（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學案 文 新人教A版

第3節(jié)　圓的方程 最新考綱　掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程. 知 識 梳 理 1.圓的定義和圓的方程 定義 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓 方程 標準 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圓心C(a，b) 半徑為r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0) 充要條件：D2＋E2－4F＞0 圓心坐標： 半徑r＝ 2.點與圓的位置關(guān)系 平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系： (1)d＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外； (2)d＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上； (3)d＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi). [常用結(jié)論與微點提醒] 1.圓心在坐標原點半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 3.求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(　　) (2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.(　　) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓.(　　) (4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　) 解析　(2)當a＝0時，x2＋y2＝a2表示點(0，0)；當a＜0時，表示半徑為|a|的圓. (3)當(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1時表示圓. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.若點(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(－1，1) B.(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1 解析　因為點(1，1)在圓的內(nèi)部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 答案　A 3.(2018·長春質(zhì)檢)圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程是(　　) A.(x－)2＋(y－1)2＝4 B.(x－)2＋(y－)2＝4 C.x2＋(y－2)2＝4 D.(x－1)2＋(y－)2＝4 解析　圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2，0)關(guān)于直線y＝x對稱的坐標為(1，)，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4. 答案　D 4.(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________. 解析　由已知方程表示圓，則a2＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去. 當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓. 答案　(－2，－4)　5 5.(必修2P124A4改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1，1)和B(1，3)，則圓C的方程為________. 解析　設(shè)圓心坐標為C(a，0)， ∵點A(－1，1)和B(1，3)在圓C上，∴|CA|＝|CB|， 即＝， 解得a＝2，所以圓心為C(2，0)， 半徑|CA|＝＝， ∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10. 答案　(x－2)2＋y2＝10 考點一　圓的方程 【例1】 (1)(一題多解)過點A(4，1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點B(2，1)，則圓C的方程為________. (2)已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長等于6，則圓C的方程為________. 解析　(1)法一　由已知kAB＝0，所以AB的中垂線方程為x＝3.① 過B點且垂直于直線x－y－1＝0的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，② 聯(lián)立①②，解得所以圓心坐標為(3，0)，半徑r＝＝， 所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2. 法二　設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵點A(4，1)，B(2，1)在圓上，故 又∵＝－1， 解得a＝3，b＝0，r＝， 故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝2. (2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 將P，Q兩點的坐標分別代入得 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③ 設(shè)x1，x2是方程③的兩根， 由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④ 聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為 x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0. 答案　(1)(x－3)2＋y2＝2　(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 規(guī)律方法　求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法： (1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線； (2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解. 【訓(xùn)練1】 (1)(2018·蘭州診斷)半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線x＝0和x＋y＝2均相切，則該圓的標準方程為(　　) A.(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C.(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D.(x－2)2(y＋2)2＝4 (2)(2015·全國Ⅰ卷)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________. 解析　(1)設(shè)圓心坐標為(2，－a)(a>0)，則圓心到直線x＋y＝2的距離d＝＝2，∴a＝2，∴該圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4. (2)由題意知圓過(4，0)，(0，2)，(0，－2)三點，(4，0)，(0，－2)兩點的垂直平分線方程為y＋1＝－2(x－2)， 令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為. ∴圓的標準方程為＋y2＝. 答案　(1)C　(2)＋y2＝ 考點二　與圓有關(guān)的最值問題 【例2】 已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，為半徑的圓. (1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx. 當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值， 此時＝，解得k＝±(如圖1). 所以的最大值為，最小值為－. (2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±(如圖2). 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3). 又圓心到原點的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 規(guī)律方法　把有關(guān)式子進行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見： (1)形如m＝的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題； (2)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題. 【訓(xùn)練2】 設(shè)點P是函數(shù)y＝－圖象上的任意一點，點Q坐標為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為________. 解析　函數(shù)y＝－的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4在x軸及下方的部分，令點Q的坐標為(x，y)，則得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示， 由于圓心(1，0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝＝>2，所以直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最小值是－2. 答案?。? 考點三　與圓有關(guān)的軌跡問題 【例3】 設(shè)定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡. 