（浙江專版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 第6節(jié) 數(shù)學歸納法學案 理

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1、 第6節(jié)　數(shù)學歸納法 最新考綱　1.了解數(shù)學歸納法的原理；2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題． 知 識 梳 理 1．數(shù)學歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立； (2)(歸納遞推)假設n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立． 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立． 2．數(shù)學歸納法的框圖表示 [常用結論與微點提醒] 1．數(shù)學歸納法證題時初始值n0不一定是1. 2．推證n＝k＋1時一定要用上n＝k時的假設，否則不是數(shù)學

2、歸納法． 診 斷 自 測 1．思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)用數(shù)學歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗證n＝1時，左邊式子應為1＋2＋22＋23.(　　) (2)所有與正整數(shù)有關的數(shù)學命題都必須用數(shù)學歸納法證明．(　　) (3)用數(shù)學歸納法證明問題時，歸納假設可以不用．(　　) (4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項數(shù)都增加了一項．(　　) 解析　對于(2)，有些命題也可以直接證明；對于(3)，數(shù)學歸納法必須用歸納假設；對于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一項． 答案　(1)√　(2)×　(

3、3)×　(4)× 2．(選修2－2P99B1改編)在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步檢驗n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應檢驗n＝3. 答案　C 3．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則(　　) A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋ B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋ C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋ D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋ 解析　f(n)共有n2－n＋1項，當n＝2時，＝，＝，故f(2)＝＋＋

4、. 答案　D 4．(2018·臺州月考)用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋1)，第一步要證的不等式是________． 解析　當n＝2時，式子為1＋＋<2. 答案　1＋＋<2 5．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，當?shù)诙郊僭On＝2k－1(k∈N*)命題為真時，進而需證n＝________時，命題亦真． 解析　由于步長為2，所以2k－1后一個奇數(shù)應為2k＋1. 答案　2k＋1 6．(2017·寧波調(diào)研)用數(shù)學歸納法證明“當n為正偶數(shù)時，xn－yn能被x＋y整除”第一步應驗證n＝________時，命題成立；第二步歸納假設成立應寫成___

5、_____． 解析　因為n為正偶數(shù)，故第一個值n＝2，第二步假設n取第k個正偶數(shù)成立，即n＝2k，故應假設成x2k－y2k能被x＋y整除． 答案　2　x2k－y2k能被x＋y整除 考點一　用數(shù)學歸納法證明等式 【例1】 用數(shù)學歸納法證明： ＋＋＋…＋＝(n∈N*)． 證明　(1)當n＝1時， 左邊＝＝， 右邊＝＝， 左邊＝右邊，所以等式成立． (2)假設n＝k(k∈N*)時等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 則當n＝k＋1時，＋＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝. 所以當n＝k＋1時，等式也成立， 由(1)(2)可知，對于一切n∈N*等式都成立． 規(guī)律方法　(1)用數(shù)

6、學歸納法證明等式問題，要“先看項”，弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少． (2)由n＝k時等式成立，推出n＝k＋1時等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標；二要充分利用歸納假設，進行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設的證明，就不是數(shù)學歸納法． 【訓練1】 求證：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)． 證明　(1)當n＝1時，等式左邊＝2，右邊＝2，故等式成立； (2)假設當n＝k(k∈N*)時等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么

7、當n＝k＋1時， 左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 所以當n＝k＋1時等式也成立． 由(1)(2)可知，對所有n∈N*等式成立． 考點二　用數(shù)學歸納法證明不等式 【例2】 (2017·浙江五校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知對任意的n∈N*，點(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上． (1)求r的值； (2)當b＝2時，記bn＝

8、2(log2an＋1)(n∈N*)． 證明：對任意的n∈N*，不等式··…·>成立． (1)解　由題意，Sn＝bn＋r， 當n≥2時，Sn－1＝bn－1＋r， 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)， 由于b>0，且b≠1，所以n≥2時，{an}是以b為公比的等比數(shù)列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1. (2)證明　由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所證不等式為··…·>. ①當n＝1時，左式＝，右式＝， 左式>右式，所以結論成立． ②假設n＝k時結論成立，即··…·>， 則當n＝k＋1時，··…··>·＝， 要證當

9、n＝k＋1時結論成立， 只需證≥， 即證≥， 由基本不等式可得 ＝≥成立， 故≥成立，所以當n＝k＋1時，結論成立． 由①②可知，n∈N*時， 不等式··…·>成立． 規(guī)律方法　應用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的問題 (1)當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法． (2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構造函數(shù)法等證明方法． 【訓練2】 (2018·寧波十校適應性考試)已知數(shù)列{an}(n∈N*)，滿足a1＝1，2an＋1＝a

