2. 已知:長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長AB=12,AD=8,AA′=7,以這個長方體的頂點B為坐標原點,射線AB,BC,BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸,建立空間直角坐標系,求這個長方體各個頂點的坐標.
3. 寫出坐標平面yOz上∠yOz平分線上的點的坐標滿足的條件.
【板書設(shè)計】
一、空間直角坐標系
二、例題
例1
變式1
例2
變式2
【作業(yè)布置】作業(yè):P138 2
4.3.1空間直角坐標系(導(dǎo)學(xué)案)
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、 預(yù)習(xí)目標
1. 用類比的數(shù)學(xué)思想
12、方法探索空間直角坐標系的建立方法.
2. 理解空間直角坐標系與點的坐標的意義,掌握由空間直角坐標系內(nèi)的點確定其坐標或由坐標確定其在空間直角坐標系內(nèi)的點,認識空間直角坐標系中的點與坐標的關(guān)系.
二、 預(yù)習(xí)內(nèi)容
1. 如何確定一個點在一條直線上的位置? 。
2. 如何確定一個點在一個平面內(nèi)的位置? 。
3.從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸:x軸,y軸,z軸.這樣就建立了 ,點O叫作 ,x軸、y軸、z軸叫作
13、 ,這三條坐標軸中每兩條確定一個坐標平面,分別稱為 , , .
4.在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,若中指指向z軸的正方向則稱這個坐標系為 。
5.空間任意點A的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點A在此 ,記作 。其中x 叫做點A的 ,y叫做點A的 ,z叫做點A的 。
6.空間兩點間的距離公式
14、 。
三、提出疑惑
1、 ;
2、 ;
3、 。
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標
1. 讓學(xué)生用類比的數(shù)學(xué)思想方法探索空間直角坐標系的建立方法,進一步體會數(shù)學(xué)概念、方法產(chǎn)生和發(fā)展的過程.
2. 理解空間直角坐標系與點的坐標的意義,掌握由空間
15、直角坐標系內(nèi)的點確定其坐標或由坐標確定其在空間直角坐標系內(nèi)的點,認識空間直角坐標系中的點與坐標的關(guān)系.
學(xué)習(xí)重點:求一個幾何圖形的空間直角坐標。
學(xué)習(xí)難點:空間直角坐標系的理解。
二、學(xué)習(xí)過程
思考1: 如何確定一個點在三維空間內(nèi)的位置?
例:如圖26-2,在房間(立體空間)內(nèi)如何確定電燈位置?
思考2:在空間直角坐標系中,空間任意一點A與有序數(shù)組(x,y,z)有什么樣的對應(yīng)關(guān)系?
思考3: (1)在空間直角坐標系中,坐標平面xOy,xOz,yOz上點的坐標有什么特點?
16、
(2) 在空間直角坐標系中,x軸、y軸、z軸上點的坐標有什么特點?
典型例題
例1、 在空間直角坐標系O—xyz中,作出點P(5,4,6).
注意:在分析中緊扣坐標定義,第一步從原點出發(fā)沿x軸正方向移動5個單位,第二步沿與y軸平行的方向向右移動4個單位,第三步沿與z軸平行的方向向上移動6個單位(如
17、圖26-5).
變式練習(xí): 已知長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長AB=12,AD=8,AA′=5,以這個長方體的頂點A為坐標原點,射線AB,AD,AA′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸,建立空間直角坐標系,求這個長方體各個頂點的坐標.
討論:若以C點為原點,以射線CB,CD,CC′方向分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系,那么各頂點的坐標又是怎樣的呢?
例2、結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞,如圖是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體),其中色點代表鈉原子,黑點代表氯原子,如圖,建立空間直角坐標系Oxyz后,試寫出全部鈉原子所
18、在位置的坐標。
變式練習(xí):在長方體OABC-D′A′B′C′中,∣OA∣=3,∣OC∣=4,∣OD∣=2,寫出D 、C、 A 、B四點關(guān)于平面xOy對稱的坐標。
反思總結(jié):
當(dāng)堂檢測:
1. 在空間直角坐標系中,畫出下列各點:A(0,0,3),B(1,2,3),C(2,0,4),D(-1,2,
19、-2).
2. 已知:長方體ABCD-A′B′C′D′的邊長AB=12,AD=8,AA′=7,以這個長方體的頂點B為坐標原點,射線AB,BC,BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸,建立空間直角坐標系,求這個長方體各個頂點的坐標.
3. 寫出坐標平面yOz上∠yOz平分線上的點的坐標滿足的條件.
課后練習(xí)與提高
1.在空間直角坐標系中,點,過點作平面的垂線,則的坐標為( ?。?
A. B. C. D.
2.已知點,則點關(guān)于原點的對稱點的坐標為( ?。?
A. B.
C. D.
3.坐標原點到下列各點的距離最小的是( ?。?
A. B. C. D.
4. 在空間直角坐標系中,的所有點構(gòu)成的圖形是 .
5.點關(guān)于平面的對稱點是 ,關(guān)于平面的對稱點是 ,關(guān)于平面的對稱點是 ,關(guān)于軸的對稱點是 ,關(guān)于軸的對稱點是 ,關(guān)于軸的對稱點是 ?。?
6. 求證:以,,為頂點的三角形是等腰直角三角形.