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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 空間幾何體的三視圖、表面積與體積
1.(xx·江西高考)一幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是( )
【解析】 由三視圖的知識(shí)得B正確.
【答案】 B
2.(xx·浙江高考)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是( )
A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3
【解析】 由題中三視圖知,該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體與一個(gè)三棱柱組成,體積V=3×4×6+×3×4×3=90(cm3),故選B.
【答案】 B
3.(xx·陜西高考)將邊長(zhǎng)
2、為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是( )
A.4π B.3π C.2π D.π
【解析】 ∵圓柱側(cè)面展開(kāi)圖為矩形,底面圓半徑為1,
S側(cè)=2πr·l=2π×1×1=2π,故選C.
【答案】 C
4.(xx·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A.54 B.60 C.66 D.72
【解析】 S表=S底+S上+S左+S前+前
=×3×4+×3×5+5×3+×(2+5)×4+×(2+5)×5
=60.
【答案】 B
5.(xx·全國(guó)大綱
3、高考)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為( )
A. B.16π C.9π D.
【解析】
易知SO′=4
O′D==
設(shè)球的半徑為R,則(4-R)2+2=R2
∴R=,∴S球=4πR2=.
【答案】 A
從近三年高考來(lái)看,該部分高考命題的熱點(diǎn)考向?yàn)椋?
1.空間幾何體的三視圖及確定應(yīng)用
①此類(lèi)問(wèn)題多為考查三視圖的還原問(wèn)題,且常與空間幾何體的表面積、體積等問(wèn)題結(jié)合,主要考查學(xué)生的空間想象能力,是每年的必考內(nèi)容之一.
②試題多以選擇題的形式出現(xiàn),屬基礎(chǔ)題.
2.計(jì)算空間幾何體的表面積與體積
①該考向主要以三視圖
4、為載體,通常是給出某幾何體面積或體積,作為新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容,日益成為了高考中新的增加點(diǎn)和亮點(diǎn).主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力及識(shí)圖能力.
②試題多以選擇題、填空題為主,多屬于中檔題.
3.多面體與球的切、接問(wèn)題
①該考向命題背景寬,以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐與球的內(nèi)切、外接的形式出現(xiàn),也是高考中的一大熱點(diǎn).主要考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.
②試題多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),屬于中檔題.
【例1】 如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是( )
A.三棱錐 B.三棱柱 C
5、.四棱錐 D.四棱柱
(2)(xx·湖北高考)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為( )
A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②
【解析】 (1)直觀圖為:
(2)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中作出棱長(zhǎng)為2的正方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示,由圖可知,該四面體的正視圖為④,俯視圖為②.
【答案】 (1)B (2)D
【規(guī)律方法】 識(shí)與畫(huà)三視圖的關(guān)鍵點(diǎn):
(1)要牢記三視圖的觀察方向和
6、長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系.三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廊線的正投影圍成的平面圖形,反映了一個(gè)幾何體各個(gè)側(cè)面的特點(diǎn).正視圖反映物體的主要形狀特征,是三視圖中最重要的視圖;俯視圖要和正視圖對(duì)正,畫(huà)在正視圖的正下方;側(cè)視圖要畫(huà)在正視圖的正右方,高度要與正視圖平齊.
(2)要熟悉各種基本幾何體的三視圖.
[創(chuàng)新預(yù)測(cè)]
1.(1)(xx·武漢調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是( )
(2)(xx·昆明調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形.若該幾何體的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系0xyz中的坐標(biāo)分
7、別是(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),則第五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為( )
A.(1,1,1) B.(1,1,)
C.(1,1,) D.(2,2,)
【解析】 (1)由已知得選項(xiàng)A、B、C與俯視圖不符,故選D.
(2)因?yàn)檎晥D和側(cè)視圖是等邊三角形,俯視圖是正方形,所以該幾何體是正四棱錐,還原幾何體并結(jié)合其中四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),所求的第五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為S(1,1,z),正視圖為等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,故其高為=,又正四棱錐的高與正視圖的高相等,故z=±,故第五個(gè)頂點(diǎn)的
8、坐標(biāo)可能為(1,1,).
