(浙江專用)2021版新高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 8 第8講 正弦定理和余弦定理的應用舉例教學案
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(浙江專用)2021版新高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 8 第8講 正弦定理和余弦定理的應用舉例教學案
第8講 正弦定理和余弦定理的應用舉例
1.實際問題中的常用述語
(1)仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖①).
(2)方位角
從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的角(如圖②,B點的方位角為α).
(3)方向角
相對于某一正方向的角(如圖③).
①北偏東α:指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向.
②東北方向:指北偏東45°.
③其他方向角類似.
2.解三角形應用題的一般步驟
[疑誤辨析]
判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)東北方向就是北偏東45°的方向.( )
(2)從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β的關(guān)系為α+β=180°.( )
(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為.( )
(4)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系.( )
(5)方位角大小的范圍是[0,2π),方向角大小的范圍一般是[0,).( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
[教材衍化]
1.(必修5P11例1改編)如圖所示,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,則可以計算出A,B兩點的距離為________m.
解析:由正弦定理得=,又因為∠B=30°,
所以AB===50(m).
答案:50
2.(必修5P13例3改編)如圖,在山腳A測得山頂P的仰角為30°,沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B,在B處測得山頂P的仰角為60°,則山高h=________米.
解析:由題圖可得∠PAQ=α=30°,
∠BAQ=β=15°,△PAB中,∠PAB=α-β=15°,
又∠PBC=γ=60°,
所以∠BPA=(90°-α)-(90°-γ)=γ-α=30°,
所以=,所以PB=a,
所以PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β
=a×sin 60°+asin 15°=a.
答案:a
[易錯糾偏]
(1)方向角與方位角概念不清;
(2)仰角、俯角概念不清;
(3)不能將空間問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.
1.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20°的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40°的方向上,則燈塔A相對于燈塔B的方向為( )
A.北偏西5° B.北偏西10°
C.北偏西15° D.北偏西20°
解析:選B.易知∠B=∠A=30°,C在B的北偏西40°的方向上,又40°-30°=10°,故燈塔A相對于燈塔B的方向為北偏西10°.
2.在某次測量中,在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°,C點的俯角為70°,則∠BAC=________.
答案:130°
3.江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平面上,在炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°和60°,而且兩條船與炮臺底部所連的線成30°角,則兩條船相距________m.
解析:由題意畫示意圖,如圖,
OM=AOtan 45°=30(m),
ON=AOtan 30°=×30=10(m),
在△MON中,由余弦定理得,MN=
==10(m).
答案:10
測量距離
如圖所示,某旅游景點有一座風景秀麗的山峰,山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2個小時的時間進行徒步攀登,已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1 km,AC=3 km.假設小王和小李徒步攀登的速度為每小時1 250米,請問:兩位登山愛好者能否在2個小時內(nèi)徒步登上山峰?(即從B點出發(fā)到達C點)
【解】 在△ABD中,由題意知,∠ADB=∠BAD=30°,所以AB=BD=1,因為∠ABD=120°,由正弦定理得=,解得AD=,在△ACD中,
由AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos 150°,
得9=3+CD2+2×CD,
即CD2+3CD-6=0,解得CD=,
BC=BD+CD=,
兩個小時小王和小李可徒步攀登1 250×2=2 500米,即2.5千米,而<==2.5,
所以兩位登山愛好者可以在兩個小時內(nèi)徒步登上山峰.
(變條件、變問法)若本例條件“BD=1 km,AC=3 km”變?yōu)椤癇D=200 m,CD=300 m”,其他條件不變,則這條索道AC長為________.
解析:在△ABD中,BD=200,∠ABD=120°.
因為∠ADB=30°,所以∠DAB=30°.
由正弦定理,得=,
所以=.
所以AD==200 (m).
在△ADC中,DC=300 m,∠ADC=150°,
所以AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cos∠ADC
=(200 )2+3002-2×200×300×cos 150°
=390 000,所以AC=100.
故這條索道AC長為100 m.
答案:100 m
距離問題的類型及解法
(1)測量距離問題分為三種類型:兩點間不可達又不可視、兩點間可視但不可達、兩點都不可達.
(2)解法:選擇合適的輔助測量點,構(gòu)造三角形,將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.
如圖,隔河看兩目標A與B,但不能到達,在岸邊先選取相距千米的C,D兩點,同時,測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面內(nèi)),求兩目標A,B之間的距離.
解:在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,
所以AC=CD= km.
在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°.
所以BC==.
在△ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2×××cos 75°=3+2+-=5,
所以AB= km,
所以A,B之間的距離為 km.
測量高度
如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=________m.
【解析】 由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又AB=600 m,故由正弦定理得=,
解得BC=300 m.
在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300×=100(m).
