2022-2023學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明章末檢測 新人教A版選修1 -2

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明章末檢測 新人教A版選修1 -2 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是(　　) ①y＝cos x(x∈R)是三角函數(shù)； ②三角函數(shù)是周期函數(shù)； ③y＝cos x(x∈R)是周期函數(shù)． A．①②③　　　　　　 B．③②① C．②③① D．②①③ 解析：顯然②是大前提，①是小前提，③是結(jié)論． 答案：D 2．用反證法證明命題“＋是無理數(shù)”時，假設(shè)正確的是(　　) A．假設(shè)是有理數(shù) B．假設(shè)是有理數(shù) C．假設(shè)或

2、是有理數(shù) D．假設(shè)＋是有理數(shù) 解析：假設(shè)應為“＋不是無理數(shù)”，即“＋是有理數(shù)”． 答案：D 3．下列推理過程屬于演繹推理的為(　　) A．老鼠、猴子與人在身體結(jié)構(gòu)上有相似之處，某醫(yī)藥先在猴子身上試驗，試驗成功后再用于人體試驗 B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2 C．由三角形的三條中線交于一點聯(lián)想到四面體四條中線(四面體每一個頂點與對面重心的連線)交于一點 D．通項公式形如an＝cqn(cq≠0)的數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{－2n}為等比數(shù)列 解析：A是類比推理，B是歸納推理，C是類比推理，D為演繹推理． 答案：D

3、 4．求證：＋<2. 證明：因為＋和2都是正數(shù)， 所以為了證明＋<2， 只需證明(＋)2<(2)2， 展開得10＋2<20，即<5， 只需證明21<25. 因為21<25成立， 所以不等式＋<2成立． 上述證明過程應用了(　　) A．綜合法 B．分析法 C．綜合法、分析法配合使用 D．間接證法 解析：結(jié)合證明特征可知，上述證明過程用了分析法，其屬于直接證明法． 答案：B 5.四個小動物換座位，開始是猴、兔、貓、鼠分別坐在1,2,3,4號位置上，第1次前后排動物互換位置，第2次左右列互換座位，…，這樣交替進行下去，那么第2 014次互換座位后，小兔的位置對應的是(　

4、　) 開始　　 　第1次　　第2次　 　第3次 A．編號1 B．編號2 C．編號3 D．編號4 解析：由題意得第4次互換座位后，4個小動物又回到了原座位，即每經(jīng)過4次互換座位后，小動物回到原座位，所以第2 012次互換座位后的結(jié)果與最初的位置相同，故小兔坐在第3號座位上． 答案：C 6．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(－3,4)，且法向量為n＝(1，－2)的直線(點法式)方程為：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化簡得x－2y＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點A(1

5、,2,3)，且法向量為m＝(－1，－2,1)的平面的方程為(　　) A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0 C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0 解析：所求的平面方程為－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化簡得x＋2y－z－2＝0. 答案：A 7．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b∈R)”，其反設(shè)正確的是(　　) A．a(chǎn)，b至少有一個不為0 B．a(chǎn)，b至少有一個為0 C．a(chǎn)，b全不為0 D．a(chǎn)，b中只有一個為0 解析：“a，b全為0”的反設(shè)應為“a，b不全為0”，即“a，b至少有一個不為0”．

6、答案：A 8．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 解析：歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為8，公差是6的等差數(shù)列，通項公式為an＝6n＋2. 答案：C 9．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項和為Sn，則＝(　　) A．2 B．4 C. D. 解析：在等比數(shù)列{an}中，q＝2≠1， 設(shè)首項為a1≠0，則S4＝＝15a1， 又a2＝a1

7、q＝2a1， 故＝＝. 答案：C 10．下列不等式中一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析：A項中，因為x2＋≥x， 所以lg≥lg x； B項中sin x＋≥2只有在sin x>0時才成立； C項中由不等式a2＋b2≥2ab可知成立；D項中因為x2＋1≥1，所以0<≤1. 答案：C 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上) 11．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)的一點，∠APB>∠APC，求證：∠BAP<∠CA

8、P，用反證法證明時的假設(shè)為________． 解析：反證法對結(jié)論的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的對立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP 12. ＝2 ， ＝3 ， ＝4 ……若 ＝6 (a，b均為實數(shù))，猜想，a＝________，b＝________. 解析：由前面三個等式，推測歸納被平方數(shù)的整數(shù)與分數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由三個等式知，整數(shù)和這個分數(shù)的分子相同，而分母是這個分子的平方減1，由此推測 中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35. 答案：6　35 13．觀察下列等式 12＝1， 12－22＝－3，

9、 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …… 照此規(guī)律，第n個等式可為____________． 解析：觀察等號左邊可知，左邊的項數(shù)依次加1，故第n個等式左邊有n項，每項所含的底數(shù)也增加1，依次為1,2,3，…，n，指數(shù)都是2，符號正負交替出現(xiàn)，可以用(－1)n＋1表示；等號的右邊數(shù)的絕對值是左邊項的底數(shù)的和，故等式的右邊可以表示為(－1)n＋1·，所以第n個式子可為：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·. 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1· 14. 已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經(jīng)過圓上一點

