2022-2023學年高中數(shù)學 第一講 相似三角形的判定及有關性質(zhì) 一 平行線等分線段定理同步指導練習 新人教A版選修4-1

2022-2023學年高中數(shù)學 第一講 相似三角形的判定及有關性質(zhì) 一 平行線等分線段定理同步指導練習 新人教A版選修4-1 一、基礎達標 1.如圖所示，已知BC＝a cm，且AD∥EF∥BC，AE＝EO＝OC，則AD等于(　　) A.a cm B.2a cm C.3a cm D. cm 解析　∵EF∥AD，AE＝EO，∴F是OD的中點， ∴EF是△OAD的中位線，∴AD＝2EF， 又∵EF∥BC，EO＝OC，∴△OEF≌△OCB， ∴EF＝BC，∴AD＝2a. 答案　B 2.如圖所示，在△ABC中，BD為AC邊上的中線，DE∥AB交BC于E，則陰影部分面積為△ABC面積的(　　) A. B. C. D. 解析　∵DE∥AB，D為AC的中點， ∴E為BC的中點，∴S△BDE＝S△EDC. ∴S△BDE＝S△BDC＝S△ABC. 答案　A 3.如圖所示，若a∥b∥c，那么下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A.由AB＝BC可得FG＝GH B.由AB＝BC可得OB＝OG C.由CE＝2CD可得CA＝2BC D.由GH＝FH可得CD＝DE 解析　∵OB，OG不是一條直線被一組平行線截得的線段，故不正確. 答案　B 4.如圖所示，在△ABC中，E為AB的中點，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，若HC＝BH，則FC＝________BF. 解析　∵AH⊥BC，EF⊥BC， ∴EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH， ∴HC＝BH＝BF，∴FC＝FH＋HC＝BF. 答案　 5.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中點，延長CM，交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB＝6 cm，則AP＝________；若PM＝1 cm，則PC＝________. 解析　由AD⊥BC，AB＝AC知BD＝CD，又DN∥CP，∴BN＝NP.又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，∴AP＝AB＝2(cm)，易知PM＝DN，DN＝PC，∴PC＝4PM＝4(cm). 答案　2 cm　4 cm 6.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F. 求證：AF＝BF. 證明　如圖，延長AE交BC于M. ∵CD是∠ACB的角平分線，AE⊥CD， 可證△AEC≌MEC，∴AE＝EM， 又在△ABM中，EF∥BF， ∴點F是AB的中點，∴AF＝BF. 二、能力提升 7.如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，點E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，且AC⊥BC，若AD＝5，EF＝6，則CF的長為(　　) A.6.5 B.6 C.5 D.4 解析　連接BD，∵點E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點. ∴EF綊BD，又∵EF＝6， ∴BD＝12，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝12，BC＝AD＝5， 又∵AC⊥BC，∴AB＝＝13， ∵F是AB的中點，∴CF＝AB＝＝6.5. 答案　A 8.某梯形的中位線長10 cm，一條對角線將中位線分成的兩部分之差是3 cm，則該梯形中的較大的底邊等于________cm. 解析　由已知中位線被BD分成的較長的一部分GF＝， 又∵EF∥BC，且F為DC的中點，∴G為BD的中點，∴在△DBC中，GF＝BC， ∴較大的底邊BC長為13. 答案　13 9.如圖所示，AD∥EG∥FH∥BC，E，F(xiàn)三等分AB，G，H在DC上，AD＝4，BC＝13，則EG＝________，F(xiàn)H＝________. 解析　由梯形中位線定理知： 2EG＝AD＋FH，2FH＝EG＋BC， 又由已知AD＝4，BC＝13，∴可解得EG＝7，F(xiàn)H＝10. 答案　7　10 10.如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E為AB的中點. 求證：△ECD為等邊三角形. 證明　如圖，連接AC，過點E作EF平行于AD交DC于點F. ∵AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中點， ∴F是DC的中點(經(jīng)過梯形一腰的中點與底邊平行的直線平分另一腰).∵DC⊥BC，∴EF⊥DC.∴ED＝EC(線段垂直分線上的點到線段兩端點的距離相等).∴△EDC為等腰三角形.∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形.∴∠ACB＝60°.又∵E是AB邊的中點，∴CE平分∠ACB.∴∠FEC＝∠ECB＝30°.∴∠DEF＝30°.∴∠DEC＝60°.又∵ED＝EC，∴△ECD為等邊三角形. 11.如圖所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，求BM與CG的長. 解　如圖所示，取BC的中點P，作PQ∥DH交EH于Q，則PQ是梯形ADHE的中位線. ∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴＝，＝，∴＝，∴BM＝4.由于PQ為梯形ADHE的中位線，故PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15. 三、探究與創(chuàng)新 12.有人玩折紙游戲，他先把一張矩形紙ABCD按如圖(1)所示對折，設折痕為MN.如圖(2)所示，再沿AE折疊矩形一部分，使B落在折痕MN上，AE與MN交于P，得到Rt△ABE，延長EB交AD于F，得到△AEF，他認為△AEF是一個等邊三角形，他的觀點是否正確？試說明理由. 解　他的觀點是正確的.理由如下：由題意和題中圖示可知N是梯形ADCE的腰CD的中點，NP∥AD，∴P為EA的中點.又∵△ABE為直角三角形，∴BP＝PA，∴∠PAB＝∠PBA.又∵PB∥AD，∴∠PBA＝∠BAF，∴∠PAB＝∠BAF.∵∠PAB與和它重合的角相等，∴2∠PAB＋∠BAF＝90°，即∠PAB＝∠BAF＝30°.∴∠AEB＝90°－30°＝60°，∠EAF＝∠PAB＋∠BAF＝60°.∴△AEF是等邊三角形.