【答案】 100
求解高度問題的注意事項
(1)在測量高度時,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi),視線與水平線的夾角;
(2)準確理解題意,分清已知條件與所求,畫出示意圖;
(3)運用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解問題的答案,注意方程思想的運用.
(2020·浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)如圖,為了估測某塔的高度,在同一水平面的A,B兩點處進行測量,在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上,仰角為60°;在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上,仰角為30°.若A,B兩點相距130 m,則塔的高度CD=________m.
解析:由題意可知,設CD=h,則AD=,BD=h,在△ADB中,∠ADB=180°-20°-40°=120°,所以由余弦定理AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos 120°,可得1302=3h2+-2·h··,解得h=10,故塔的高度為10 m.
答案:10
測量角度
一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東75°的方向航行(2-2)n mile到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達海島C.
(1)求AC的長;
(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,求∠CAB的大?。?
【解】 (1)由題意,在△ABC中,
∠ABC=180°-75°+15°=120°,AB=2-2,BC=4,
根據(jù)余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC
=(2-2)2+42+(2-2)×4=24,
所以AC=2.
(2)根據(jù)正弦定理得,sin∠BAC==,
所以∠CAB=45°.
解決測量角度問題的注意事項
(1)首先應明確方位角或方向角的含義.
(2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步.
(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后,注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.
1.甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°的方向,相距a海里的B處,乙船正向北行駛,若甲船是乙船速度的倍,甲船為了盡快追上乙船,則應取北偏東________(填角度)的方向前進.
解析:設兩船在C處相遇,則由題意∠ABC=180°-60°=120°,且=,由正弦定理得==,所以sin∠BAC=.又因為0°<∠BAC<60°,所以∠BAC=30°.所以甲船應沿北偏東30°的方向前進.
答案:30°
2.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中,紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12 n mile的水面上,有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75°方向前進,若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度,沿北偏東45°+α的方向攔截藍方的小艇,若要在最短的時間內(nèi)攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值.
解:如圖,設紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇,
則AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.
根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°,
解得x=2.故AC=28,BC=20.
根據(jù)正弦定理得=,
解得sin α==.
所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時,角α的正弦值為.
求解幾何計算問題
(2020·浙江名校聯(lián)考)如圖,在平面四邊形ABCD中,0<∠DAB<,AD=2,AB=3,△ABD的面積為,AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值;
(2)若∠BCD=,求BC的長.
【解】 (1)因為△ABD的面積S=AD×ABsin∠DAB=×2×3sin∠DAB=,
所以sin∠DAB=.
又0<∠DAB<,所以∠DAB=,所以cos∠DAB=cos=.
由余弦定理得BD==,
由正弦定理得sin∠ABD==.
(2)法一:因為AB⊥BC,所以∠ABC=,
sin∠DBC=sin=cos∠ABD=
=.
在△BCD中,由正弦定理=可得CD==.
由余弦定理DC2+BC2-2DC·BCcos∠DCB=BD2,
可得3BC2+4BC-5=0,解得BC=或BC=-(舍去).
故BC的長為.
法二:因為AB⊥BC,所以∠ABC=,
sin∠DBC=sin=cos∠ABD=
=.
cos∠DBC=cos=sin∠ABD=.
sin∠BDC=sin(π-∠BCD-∠DBC)=
sin=cos∠DBC-sin∠DBC=.
在△BCD中,由正弦定理=,
可得BC===.
求解該題第(2)問時易出現(xiàn)的問題是不能靈活利用“AB⊥BC”,將已知條件和第(1)問中所求值轉(zhuǎn)化為△BCD內(nèi)的邊角關(guān)系.解決平面圖形中的計算問題時,學會對條件進行分類與轉(zhuǎn)化是非常重要的,一般來說,盡可能將條件轉(zhuǎn)化到三角形中,這樣就可以根據(jù)條件類型選用相應的定理求解.如該題中,把條件轉(zhuǎn)化到△BCD中后,利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的長.
如圖,在平面四邊形ABCD中,∠ABC為銳角,AD⊥BD,AC平分∠BAD,BC=2,BD=3+,△BCD的面積S=.
(1)求CD;
(2)求∠ABC.
解:(1)在△BCD中,S=BD·BC·sin∠CBD=,
因為BC=2,BD=3+,
所以sin∠CBD=.
因為∠ABC為銳角,所以∠CBD=30°.
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(2)2+(3+)2-2×2×(3+)×=9.所以CD=3.
(2)在△BCD中,由正弦定理得=,即=,解得sin∠BDC=,因為BC<BD,所以∠BDC為銳角,所以cos∠BDC=.在△ACD中,由正弦定理得=,
即=.①
在△ABC中,由正弦定理得=,
即=.②
因為AC平分∠BAD,所以∠CAD=∠BAC.
