（浙江專用版）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一）學(xué)案 新人教A版必修2

§1.3　三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題． 設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，由三角函數(shù)定義知P點(diǎn)坐標(biāo)為(cos α，sin α)． 知識(shí)點(diǎn)一　誘導(dǎo)公式二 思考　角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？角π＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))與點(diǎn)P(cos α，sin α)呢？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？ 答案　角π＋α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P1與P也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的三角函數(shù)關(guān)系如下： 誘導(dǎo)公式二 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α. 知識(shí)點(diǎn)二　誘導(dǎo)公式三 思考　角－α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？角－α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2(cos(－α)，sin(－α))與點(diǎn)P(cos α，sin α)有怎樣的關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？ 答案　角－α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，P2與P也關(guān)于x軸對(duì)稱，它們的三角函數(shù)關(guān)系如下： 誘導(dǎo)公式三 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α. 知識(shí)點(diǎn)三　誘導(dǎo)公式四 思考　角π－α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系？角π－α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P3(cos(π－α)，sin(π－α))與點(diǎn)P(cos α，sin α)有怎樣的關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？ 答案　角π－α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，P3與P也關(guān)于y軸對(duì)稱，它們的三角函數(shù)關(guān)系如下： 誘導(dǎo)公式四 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 梳理　公式一～四都叫做誘導(dǎo)公式，它們分別反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這四組公式的共同特點(diǎn)是： 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．簡(jiǎn)記為“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”． 1．誘導(dǎo)公式中角α是任意角．(　×　) 提示　正弦、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式中，α為任意角，但是正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式中，α的取值必須使公式中角的正切值有意義． 2．sin(α－π)＝sin α.(　×　) 提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 3．cos π＝－.(　√　) 提示　cos ＝cos＝－cos ＝－. 4．誘導(dǎo)公式對(duì)弧度制適用，對(duì)角度制不適用．(　×　) 提示　在角度制和弧度制下，公式都成立． 類(lèi)型一　利用誘導(dǎo)公式求值 命題角度1　給角求值問(wèn)題 例1　求下列各三角函數(shù)式的值： (1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(－1 920°)． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－. (2)sin＝sin ＝sin＝sin ＝sin＝. (3)sin＝－sin ＝－sin＝－sin＝sin＝. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 反思與感悟　利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟 (1)“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化． (2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角． (3)“角化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角． (4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值． 跟蹤訓(xùn)練1　求下列各三角函數(shù)式的值： (1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解　(1)方法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－. 方法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－. (2)方法一　cos＝cos＝cos ＝cos＝－cos ＝－. 方法二　cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命題角度2　給值求值或給值求角問(wèn)題 例2　(1)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，則θ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<， 可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<， 即tan θ＝，|θ|<，∴θ＝. (2)已知cos＝，求cos－sin2的值． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解　因?yàn)閏os＝cos ＝－cos＝－， sin2＝sin2＝1－cos2 ＝1－2＝， 所以cos－sin2＝－－＝－. 反思與感悟　(1)解決條件求值問(wèn)題的策略 ①解決條件求值問(wèn)題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系． ②可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化． (2)對(duì)于給值求角問(wèn)題，先通過(guò)化簡(jiǎn)已給的式子得出某個(gè)角的某種三角函數(shù)值，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值逆向求角． 跟蹤訓(xùn)練2　(2017·大同檢測(cè))已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，則sin(α＋2β)的值為(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式二、三、四 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式二 答案　D 解析　由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)， 則α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)， sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β) ＝－sin β＝－. 類(lèi)型二　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn) 例3　化簡(jiǎn)下列各式： (1)； (2). 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解　(1)原式＝ ＝＝－＝－tan α. (2)原式＝ ＝＝ ＝＝－1. 引申探究 若本例(1)改為：(n∈Z)，請(qǐng)化簡(jiǎn)． 解　當(dāng)n＝2k時(shí)， 原式＝＝－tan α； 當(dāng)n＝2k＋1時(shí)， 原式＝＝－tan α. 反思與感悟　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法 (1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)． (2)常用“切化弦”法，即表達(dá)式中的切函數(shù)通?