解　如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為，線段MN的中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相平分， 故＝，＝.從而 又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4. 因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點和(點P在直線OM上時的情況). 規(guī)律方法　求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程； (2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程； (3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程； (4)代入法，找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等. 【訓(xùn)練3】 (2018·鄭州模擬)已知線段AB的端點B在圓C1：x2＋(y－4)2＝16上運動，端點A的坐標為(4，0)，線段AB的中點為M. (1)試求M點的軌跡C2的方程； (2)若圓C1與曲線C2交于C，D兩點，試求線段CD的長. 解　(1)設(shè)M(x，y)，B(x′，y′)， 則由題意可得解得 ∵點B在圓C1：x2＋(y－4)2＝16上， ∴(2x－4)2＋(2y－4)2＝16，即(x－2)2＋(y－2)2＝4. ∴M點的軌跡C2的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4. (2)由方程組得直線CD的方程為x－y－1＝0，圓C1的圓心C1(0，4)到直線CD的距離 d＝＝，又圓C1的半徑為4， ∴線段CD的長為2＝. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1.已知點A(1，－1)，B(－1，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　) A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝ C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4 解析　AB的中點坐標為(0，0)， |AB|＝＝2， ∴圓的方程為x2＋y2＝2. 答案　A 2.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(－∞，－2)∪ B. C.(－2，0) D. 解析　方程為＋(y＋a)2＝1－a－表示圓，則1－a－＞0，解得－2＜a＜. 答案　D 3.(2018·廈門質(zhì)檢)圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|＝2，則圓C的標準方程為(　　) A.(x－1)2＋(y－)2＝2 B.(x－1)2＋(y－2)2＝2 C.(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D.(x－1)2＋(y－)2＝4 解析　由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標為(1，)，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－)2＝2. 答案　A 4.點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是(　　) A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析　設(shè)圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)，則解得因為點Q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4， 化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 答案　A 5.(2015·全國Ⅱ卷)已知三點A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為(　　) A. B. C. D. 解析　由點B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，① 由點A(1，0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為 y－＝，② 聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標為， 其到原點的距離為 ＝. 答案　B 二、填空題 6.(2018·長沙模擬)以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，與該拋物線的準線相切的圓的標準方程為________. 解析　拋物線y2＝4x的焦點為(1，0)，準線為x＝－1，故所求圓的圓心為(1，0)，半徑為2，所以該圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4. 答案　(x－1)2＋y2＝4 7.(2018·宜昌模擬)已知圓C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，當圓C的面積取最大值時，圓心C的坐標為________. 解析　圓C的方程可化為＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，當k＝0時圓C的面積最大. 答案　(0，－1) 8.已知點M(1，0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________. 解析　過點M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2，1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案　x＋y－1＝0 三、解答題 9.一圓經(jīng)過A(4，2)，B(－1，3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截距的和為2，求此圓的方程. 解　設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E. 由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.① 又因為圓過點A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.② 1＋9－D＋3E＋F＝0.③ 解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0. 10.已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點. (1)求M的軌跡方程； (2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積. 解　(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y). 由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，為半徑的圓.由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為x＋3y－8＝0. 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為， 所以|PM|＝，S△POM＝××＝， 故△POM的面積為. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為(　　) A.1 B.5 C.4 D.3＋2 解析　由題意知圓心C(2，1)在直線ax＋2by－2＝0上， ∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1， ∴＋＝(a＋b)＝3＋＋ ≥3＋2 ＝3＋2， 當且僅當＝，即b＝2－，a＝－1時，等號成立. ∴＋的最小值為3＋2. 答案　D 12.(2018·東北三省四校聯(lián)考)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點P是圓C上的動點.記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，則d的最大值為________. 解析　設(shè)P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y為圓上任一點到原點距離的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74. 答案　74 13.(2017·全國Ⅲ卷)已知拋物線C：y2＝2x，過點(2，0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明：坐標原點O在圓M上； (2)設(shè)圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程. (1)證明　設(shè)l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立消去x得y2－2my－4＝0， Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y2＝－4. ·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2 ＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0.所以⊥，即O在圓M上. (2)解　由(1)可得x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圓心M的坐標為(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝. 由于圓M過點P(4，－2)，因此·＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4. 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 當m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標為(3，1)，圓M的半徑為， 圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標為，圓M的半徑為， 圓M的方程為＋＝. 11