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(浙江專用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(一)學(xué)案 新人教A版必修2

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(浙江專用版)2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(一)學(xué)案 新人教A版必修2

§1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(一) 學(xué)習目標 1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用.2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程.3.能運用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題. 設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P,由三角函數(shù)定義知P點坐標為(cos α,sin α). 知識點一 誘導(dǎo)公式二 思考 角π+α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系?角π+α的終邊與單位圓的交點P1(cos(π+α),sin(π+α))與點P(cos α,sin α)呢?它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系? 答案 角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點對稱,P1與P也關(guān)于原點對稱,它們的三角函數(shù)關(guān)系如下: 誘導(dǎo)公式二 sin(π+α)=-sin α, cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tan α. 知識點二 誘導(dǎo)公式三 思考 角-α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系?角-α的終邊與單位圓的交點P2(cos(-α),sin(-α))與點P(cos α,sin α)有怎樣的關(guān)系?它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系? 答案 角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,P2與P也關(guān)于x軸對稱,它們的三角函數(shù)關(guān)系如下: 誘導(dǎo)公式三 sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α. 知識點三 誘導(dǎo)公式四 思考 角π-α的終邊與角α的終邊有什么關(guān)系?角π-α的終邊與單位圓的交點P3(cos(π-α),sin(π-α))與點P(cos α,sin α)有怎樣的關(guān)系?它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系? 答案 角π-α的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對稱,P3與P也關(guān)于y軸對稱,它們的三角函數(shù)關(guān)系如下: 誘導(dǎo)公式四 sin(π-α)=sin α, cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α. 梳理 公式一~四都叫做誘導(dǎo)公式,它們分別反映了2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系,這四組公式的共同特點是: 2kπ+α(k∈Z),π+α,-α,π-α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.簡記為“函數(shù)名不變,符號看象限”. 1.誘導(dǎo)公式中角α是任意角.( × ) 提示 正弦、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式中,α為任意角,但是正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式中,α的取值必須使公式中角的正切值有意義. 2.sin(α-π)=sin α.( × ) 提示 sin(α-π)=sin[-(π-α)]=-sin(π-α)=-sin α. 3.cos π=-.( √ ) 提示 cos =cos=-cos =-. 4.誘導(dǎo)公式對弧度制適用,對角度制不適用.( × ) 提示 在角度制和弧度制下,公式都成立. 類型一 利用誘導(dǎo)公式求值 命題角度1 給角求值問題 例1 求下列各三角函數(shù)式的值: (1)cos 210°;(2)sin ;(3)sin;(4)cos(-1 920°). 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解 (1)cos 210°=cos(180°+30°) =-cos 30°=-. (2)sin=sin =sin=sin =sin=. (3)sin=-sin =-sin=-sin=sin=. (4)cos(-1 920°)=cos 1 920° =cos(5×360°+120°) =cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-. 反思與感悟 利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟 (1)“負化正”:用公式一或三來轉(zhuǎn)化. (2)“大化小”:用公式一將角化為0°到360°間的角. (3)“角化銳”:用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角. (4)“銳求值”:得到銳角的三角函數(shù)后求值. 跟蹤訓(xùn)練1 求下列各三角函數(shù)式的值: (1)sin 1 320°;(2)cos;(3)tan(-945°). 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解 (1)方法一 sin 1 320°=sin(3×360°+240°) =sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-. 方法二 sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°) =-sin(180°-60°)=-sin 60°=-. (2)方法一 cos=cos=cos =cos=-cos =-. 方法二 cos=cos =cos=-cos=-. (3)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°) =-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1. 命題角度2 給值求值或給值求角問題 例2 (1)已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,則θ等于(  ) A.- B.- C. D. 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 由sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<, 可得-sin θ=-cos θ,|θ|<, 即tan θ=,|θ|<,∴θ=. (2)已知cos=,求cos-sin2的值. 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解 因為cos=cos =-cos=-, sin2=sin2=1-cos2 =1-2=, 所以cos-sin2=--=-. 反思與感悟 (1)解決條件求值問題的策略 ①解決條件求值問題,首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系. ②可以將已知式進行變形向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M行變形向已知式轉(zhuǎn)化. (2)對于給值求角問題,先通過化簡已給的式子得出某個角的某種三角函數(shù)值,再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值逆向求角. 跟蹤訓(xùn)練2 (2017·大同檢測)已知sin β=,cos(α+β)=-1,則sin(α+2β)的值為(  ) A.1 B.-1 C. D.