由①②得=,解得sin∠ABC=.
因為∠ABC為銳角,所以∠ABC=45°.
[基礎題組練]
1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的( )
A.北偏東10° B.北偏西10°
C.南偏東80° D.南偏西80°
解析:選D.由條件及題圖可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.
2.如圖,在塔底D的正西方A處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°,在它的南偏東60°的B處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°,AB的距離是84 m,則塔高CD為 ( )
A.24 m B.12 m
C.12 m D.36 m
解析:選C.設塔高CD=x m,則AD=x m,DB=x m.在△ABD中,利用余弦定理,得842=x2+(x)2-2x2cos 150°,解得x=±12(負值舍去),故塔高為12 m.
3.一船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°,距燈塔68海里的M處,下午2時到達這座燈塔的東南方向N處,則該船航行的速度為( )
A.海里/小時 B.34海里/小時
C.海里/小時 D.34海里/小時
解析:選C.如圖所示,在△PMN中,PM=68,∠PNM=45°,∠PMN=15°,∠MPN=120°,
由正弦定理,得=,所以MN=34,
所以該船的航行速度為海里/小時.
4.如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m、50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
解析:選B.依題意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),
所以在△ACD中,由余弦定理得
cos∠CAD=
=
==,
又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.
5.(2020·杭州調(diào)研)據(jù)氣象部門預報,在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動,距風暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),則該碼頭處于危險區(qū)內(nèi)的時間為( )
A.9 h B.10 h
C.11 h D.12 h
解析:選B.記碼頭為點O,熱帶風暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風暴到達B點位置,在△OAB中,OA=400,AB=20t,∠OAB=45°,根據(jù)余弦定理得4002+400t2-2×20t×400×≤3002,即t2-20t+175≤0,解得10-5≤t≤10+5,所以所求時間為10+5-10+5=10(h),故選B.
6.(2020·紹興一中高三期中)以BC為底邊的等腰三角形ABC中,AC邊上的中線長為6,當△ABC面積最大時,腰AB長為( )
A.6 B.6
C.4 D.4
解析:選D.如圖所示,設D為AC的中點,
由余弦定理得cos A==,
在△ABD中,BD2=b2+-2×b××,
可得2a2+b2=144,
設BC邊上的高為h,所以S=ah=a =a=
= ,
所以,當a2=32時,S有最大值,此時,b2=144-2a2=80,解得b=4,即腰長AB=4.故選D.
7.如圖,為了測量A,C兩點間的距離,選取同一平面上B,D兩點,測出四邊形ABCD各邊的長度(單位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B與∠D互補,則AC的長為________km.
解析:由余弦定理得82+52-2×8×5×cos(π-∠D)=AC2=32+52-2×3×5×cos ∠D,解得cos ∠D=-,所以AC==7.
答案:7
8.(2020·嘉興高三模擬)如圖所示,位于東海某島的雷達觀測站 A,發(fā)現(xiàn)其北偏東45°,與觀測站A距離20海里的B處有一貨船正勻速直線行駛,半小時后,又測得該貨船位于觀測站A東偏北θ(0°<θ<45°)的C處,且cos θ=.已知A、C兩處的距離為10海里,則該貨船的船速為________海里/小時.
解析:因為cos θ=,0°<θ<45°,所以sin θ=,cos(45°-θ)=×+×=,在△ABC中,BC2=800+100-2×20×10×=340,所以BC=2,所以該貨船的船速為4海里/小時.
答案:4
9.在距離塔底分別為80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A,B,C處,依次測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為α,β,γ.若α+β+γ=90°,則塔高為________.
解析:設塔高為h m.依題意得,tan α=,tan β=,tan γ=.因為α+β+γ=90°,所以tan(α+β)tan γ=tan(90°-γ)tan γ===1,所以·tan γ=1,所以·=1,解得h=80,所以塔高為80 m.
答案:80 m
10.如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,則山高MN=________m.
解析:根據(jù)題圖,AC=100 m.
在△MAC中,∠CMA=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得=?AM=100 m.
在△AMN中,=sin 60°,
所以MN=100×=150(m).
答案:150
11.(2020·杭州市七校高三聯(lián)考)設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,,成等差數(shù)列.
(1)求角A的值;
(2)若a=,b+c=5,求△ABC的面積.
解:(1)因為,,成等差數(shù)列,
所以=+,
整理可得=,
所以sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,
即2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C,
解得cos A=,所以A=.
(2)因為a=,b+c=5,
所以由余弦定理可得a2=10=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,可解得bc=5,
所以S△ABC=bcsin A=×5×=.
12.如圖,平面四邊形ABDC中,∠CAD=∠BAD=30°.