10、n＋. (1)求證：. n＝1時，2a2＝＋，∴a2＝＋>，結論成立， 假設n＝k時，結論成立，即ak＋1>， 則n＝k＋1時，2ak＋2＝ak＋1＋>＋1＝， ∴ak＋2>，即n＝k＋1時，結論成立， ∴an＋1>，∴an＋1－an＝－an＋ ＝－＋<－＋＝0. ∴

11、∴Sn<＋. 考點三　歸納——猜想——證明 【例3】 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式； (2)證明(1)中的猜想． (1)解　當n＝1時，由已知得a1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0)． 當n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1， 將a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0. ∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－. 猜想an＝－(n∈N*)． (2)證明?、儆?1)知，當n＝1，2，3時，通項公式成立． ②假設當n＝k(k≥3，k∈N*)時，通項公式成立，

12、 即ak＝－. 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式，整理得 a＋2ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝－， 即n＝k＋1時通項公式成立． 由①②可知對所有n∈N*，an＝－都成立． 規(guī)律方法　(1)利用數(shù)學歸納法可以探索與正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結論，然后經(jīng)邏輯推理論證結論的正確性． (2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗—歸納—猜想—證明”．高中階段與數(shù)列結合的問題是最常見的問題． 【訓練3】 設函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的

13、導函數(shù)． (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍； (3)設n∈N*，猜想g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f(n)的大小，并加以證明． 解　由題設得，g(x)＝(x≥0)． (1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可猜想gn(x)＝. 下面用數(shù)學歸納法證明． ①當n＝1時，g1(x)＝，結論成立． ②假設n＝k時結論成立，即gk(x)＝. 那么，當n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x)) ＝＝＝，即結論成立．

14、 由①②可知，結論對n∈N*成立． (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立． 設φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)， 則φ′(x)＝－＝， 當a≤1時，φ′(x)≥0(僅當x＝0，a＝1時等號成立)， ∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增． 又φ(0)＝0， ∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(僅當x＝0時等號成立)． 當a>1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0， ∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0. 即a>1時，存在x>0，使φ(x)<0， ∴l(xiāng)n(1＋x)≥不恒

15、成立， 綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]． (3)由題設知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln(n＋1)， 猜想結果為g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)． 證明如下：上述不等式等價于＋＋…＋，x>0. 令x＝，n∈N*，則

16、②可知，結論對n∈N*成立． 基礎鞏固題組 一、選擇題 1．已知等式12＋22＋…＋n2＝，以下說法正確的是(　　) A．僅當n＝1時等式成立 B．僅當n＝1，2，3時等式成立 C．僅當n＝1，2時等式成立 D．n為任意自然數(shù)時等式成立 解析　當n＝1，2，3時均成立，當n＝4時不成立． 答案　B 2．用數(shù)學歸納法證明“2n＞2n＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 解析　∵n＝1時，21＝2，2×1＋1＝3，2n＞2n＋1不成立； n＝2時，22＝4，2×2＋1＝5，2n＞2n＋1

17、不成立； n＝3時，23＝8，2×3＋1＝7，2n＞2n＋1成立． ∴n的第一個取值n0＝3. 答案　B 3．某個命題與正整數(shù)有關，如果當n＝k(k∈N*)時該命題成立，那么可以推出n＝k＋1時該命題也成立．現(xiàn)已知n＝5時該命題成立，那么(　　) A．n＝4時該命題成立 B．n＝4時該命題不成立 C．n≥5，n∈N*時該命題都成立 D．可能n取某個大于5的整數(shù)時該命題不成立 解析　顯然A，B錯誤，由數(shù)學歸納法原理知C正確，D錯． 答案　C 4．利用數(shù)學歸納法證明不等式“1＋＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)”的過程中，由“n＝k”變到“n＝k＋1”時，左邊增加了(　　) A

18、．1項 B．k項 C．2k－1項 D．2k項 解析　左邊增加的項為＋＋…＋共2k項，故選D. 答案　D 5．對于不等式

19、＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析　當n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2. 當n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故選D. 答案　D 二、填空題 7．設Sn＝1＋＋＋＋…＋，則Sn＋1－Sn＝________． 解析　∵Sn＋1＝1＋＋…＋＋＋…＋， Sn＝1＋＋＋＋…＋. ∴Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋

