2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練74 證明不等式的基本方法 理 新人教版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練74 證明不等式的基本方法 理 新人教版 一、選擇題 1．設(shè)t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則s與t的大小關(guān)系是(　　) A．s≥t　　　　　　　　 B．s>t C．s≤t D．s

2、a＋b≥2(＋1)． 【答案】　A 3．(xx·北京東城模擬)設(shè)a，b，c為正數(shù)，且a＋2b＋3c＝13，則＋＋的最大值為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由柯西不等式得 (a＋2b＋3c) ≥(＋＋)2 ∴(＋＋)2≤. ∴＋＋≤. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)等號成立，即a＝9，b＝，c＝時(shí)＋＋取得最大值. 【答案】　C 4．已知a、b、c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為(　　) A．5　　　　B．7 C．9　　　　D．11 【解析】　把a(bǔ)＋b＋c＝1代入＋＋得 ＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 【答案】　C 5．設(shè)0

3、1，則a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一個(gè)是(　　) A．a(chǎn) B．b C．c D．無法判斷 【解析】　∵02＝>， ∴只需比較1＋x與的大小， ∵1＋x－＝＝－<0， ∴1＋x<.因此c＝最大． 【答案】　C 6．(xx·湖北高考)設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，則＝(　　) A.　　　　B. 　　　　C.　　　　D. 【解析】　由題意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，① ①與a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10， 所以

4、不妨令 .則x＋y＋z＝2(a＋b＋c)， 即＝. 【答案】　C 二、填空題 7．(xx·南昌模擬)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2＝4，則3a＋4b＋5c的最大值為________． 【解析】　由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2≤(a2＋b2＋c2)·(9＋16＋25)＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，所以3a＋4b＋5c的最大值為10. 【答案】　10 8．以下三個(gè)命題：①若|a－b|＜1，則|a|＜|b|＋1；②若a，b∈R，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，則＜，其中正確命題的序號是________． 【解析】?、質(zhì)a|

5、－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1； ②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|， 所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ③|x|＜2，|y|＞3，所以＜， 因此＜. ∴①②③均正確． 【答案】　①②③ 9．若x＞0，則函數(shù)f(x)＝3x＋的最小值為________． 【解析】　∵x＞0， ∴f(x)＝3x＋＝x＋x＋ ≥3＝3 ， 等號成立的條件為x＝ ∴x＝， ∴x＝時(shí)，f(x)的最小值為3. 【答案】　3 三、解答題 10．(xx·貴州六校聯(lián)盟)設(shè)a、b、c均為正實(shí)數(shù)，求證：＋＋≥＋＋≥＋＋. 【證明】　∵a，b，c均

6、為正實(shí)數(shù)， ∴＋≥≥當(dāng)a＝b時(shí)等號成立 ＋≥≥當(dāng)b＝c時(shí)等號成立 ＋≥≥當(dāng)a＝c時(shí)等號成立 三個(gè)不等式相加即得 ＋＋≥＋＋≥＋＋當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號成立 即＋＋≥＋＋≥＋＋. 11．(xx·遼寧高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.記f(x)≤1的解集為M，g(x)≤4的解集為N. (1)求M； (2)當(dāng)x∈M∩N時(shí)，證明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. 【解】　(1)f(x)＝ 當(dāng)x≥1時(shí)，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤； 當(dāng)x＜1時(shí)，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1. 所以f(x)≤1的解集為M＝

7、{x|0≤x≤}． (2)證明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4， 解得－≤x≤. 因此N＝， 故M∩N＝. 當(dāng)x∈M∩N時(shí)，f(x)＝1－x， 于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)] ＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤. 12．(xx·東北三省聯(lián)考)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1. (1)求證：|a＋b＋c|≤； (2)若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． 【解】　(1)由柯西不等式得，(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)·(a2＋b2＋c2)＝3， ∴－≤a＋b＋c≤，所以a＋b＋c的取值范圍是， 即|a＋b＋c|≤. (2)同理，(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)＝3， 若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對一切實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，則|x－1|＋|x＋1|≥3，解集為∪.