- 考點 誘導(dǎo)公式二、三、四 題點 誘導(dǎo)公式二 答案 D 解析 由cos(α+β)=-1,得α+β=2kπ+π(k∈Z), 則α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β(k∈Z), sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(π+β) =-sin β=-. 類型二 利用誘導(dǎo)公式化簡 例3 化簡下列各式: (1); (2). 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解 (1)原式= ==-=-tan α. (2)原式= == ==-1. 引申探究 若本例(1)改為:(n∈Z),請化簡. 解 當n=2k時, 原式==-tan α; 當n=2k+1時, 原式==-tan α. 反思與感悟 三角函數(shù)式的化簡方法 (1)利用誘導(dǎo)公式,將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù). (2)常用“切化弦”法,即表達式中的切函數(shù)通?;癁橄液瘮?shù). (3)注意“1”的變式應(yīng)用:如1=sin2α+cos2α=tan . 跟蹤訓(xùn)練3 化簡下列各式: (1); (2). 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解 (1)原式= ==1. (2)原式= = ==. 1.已知tan α=4,則tan(π-α)等于(  ) A.π-4 B.4 C.-4 D.4-π 考點 公式二、三、四 題點 公式四 答案 C 解析 tan(π-α)=-tan α=-4. 2.sin 585°的值為(  ) A.- B. C.- D. 考點 公式二、三、四 題點 公式二 答案 A 解析 sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°) =-sin 45°=-. 3.(2018·牌頭中學(xué)月考)利用誘導(dǎo)公式化簡: sin(π-x)=________,sin(π+x)=________. 考點 公式二、三、四 題點 公式四 答案 sin x?。璼in x 4.已知600°角的終邊上有一點P(a,-3),則a的值為______. 考點 公式二、三、四 題點 公式二 答案?。? 解析 tan 600°=tan(360°+240°)=tan(180°+60°) =tan 60°=-=,即a=-. 5.化簡:·sin(α-2π)·cos(2π-α). 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解 原式=·[-sin(2π-α)]·cos(2π-α) =·sin α·cos α=cos2α. 1.明確各誘導(dǎo)公式的作用 誘導(dǎo)公式 作用 公式一 將角轉(zhuǎn)化為0~2π之間的角求值 公式二 將0~2π內(nèi)的角轉(zhuǎn)化為0~π之間的角求值 公式三 將負角轉(zhuǎn)化為正角求值 公式四 將角轉(zhuǎn)化為0~之間的角求值 2.誘導(dǎo)公式的記憶 這四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變,符號看象限”.其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一致,符號則是將α看成銳角時原角所在象限的三角函數(shù)值的符號,α看成銳角,只是公式記憶的方便,實際上α可以是任意角. 3.已知角求值問題,一般要利用誘導(dǎo)公式三和公式一,將負角化為正角,將大角化為0~2π之間的角,然后利用特殊角的三角函數(shù)求解.必須對一些特殊角的三角函數(shù)值熟記,做到“見角知值,見值知角”. 一、選擇題 1.(2017·紹興期末)cos(π+x)等于(  ) A.cos x B.-cos x C.sin x D.-sin x 考點 公式二、三、四 題點 公式二 答案 B 解析 由誘導(dǎo)公式得cos(π+x)=-cos x. 2.(2017·綿陽檢測)已知sin=,則sin的值為(  ) A. B.- C. D.- 考點 公式二、三、四 題點 公式四 答案 C 解析 sin=sin =sin=. 3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,則cos(α-2π)的值是(  ) A.- B. C.- D. 考點 公式二、三、四 題點 公式二 答案 B 解析 因為sin(π+α)=,且sin(π+α)=-sin α, 所以sin α=-, 又因為α是第四象限角, 所以cos(α-2π)=cos α= ==. 4.(2017·天津一中期末)化簡sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的值為(  ) A.1 B.2sin2α C.0 D.2 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 原式=(-sin α)2-(-cos α)·cos α+1=sin2α+cos2α+1=2. 5.記cos(-80°)=k,那么tan 100°等于(  ) A. B.- C. D.- 考點 公式二、三、四 題點 公式三 答案 B 解析 ∵cos(-80°)=k,∴cos 80°=k, ∴sin 80°=,則tan 80°=. ∴tan 100°=-tan 80°=-. 6.已知n為整數(shù),化簡所得的結(jié)果是(  ) A.tan nα B.-tan nα C.tan α D.-tan α 考點 公式二、三、四 題點 公式二 答案 C 解析 當n=2k,k∈Z時,= ==tan α; 當n=2k+1,k∈Z時,= ===tan α.故選C. 7.若sin(π-α)=log8,且α∈,則cos(π+α)的值為(  ) A. B.- C.± D.以上都不對 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案 B 解析 ∵sin(π-α)=sin α=2-2=-, α∈, ∴cos(π+α)=-cos α=- =- =-. 二、填空題 8.化簡=________. 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案 1 解析?。? ===1. 9.的值是________. 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案 ?。? 解析 原式= = = ===-2. 10.設(shè)f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β為非零常數(shù),若f(2 017)=-1,則f(2 018)=________. 考點 公式二、三、四 題點 公式二 答案 1 解析 ∵f(2 018)=asin(2 018π+α)+bcos(2 018π+β) =asin(π+2 017π+α)+bcos(π+2 017π+β) =-asin(2 017π+α)-bcos(2 017π+β) =-f(2 017), 又f(2 017)=-1,∴f(2 018)=1. 11.已知a=tan,b=cos ,c=sin,則a,b,c的大小關(guān)系是________. 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案 b>a>c 解析 ∵a=-tan=-tan =-, b=cos=cos =, c=-sin=-sin=-, ∴b>a>c. 三、解答題 12.已知角α的終邊經(jīng)過單位圓上的點P. (1)求sin α的值; (2)求·的值. 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解 (1)∵點P在單位圓上, ∴由正弦的定義得sin α=-. (2)原式=·==, 由余弦的定義得cos α=,故原式=. 四、探究與拓展 13.已知f(x)=則f+f的值為________. 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 答案?。? 解析 因為f=sin =sin=sin=; f=f-1=f-2 =sin-2=--2=-, 所以f+f=-2. 14.已知f(α)=. (1)化簡f(α); (2)若α是第三象限角,且sin(α-π)=,求f(α)的值; (3)若α=-,求f(α)的值. 考點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 題點 同名誘導(dǎo)公式(二、三、四)的綜合應(yīng)用 解 (1)f(α)==-cos α. (2)∵sin(α-π)=-sin α=, ∴sin α=-.又α是第三象限角, ∴cos α=-.∴f(α)=. (3)∵-=-6×2π+, ∴f=-cos =-cos =-cos =-. 15

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