【答案】 (1)D (2)C
【例2】 (1)(xx·山東高考)一個(gè)六棱錐的體積為2,其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形,側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.
(2)(xx·天津高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.
(3)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為( )
A.21+
B.18+
C.21
D.18
【解析】 (1)設(shè)棱錐的高為h,∵V=2,
∴V=×S底·h=×6××22×h=2.
∴h=1,由勾股定理知:側(cè)棱長(zhǎng)為=.
∵六棱錐六個(gè)側(cè)面全等,且
9、側(cè)面三角形的高為=2,
∴S側(cè)=×2×2×6=12.
(2)由幾何體的三視圖知,該幾何體由兩部分組成,一部分是底面半徑為1 m,高為4 m的圓柱,另一部分是底面半徑為2 m,高為2 m的圓錐.
∴V=V柱+V錐=π×12×4+π×22×2=(m3).
(3)根據(jù)幾何體的三視圖畫(huà)出其直觀圖,根據(jù)直觀圖特征求其表面積.
由幾何體的三視圖如題圖可知,則幾何體的直觀圖如圖所示.
因此該幾何體的表面積為6×+2××()2=21+.故選A.
【答案】 (1)12 (2) (3)A
【規(guī)律方法】 1.求解幾何體的表面積及體積的技巧:
(1)求幾何體的表面積及體積問(wèn)題,可以多角度、多方位
10、地考慮,熟記公式是關(guān)鍵所在.求三棱錐的體積,等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化原則是其高易求,底面放在已知幾何體的某一面上.
(2)求不規(guī)則幾何體的體積,常用分割或補(bǔ)形的思想,將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.
2.根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟:
(1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀.
(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量.
(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解.
[創(chuàng)新預(yù)測(cè)]
2.(1)(xx·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ高考)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為( )
A.6
11、 B.4
C.6 D.4
(2)(xx·遼寧高考)某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A.8- B.8- C.8-π D.8-2π
【解析】
(1)還原為直觀圖放在正方體中如圖所示三棱錐D-ABC.
AB=BC=4,AC=4,
DB=DC=2,DA==6.
故最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為6.故選C.
(2)該幾何體是一個(gè)正方體截去兩個(gè)四分之一圓柱形成的組合體,其體積V=23-×2π=8-π,故選C.
【答案】 (1)C (2)C
【例3
12、】 (1)(xx·陜西高考)已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為( )
A. B.4π C.2π D.
(2)(xx·湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示.將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于( )
A.1 B. 2 C.3 D.4
【解析】 (1)連接AC,BD相交于O1,連接A1C1,B1D1,相交于O2并連接O1O2,則線段O1O2的中點(diǎn)為球心.
∴半徑R=
13、|OB|===1,
∴V球=πR3=π,故選D.
(2)由題意知,幾何體為三棱柱,設(shè)最大球的半徑為R.
∴2R=(6+8)-10=4,
∴R=2.
【答案】 (1)D (2)B
【規(guī)律方法】 多面體與球接、切問(wèn)題的求解策略:
(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí),一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系,或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.
(2)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩互相垂
14、直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體,則4R2=a2+b2+c2求解.
[創(chuàng)新預(yù)測(cè)]
3.(1)(xx·遼寧高考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( )
A. B.2
C. D.3
(2)(xx·全國(guó)課標(biāo)Ⅱ高考)已知正四棱錐O-ABCD的體積為,底面邊長(zhǎng)為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為_(kāi)_______.
【解析】 (1)根據(jù)球的內(nèi)接三棱柱的性質(zhì)求解.
因?yàn)橹比庵蠥B=3,AC=4,A
15、A1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC為過(guò)底面ABC的截面圓的直徑.取BC中點(diǎn)D,則OD⊥底面ABC,則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi),矩形BCC1B1的對(duì)角線長(zhǎng)即為球直徑,所以2R==13,即R=.
