5、＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________.
解析 由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.
當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓.
答案 (－2，－4) 5
5.(教材習題改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1，1)和B(1，3)，則圓C的方程為________.
解析 設圓心坐標為C(a，0)，
∵點A(－1，1)和B(1，3)在圓C上，
∴|CA|＝|CB|
6、，即＝，
解得a＝2，所以圓心為C(2，0)，
半徑|CA|＝＝，
∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.
答案 (x－2)2＋y2＝10
考點一 圓的方程
【例1】 (1)(一題多解)過點A(4，1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點B(2，1)，則圓C的方程為________.
(2)已知圓C經過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長等于6，則圓C的方程為________.
解析 (1)法一 由已知kAB＝0，所以AB的中垂線方程為x＝3.①
過B點且垂直于直線x－y－1＝0的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
聯(lián)立①②，解得所
7、以圓心坐標為(3，0)，半徑r＝＝，
所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2.
法二 設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
∵點A(4，1)，B(2，1)在圓上，故
又∵＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝，
故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝2.
(2)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
將P，Q兩點的坐標分別代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
設x1，x2是方程③的兩根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.
故所求
8、圓的方程為
x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
答案 (1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
規(guī)律方法 求圓的方程時，應根據條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：
(1)幾何法，通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；
(2)代數法，即設出圓的方程，用待定系數法求解.
【訓練1】 (1)(2018·蘭州診斷)半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線
9、x＝0和x＋y＝2均相切，則該圓的標準方程為( )
A.(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝2
C.(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D.(x－2)2(y＋2)2＝4
(2)(2015·全國Ⅰ卷)一個圓經過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________.
解析 (1)設圓心坐標為(2，－a)(a>0)，則圓心到直線x＋y＝2的距離d＝＝2，∴a＝2，∴該圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
(2)由題意知圓過(4，0)，(0，2)，(0，－2)三點，(4，0)，(0，－2)兩點的垂直平分線方程為
y＋1
10、＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為.
∴圓的標準方程為＋y2＝.
答案 (1)C (2)＋y2＝
考點二 與圓有關的最值問題
【例2】 已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解 原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，為半徑的圓.
(1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，
所以設＝k，即y＝kx.
當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時＝，解得k＝±(如圖1).
所以的最大值為，最小值為－.
11、(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±(如圖2).
所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3).
又圓心到原點的距離為＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
規(guī)律方法 把有關式子進行轉化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數形結合以及轉化的數學思想，其中以下幾類轉化極為常見：
(1)形如m＝的最值問題，可轉化
12、為動直線斜率的最值問題；
(2)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉化為兩點間距離的平方的最值問題.
【訓練2】 設點P是函數y＝－圖象上的任意一點，點Q坐標為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為________.
解析 函數y＝－的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4在x軸及下方的部分，令點Q的坐標為(x，y)，則得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示，
由于圓心(1，0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝＝>2，所以直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最
13、小值是－2.
答案?。?
考點三 與圓有關的軌跡問題
【例3】 設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.
解 如圖所示，設P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為，線段MN的中點坐標為.由于平行四邊形的對角線互相平分，
故＝，＝.從而
又N(x＋3，y－4)在圓上，
故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應除去兩點和(點P在直線OM上時的情況).
規(guī)律方法 求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根據題目提
14、供的條件列出方程；
(2)定義法，根據圓、直線等定義列方程；
(3)幾何法，利用圓的幾何性質列方程；
(4)代入法，找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等.
【訓練3】 (2018·鄭州模擬)已知線段AB的端點B在圓C1：x2＋(y－4)2＝16上運動，端點A的坐標為(4，0)，線段AB的中點為M.
(1)試求M點的軌跡C2的方程；
(2)若圓C1與曲線C2交于C，D兩點，試求線段CD的長.
解 (1)設M(x，y)，B(x′，y′)，
則由題意可得解得
∵點B在圓C1：x2＋(y－4)2＝16上，
∴(2x－4)2＋(2y－4)2＝16，即(x－2)2＋(y－
15、2)2＝4.