；癁橄液瘮?shù)． (3)注意“1”的變式應(yīng)用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan . 跟蹤訓(xùn)練3　化簡(jiǎn)下列各式： (1)； (2). 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解　(1)原式＝ ＝＝1. (2)原式＝ ＝ ＝＝. 1．已知tan α＝4，則tan(π－α)等于(　　) A．π－4 B．4 C．－4 D．4－π 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式四 答案　C 解析　tan(π－α)＝－tan α＝－4. 2．sin 585°的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式二 答案　A 解析　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°) ＝－sin 45°＝－. 3．(2018·牌頭中學(xué)月考)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)： sin(π－x)＝________，sin(π＋x)＝________. 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式四 答案　sin x　－sin x 4．已知600°角的終邊上有一點(diǎn)P(a，－3)，則a的值為_(kāi)_____． 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式二 答案?。? 解析　tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝－＝，即a＝－. 5．化簡(jiǎn)：·sin(α－2π)·cos(2π－α)． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解　原式＝·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α) ＝·sin α·cos α＝cos2α. 1．明確各誘導(dǎo)公式的作用 誘導(dǎo)公式 作用 公式一 將角轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角求值 公式二 將0～2π內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0～π之間的角求值 公式三 將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值 公式四 將角轉(zhuǎn)化為0～之間的角求值 2.誘導(dǎo)公式的記憶 這四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一致，符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào)，α看成銳角，只是公式記憶的方便，實(shí)際上α可以是任意角． 3．已知角求值問(wèn)題，一般要利用誘導(dǎo)公式三和公式一，將負(fù)角化為正角，將大角化為0～2π之間的角，然后利用特殊角的三角函數(shù)求解．必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見(jiàn)角知值，見(jiàn)值知角”． 一、選擇題 1．(2017·紹興期末)cos(π＋x)等于(　　) A．cos x B．－cos x C．sin x D．－sin x 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式二 答案　B 解析　由誘導(dǎo)公式得cos(π＋x)＝－cos x. 2．(2017·綿陽(yáng)檢測(cè))已知sin＝，則sin的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式四 答案　C 解析　sin＝sin ＝sin＝. 3．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，則cos(α－2π)的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式二 答案　B 解析　因?yàn)閟in(π＋α)＝，且sin(π＋α)＝－sin α， 所以sin α＝－， 又因?yàn)棣潦堑谒南笙藿牵? 所以cos(α－2π)＝cos α＝ ＝＝. 4．(2017·天津一中期末)化簡(jiǎn)sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值為(　　) A．1 B．2sin2α C．0 D．2 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2. 5．記cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　) A. B．－ C. D．－ 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式三 答案　B 解析　∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k， ∴sin 80°＝，則tan 80°＝. ∴tan 100°＝－tan 80°＝－. 6．已知n為整數(shù)，化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是(　　) A．tan nα B．－tan nα C．tan α D．－tan α 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式二 答案　C 解析　當(dāng)n＝2k，k∈Z時(shí)，＝ ＝＝tan α； 當(dāng)n＝2k＋1，k∈Z時(shí)，＝ ＝＝＝tan α.故選C. 7．若sin(π－α)＝log8，且α∈，則cos(π＋α)的值為(　　) A. B．－ C．± D．以上都不對(duì) 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　∵sin(π－α)＝sin α＝2－2＝－， α∈， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－ ＝－ ＝－. 二、填空題 8．化簡(jiǎn)＝________. 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案　1 解析　＝ ＝＝＝1. 9.的值是________． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案 ?。? 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝＝＝－2. 10．設(shè)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β為非零常數(shù)，若f(2 017)＝－1，則f(2 018)＝________. 考點(diǎn)　公式二、三、四 題點(diǎn)　公式二 答案　1 解析　∵f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β) ＝asin(π＋2 017π＋α)＋bcos(π＋2 017π＋β) ＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β) ＝－f(2 017)， 又f(2 017)＝－1，∴f(2 018)＝1. 11．已知a＝tan，b＝cos ，c＝sin，則a，b，c的大小關(guān)系是________． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案　b＞a＞c 解析　∵a＝－tan＝－tan ＝－， b＝cos＝cos ＝， c＝－sin＝－sin＝－， ∴b＞a＞c. 三、解答題 12．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)單位圓上的點(diǎn)P. (1)求sin α的值； (2)求·的值． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解　(1)∵點(diǎn)P在單位圓上， ∴由正弦的定義得sin α＝－. (2)原式＝·＝＝， 由余弦的定義得cos α＝，故原式＝. 四、探究與拓展 13．已知f(x)＝則f＋f的值為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案　－2 解析　因?yàn)閒＝sin ＝sin＝sin＝； f＝f－1＝f－2 ＝sin－2＝－－2＝－， 所以f＋f＝－2. 14．已知f(α)＝. (1)化簡(jiǎn)f(α)； (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 考點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解　(1)f(α)＝＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝， ∴sin α＝－.又α是第三象限角， ∴cos α＝－.∴f(α)＝. (3)∵－＝－6×2π＋， ∴f＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－. 15