(1)若∠ABC=75°,AB=10,且AC∥BD,求CD的長;
(2)若BC=10,求AC+AB的取值范圍.
解:(1)由已知,易得∠ACB=45°,
在△ABC中,=?BC=5.
因為AC∥BD,所以∠ADB=∠CAD=30°,∠CBD=∠ACB=45°,
在△ABD中,∠ADB=30°=∠BAD,
所以DB=AB=10.
在△BCD中,CD==5.
(2)AC+AB>BC=10,
cos 60°=?(AB+AC)2-100=3AB·AC,
而AB·AC≤,
所以≤,
解得AB+AC≤20,
故AB+AC的取值范圍為(10,20].
[綜合題組練]
1.A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45°、B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時,該救援船到達D點需要的時間為( )
A.1小時 B.2小時
C.(1+)小時 D.小時
解析:選A.由題意知AB=5(3+)海里,
∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,
所以∠ADB=105°,
在△DAB中,由正弦定理得=,
所以DB==
=10(海里),
又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,
BC=20海里,
在△DBC中,由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos ∠DBC
=300+1 200-2×10×20×=900,
所以CD=30(海里),則需要的時間t==1(小時).
2.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD. 已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑的長度為( )
A.50 米 B.50 米
C.50米 D.50 米
解析:選B.設該扇形的半徑為r米,連接CO.
由題意,得CD=150(米),OD=100(米),∠CDO=60°,
在△CDO中,CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2,
即1502+1002-2×150×100×=r2,
解得r=50 .
3.(2020·瑞安四校聯(lián)考)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且acos B-bcos A=c,當tan(A-B)取最大值時,角B的值為________.
解析:由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C=sin(A+B)=(sin Acos B+cos Asin B),整理得sin Acos B=3cos Asin B,即tan A=3tan B,易得tan A>0,tan B>0,所以tan(A-B)===≤=,當且僅當=3tan B,即tan B=時,tan(A-B)取得最大值,所以B=.
答案:
4.如圖,在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,則BC的長為________.
解析:在△ABD中,設BD=x,則
BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,
即142=x2+102-2·10x·cos 60°,
整理得x2-10x-96=0,
解得x1=16,x2=-6(舍去).
在△BCD中,由正弦定理:=,
所以BC=·sin 30°=8.
答案:8
5.為了應對日益嚴重的氣候問題,某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器,這種儀器可以彈射到空中進行氣象觀測.如圖所示,A,B,C三地位于同一水平面上,這種儀器在C地進行彈射實驗,觀測點A,B兩地相距100米,∠BAC=60°,在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚秒.在A地測得該儀器至最高點H處的仰角為30°.(已知聲音的傳播速度為340米/秒)
(1)求A,C兩地的距離;
(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.
解:(1)設BC=x,由條件可知
AC=x+×340=x+40,
在△ABC中,BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos ∠BAC,
即x2=1002+(40+x)2-2×100×(40+x)×,解得x=380,
所以AC=380+40=420米,
故A,C兩地的距離為420米.
(2)在△ACH中,AC=420,∠HAC=30°,∠AHC=90°-30°=60°,
由正弦定理,可得=,即=,
所以HC==140,故這種儀器的垂直彈射高度為140米.
6.某港灣的平面示意圖如圖所示,O,A,B分別是海岸線l1,l2上的三個集鎮(zhèn),A位于O的正南方向6 km處,B位于O的北偏東60°方向10 km處.
(1)求集鎮(zhèn)A,B間的距離;
(2)隨著經(jīng)濟的發(fā)展,為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力,擬在海岸線l1,l2上分別修建碼頭M,N,開辟水上航線.勘測時發(fā)現(xiàn):以O為圓心,3 km為半徑的扇形區(qū)域為淺水區(qū),不適宜船只航行.請確定碼頭M,N的位置,使得M,N之間的直線航線最短.
解:(1)在△ABO中,OA=6,OB=10,∠AOB=120°,
根據(jù)余弦定理得
AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos 120°
=62+102-2×6×10×=196,
所以AB=14.
故集鎮(zhèn)A,B間的距離為14 km.
(2)依題意得,直線MN必與圓O相切.
設切點為C,連接OC(圖略),則OC⊥MN.
設OM=x,ON=y(tǒng),MN=c,
在△OMN中,由MN·OC=OM·ON·sin 120°,
得×3c=xysin 120°,即xy=2c,
由余弦定理,得c2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy≥3xy,所以c2≥6c,解得c≥6,
當且僅當x=y(tǒng)=6時,c取得最小值6.
所以碼頭M,N與集鎮(zhèn)O的距離均為6 km時,M,N之間的直線航線最短,最短距離為6 km.
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