∴M點的軌跡C2的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)由方程組得直線CD的方程為x－y－1＝0，
圓C1的圓心C1(0，4)到直線CD的距離d＝＝，
又圓C1的半徑為4，
∴線段CD的長為2＝.
基礎鞏固題組
(建議用時：40分鐘)
一、選擇題
1.已知點A(1，－1)，B(－1，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是( )
A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝
C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4
解析 AB的中點坐標為(0，0)，
|AB|＝＝2，
∴圓的方程為x2＋y2＝2.
答案 A
2.方程x2＋y2＋ax＋2
16、ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實數a的取值范圍是( )
A.(－∞，－2)∪ B.
C.(－2，0) D.
解析 方程為＋(y＋a)2＝1－a－表示圓，則1－a－＞0，解得－2＜a＜.
答案 D
3.(2018·臨沂質檢)圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|＝2，則圓C的標準方程為( )
A.(x－1)2＋(y－)2＝2 B.(x－1)2＋(y－2)2＝2
C.(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D.(x－1)2＋(y－)2＝4
解析 由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標為(1，)，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－)2＝2
17、.
答案 A
4.點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 設圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)，則解得因為點Q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
5.(2015·全國Ⅱ卷)已知三點A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為( )
A. B.
18、 C. D.
解析 由點B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①
由點A(1，0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為
y－＝，②
聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標為，
其到原點的距離為 ＝.
答案 B
二、填空題
6.(2018·長沙模擬)以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，與該拋物線的準線相切的圓的標準方程為________.
解析 拋物線y2＝4x的焦點為(1，0)，準線為x＝－1，故所求圓的圓心為(1，0)，半徑為2，所以該圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4.
答案 (x－1)2＋y2＝4
7.(2018·宜昌模擬)已知圓C
19、：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，當圓C的面積取最大值時，圓心C的坐標為________.
解析 圓C的方程可化為＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，當k＝0時圓C的面積最大.
答案 (0，－1)
8.已知點M(1，0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________.
解析 過點M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2，1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
三、解答題
9.一圓經過A(4，2)，B(－1，3)兩點，且在兩坐標軸上的四個截
20、距的和為2，求此圓的方程.
解 設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①
又因為圓過點A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②
1＋9－D＋3E＋F＝0.③
解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12.
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.
10.已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點.
(
21、1)求M的軌跡方程；
(2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程及△POM的面積.
解 (1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.
設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).
由題設知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于點P在圓C的內部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，為半徑的圓.由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.
因為ON的斜率為3，所以l的斜率為
22、－，
故l的方程為x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面積為.
能力提升題組
(建議用時：20分鐘)
11.若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長，則＋的最小值為( )
A.1 B.5 C.4 D.3＋2
解析 由題意知圓心C(2，1)在直線ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋
≥3＋2 ＝3＋2，
當且僅當＝，即b＝2－，a＝－1時，等號成立.
∴＋的最小值為3＋2.
23、
答案 D
12.(2018·東北三省四校聯(lián)考)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設點P是圓C上的動點.記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，則d的最大值為________.
解析 設P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y為圓上任一點到原點距離的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
答案 74
13.(2017·全國Ⅲ卷)已知拋物線C：y2＝2x，過點(2，0)的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.
(1)證明：坐標原點O在圓M上；
24、
(2)設圓M過點P(4，－2)，求直線l與圓M的方程.
(1)證明 設l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立消去x得y2－2my－4＝0，
Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0.
所以⊥，即O在圓M上.
(2)解 由(1)可得x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圓心M的坐標為(m2＋2，m)，圓M的半徑r＝.
由于圓M過點P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
當m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標為(3，1)，圓M的半徑為，
圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.
當m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標為，圓M的半徑為，
圓M的方程為＋＝.
12
（全國通用版）2019版高考數學大一輪復習 第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學案 理 新人教B版