(2)本題先求出正四棱錐的高h(yuǎn),然后求出側(cè)棱的長(zhǎng),再運(yùn)用球的表面積公式求解.
V四棱錐O-ABCD=××h=,得h=,
∴OA2=h2+()2=+=6.
∴S球=4πOA2=24π.
【答案】 (1)C (2)24π
[總結(jié)提升] 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),需掌握如下三點(diǎn):
失分盲點(diǎn)
1.(1)臺(tái)體的構(gòu)成:
臺(tái)體可以看成是由錐體截得的,但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行.
(2)三視圖的不唯一性
16、:
空間幾何體的不同放置位置對(duì)三視圖會(huì)有影響.
(3)三視圖輪廓線的虛實(shí):
正確確定三視圖的輪廓線,可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見(jiàn)輪廓線為虛線.
(4)元素與位置的變與不變:
幾何體的展開(kāi)與折疊問(wèn)題,準(zhǔn)確確定前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系及元素與位置之間的變化與穩(wěn)定.
2.(1)球的外切四棱錐與內(nèi)接四棱錐是不一樣的,兩者不能混淆.
(2)球的體積公式與錐體的體積公式的系數(shù)不一樣,兩者不能混淆.
答題指導(dǎo)
1.(1)看到三視圖,想到幾何體的直觀圖.
(2)看到三棱錐的體積,想到定底定高.
(3)看到求幾何體的表面積、體積,想到幾何體的表面積、體積公式.
2.(1)看到球的表面積
17、、體積問(wèn)題,想到球的表面積、體積公式.
(2)看到球的組合體問(wèn)題,想到尋找一個(gè)合適的軸截面.
(3)看到球的截面,想到球的截面性質(zhì).
方法規(guī)律
1.(1)畫(huà)三視圖的規(guī)則:
長(zhǎng)對(duì)正,高平齊,寬相等.
(2)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用:
將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.
(3)幾何體體積:
注意割補(bǔ)法(將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解).
(4)幾何體表面上最短距離問(wèn)題:
常常利用幾何體的表面展開(kāi)圖解決.
2.(1)球的直徑:球的直徑等于它的內(nèi)接正方體的對(duì)角線長(zhǎng),等于它的外切正方體的棱長(zhǎng).
(2)與球有關(guān)的接切問(wèn)題:要注意球心的位置以及球心與其他點(diǎn)形成的直角三角形.
18、
有關(guān)球的組合體的圖形與數(shù)據(jù)處理
所謂空間想象力,就是人們對(duì)客觀事物的空間形式進(jìn)行觀察、分析和抽象概括的能力,空間想象能力在立體幾何中主要體現(xiàn)在能對(duì)空間幾何體的各個(gè)元素在空間中的位置進(jìn)行準(zhǔn)確判斷,能畫(huà)出空間幾何體的直觀圖,并在直觀圖中把各種位置關(guān)系表達(dá)出來(lái).球是基本的空間幾何體之一,單一的球的直觀圖容易畫(huà)出,但是當(dāng)球與其他空間幾何體組成組合體時(shí),其直觀圖就很難作出,因此與球有關(guān)的組合體的圖形處理成為空間想象能力考查的重要問(wèn)題.
【典例】 若三棱錐SABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,AB=SA=SB=SC=2,則該三棱錐的外接球的表面積為( )
A.π B.π
C.π D.π
【解析】 如圖所示,由SA=SB=SC可知點(diǎn) S在底面上的射影為△ABC的外心.由于底面是直角三角形,故其外心為斜邊的中點(diǎn)O′,設(shè)該三棱錐外接球的球心為O,半徑為R,則OO′=-R,在△OO′A中,R2=(-R)2+12,即R=,所以球的表面積為4πR2=.
【答案】 D
【規(guī)律感悟】 多面體的外接球的球心是到多面體的各個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在確定多面體外接球的球心時(shí)要抓住這個(gè)特點(diǎn).