20、. 答案?。? 8．(2018·杭州月考)設f(n)＝62n－1＋1，則f(k＋1)用含有 f(k)的式子表示為________． 解析　f(k)＝62k－1＋1，f(k＋1)＝62(k＋1)－1＋1＝36·62k－1＋1＝36(62k－1＋1)－35＝36f(k)－35. 答案　36f(k)－35 9．凸n多邊形有f(n)條對角線．則凸(n＋1)邊形的對角線的條數(shù)f(n＋1)與f(n)的遞推關系式為________． 解析　f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1. 答案　f(n＋1)＝f(n)＋n－1 10．(2017·紹興調(diào)研)數(shù)列{an}中，已知

21、a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計算出a2，a3，a4的值分別為________；猜想an＝________． 解析　a1＝2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.由此，猜想an是以分子為2，分母是以首項為1，公差為6的等差數(shù)列．∴an＝. 答案　，，　 三、解答題 11．用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－ (n∈N*，n≥2)． 證明　(1)當n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立． (2)假設n＝k時命題成立，即1＋＋＋…＋<2－. 當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命題成立． 由(1)(2)知原不等式在n∈N*，n≥2時均成立． 12．數(shù)列

22、{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an； (2)證明(1)中的猜想． (1)解　當n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1； 當n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝； 當n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝； 當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4， ∴a4＝. 由此猜想an＝(n∈N*)． (2)證明　①當n＝1時，a1＝1，結論成立． ②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時，結論成立， 即ak＝，那么n＝k＋1時， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－a

23、k＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝. 所以當n＝k＋1時，結論成立． 由①②知猜想an＝(n∈N*)成立． 能力提升題組 13．設n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，經(jīng)計算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，觀察上述結果，可推測出一般結論(　　) A．f(2n)＞ B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．以上都不對 解析　因為f(22)＞，f(23)＞，f(24)＞，f(25)＞，所以當n≥1時，有f(2n)≥. 答案　C 14．設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當

24、f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(1)<1成立，則f(10)<100成立 B．若f(2)<4成立，則f(1)≥1成立 C．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立 D．若f(4)≥16成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立 解析　選項A，B的答案與題設中不等號方向不同，故A，B錯；選項C中，應該是k≥3時，均有f(k)≥k2成立；對于選項D，滿足數(shù)學歸納法原理，該命題成立． 答案　D 15．(2017·金華調(diào)研)設平面上n個圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)＝_____

25、___，f(n)＝________．(n≥1，n∈N*) 解析　易知2個圓周最多把平面分成4片；n個圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1個圓周，為使得到盡可能多的平面區(qū)域，第n＋1個應與前面n個都相交且交點均不同，有n條公共弦，其端點把第n＋1個圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，從而f(n)＝n2－n＋2. 答案　4　n2－n＋2 16．數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)． (1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c＜0； (2)若0＜c

26、≤，證明數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列． 證明　(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，∴數(shù)列{xn}是遞減數(shù)列． 必要性：若{xn}是遞減數(shù)列，則x2＜x1，且x1＝0. 又x2＝－x＋x1＋c＝c，∴c＜0. 故{xn}是遞減數(shù)列的充要條件是c＜0. (2)若0＜c≤，要證{xn}是遞增數(shù)列． 即xn＋1－xn＝－x＋c＞0， 即證xn＜對任意n≥1成立． 下面用數(shù)學歸納法證明： 當0＜c≤時，xn＜對任意n≥1成立． ①當n＝1時，x1＝0＜≤，結論成立． ②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時結論成立，即xk＜. 因為函數(shù)f(x)＝－x2＋x

27、＋c在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk＋1＝f(xk)＜f()＝， ∴當n＝k＋1時，xk＋1＜成立． 由①，②知，xn＜對任意n≥1，n∈N*成立． 因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是遞增數(shù)列． 17．(2018·浙江五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝，記Sn為{an}的前n項和． (1)證明：an＋1>an； (2)證明：an＝cos； (3)證明：Sn>n－. 證明　(1)因為an>0， 且2a－2a＝an＋1－2a＝(1－an)(1＋2an)， 故要證an＋1>an，只需要證明an<1即可． 下用數(shù)學歸納法證明： 當n＝1時，a1＝<1成立； 假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，ak<1成立， 那么當n＝k＋1時，ak＋1＝<＝1， 綜上所述，對任意n，有an<1.所以an＋1>an. (2)用數(shù)學歸納法證明an＝cos. 當n＝1時，a1＝＝cos＝cos成立； 假設n＝k(k≥1，k∈N*)時，ak＝cos， 那么當n＝k＋1時， ak＋1＝＝＝cos. 所以綜上所述，對任意n，an＝cos. (3)由＝1－＝1－a＝sin2<(n≥2)，得an－1>1－(n≥2)． 故當n＝1時，S1＝>1－； 當n≥2時，Sn>＋＝n－－××>n－. 綜上所述，Sn>n－. 15