10、M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓＋＝1類似的性質(zhì)為________． 解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標與縱坐標替換．故可得橢圓＋＝1類似的性質(zhì)為：過橢圓＋＝1上一點P(x0，y0)的切線方程為＋＝1. 答案：經(jīng)過橢圓＋＝1上一點P(x0，y0)的切線方程為＋＝1 15．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于 D上的n個值x1，x2，…，xn，總滿足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)；現(xiàn)已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸

11、函數(shù)，則△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________． 解析：因為f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函數(shù)(小前提)， 所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(結(jié)論)， 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝. 因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是. 答案： 三、解答題(本大題共有6小題，共75分．解答時應寫出文字說明、證明過程或運算步驟) 16．(12分)(2016·高考全國卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ.

12、 (1)證明：由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，故a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan. 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝. 因此{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝n－1. (2)解：由(1)得Sn＝1－n. 由S5＝得1－5＝， 即5＝. 解得λ＝－1. 17．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(x＞0)．如下定義一列函數(shù)：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由歸

13、納推理求函數(shù)fn(x)的解析式． 解析：依題意得，f1(x)＝， f2(x)＝＝＝， f3(x)＝＝＝，…，由此歸納可得fn(x)＝(x＞0)． 18．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝lg |x|，若0＜a＜b，且f(a)＞f(b)． 證明：0＜ab＜1. 證明：f(x)＝lg |x| ＝ ∵0＜a＜b，f(a)＞f(b)． ∴a、b不能同時在區(qū)間[1，＋∞)上， 又由于0＜a＜b，故必有a∈(0,1)． 若b∈(0,1)，顯然有0＜ab＜1； 若b∈(1，＋∞)，由f(a)－f(b)＞0， 有－lg a－lg b＞0， ∴l(xiāng)g(ab)＜0，∴0＜ab＜1. 19．(1

14、2分)已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且其中任意兩邊長均不相等，若，，成等差數(shù)列． (1)比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論； (2)求證：角B不可能是鈍角． 解析：(1) < .證明如下： 要證 < ，只需證<. ∵a，b，c>0，∴只需證b2>0， 這與cos B<0矛盾，故假設(shè)不成立． 所以角B不可能是鈍角． 解法二：假設(shè)角B是鈍角，則角B的對邊b為

15、最大邊，即b>a，b>c，所以>>0，>>0，則＋>＋＝，這與＋＝矛盾，故假設(shè)不成立． 所以角B不可能是鈍角． 20．(13分)(2016·高考全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝αcos 2x＋(α－1)·(cos x＋1)，其中α>0，記|f(x)|的最大值為A. (1)求f′(x)； (2)求A； (3)證明|f′(x)|≤2A. 解：(1)f′(x)＝－2αsin 2x－(α－1)sin x. (2)解：當α≥1時，|f(x)|＝|αcos 2x＋(α－1)(cos x＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f(0)．故A＝3α－2. 當0<α<1時，將f(x)變形為 f(x)＝

16、2αcos2x＋(α－1)cos x－1. 令g(t)＝2αt2＋(α－1)t－1， 則A是|g(t)|在[－1,1]上的最大值， g(－1)＝α，g(1)＝3α－2， 且當t＝時，g(t)取得極小值， 極小值為g＝－－1＝－. 令－1<<1，解得α>. ①當0<α≤時，g(t)在(－1,1)內(nèi)無極值點， |g(－1)|＝α，|g(1)|＝2－3α，|g(－1)|<|g(1)|， 所以A＝2－3α. ②當<α<1時，由g(－1)－g(1)＝2(1－α)>0， 知g(－1)>g(1)>g. 又－|g(－1)|＝>0. 所以A＝＝. 綜上，A＝ (3)證明：由(1)得

17、|f′(x)|＝|－2αsin 2x－(α－1)sin x|≤2α＋|α－1|. 當0<α≤時，|f′(x)|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A. 當<α<1時，A＝＋＋≥1， 所以|f′(x)|≤1＋α<2A. 當α≥1時，|f′(x)|≤3α－1≤6α－4＝2A. 所以|f′(x)|≤2A. 21．(14分)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列． (1)證明：a2＝； (2)求數(shù)列{an}的通項公式； (3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<. 解析：(1)證明：當n＝1時，4a1＝a－5，a＝4a1＋5， 又an>0，∴a2＝. (2)當n≥2時，4Sn－1＝a－4(n－1)－1， ∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4， 即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2， 又an>0，∴an＋1＝an＋2， ∴當n≥2時，{an}是公差為2的等差數(shù)列． 又a2，a5，a14成等比數(shù)列． ∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3. 由(1)知a1＝1.又a2－a1＝3－1＝2， ∴數(shù)列{an}是首項a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列． ∴an＝2n－1. (3)證明：＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝ ＝<.