（通用版）2020高考數(shù)學一輪復習 2.6 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)講義 理

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1、第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 1．根式的性質(zhì) (1)()n＝a(a使有意義)． (2)當n是奇數(shù)時，＝a；當n是偶數(shù)時，＝|a|＝? 2．分數(shù)指數(shù)冪的意義 (1)a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(3)0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． 3．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)? 函數(shù) y＝ax(a＞0，且a≠1) 圖象 a＞1 0＜a

2、＜1 性質(zhì) 定義域 R 值域 (0，＋∞) 單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 函數(shù)值變化規(guī)律 當x＝0時，y＝1 當x＜0時，0＜y＜1； 當x＞0時，y＞1 當x＜0時，y＞1； 當x＞0時，0＜y＜1 化簡時，一定要注意區(qū)分n是奇數(shù)還是偶數(shù)． 1．圖象問題 (1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點(0,1)，(1，a)，. (2)y＝ax與y＝x的圖象關于y軸對稱． (3)當a＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢，當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢；簡記：撇增捺減． 2．函數(shù)性質(zhì)的注意點 討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時，要注意分

3、底數(shù)a＞1和0＜a＜1兩種情況. [熟記常用結論] 指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較：如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b. 規(guī)律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數(shù)越大． [小題查驗基礎] 一、判斷題(對的打“√”，錯的打“×”) (1)＝－4.(　　) (2)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．(　　) (3)函數(shù)y＝a(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (4)若am＞an(a＞0，a≠1)，則m＞n.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、選填

4、題 1．計算[(－2)6]－(－1)0的結果為(　　) A．－9　　　　　　　　　 B．7 C．－10 D．9 解析：選B　原式＝2－1＝23－1＝7.故選B. 2．函數(shù)f(x)＝3x＋1的值域為(　　) A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞) 解析：選B　∵3x＞0，∴3x＋1＞1， 即函數(shù)f(x)＝3x＋1的值域為(1，＋∞)． 3．化簡的結果是________． 解析：由題意知，x＜0， ∴＝＝＝－. 答案：－ 4．當a＞0且a≠1時，函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過定點________． 解析：令x－2＝0，則x＝

5、2， 此時f(x)＝1－3＝－2， 故函數(shù)f(x)＝ax－2－3的圖象必過定點(2，－2)． 答案：(2，－2) 5．若指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a－2)x為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：∵f(x)＝(a－2)x為減函數(shù)， ∴0＜a－2＜1，即2＜a＜3. 答案：(2,3) [題組練透] 化簡下列各式： (1)0＋2－2×－(0.01)0.5； (2)a·b－2·(－3ab－1)÷(4a·b－3)； (3). 解：(1)原式＝1＋×－ ＝1＋×－＝1＋－ ＝. (2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3) ＝－ab－3÷(ab) ＝－a

6、·b ＝－·＝－. (3)原式＝＝a·b＝. [名師微點] 指數(shù)冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算． (2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是負數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)． (4)若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)來解答． [典例精析] (1)函數(shù)y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的圖象可能是(　　) (2)若函數(shù)y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍為__________． [解析]　(1)函數(shù)y＝ax－

7、是由函數(shù)y＝ax的圖象向下平移個單位長度得到的，A項顯然錯誤；當a＞1時，0＜＜1，平移距離小于1，所以B項錯誤；當0＜a＜1時，＞1，平移距離大于1，所以C項錯誤．故選D. (2)作出曲線y＝|2x－1|的圖象與直線y＝b如圖所示．由圖象可得b的取值范圍是(0,1)． [答案]　(1)D　(2)(0,1) 1．(變條件)將本例(2)改為若函數(shù)y＝|2x－1|在(－∞，k]上單調(diào)遞減，則k的取值范圍為________． 解析：因為函數(shù)y＝|2x－1|的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范圍為(－∞，0]． 答案：(－∞，0] 2．(變條件)若曲線|y|＝2x＋1

8、與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________． 解析：作出曲線|y|＝2x＋1的圖象，如圖所示，要使該曲線與直線y＝b沒有公共點，只需－1≤b≤1. 答案：[－1,1] 3．(變條件)將本例(2)改為直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍為__________． 解析：y＝|ax－1|的圖象是由y＝ax的圖象先向下平移1個單位，再將x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的． 當a＞1時，如圖1，兩圖象只有一個交點，不合題意； 當0＜a＜1時，如圖2，要使兩個圖象有兩個交點，則0＜2a＜1，得到0＜a＜. 綜上可知，

9、a的取值范圍是. 答案： [解題技法] 有關指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路 (1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點，判斷選項中的圖象是否過這些點，若不滿足則排除． (2)對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論． (3)有關指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解． (4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行判斷． [過關訓練] 1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　) 解析：選A　

10、由f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域為(－∞，0]，排除C. 2．已知f(x)＝|2x－1|，當a＜b＜c時，有f(a)＞f(c)＞f(b)，則必有(　　) A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0　　　　 B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 解析：選D　作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象如圖所示，因為a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0,0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，則2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.故選D. [考法全析] 考法

11、(一)　比較指數(shù)式的大小 [例1]　已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關系為(　　) A．f(b)＜f(a)＜f(c)　　 B．f(c)＜f(b)＜f(a) C．f(c)＜f(a)＜f(b) D．f(b)＜f(c)＜f(a) [解析]　易知f(x)＝2x－2－x在R上為增函數(shù)，又a＝＝＞＝b＞0，c＝log2＜0，則a＞b＞c，所以f(c)＜f(b)＜f(a)． [答案]　B 考法(二)　解簡單的指數(shù)方程或不等式 [例2]　(1)已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為________． (

12、2)設函數(shù)f(x)＝若f(a)＜1，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　(1)當a＜1時，41－a＝21，解得a＝；當a＞1時，代入不成立．故a的值為. (2)若a＜0，則f(a)＜1?a－7＜1?a＜8，解得a＞－3，故－3＜a＜0； 若a≥0，則f(a)＜1?＜1，解得a＜1，故0≤a＜1. 綜合可得－3＜a＜1. [答案]　(1)　(2)(－3,1) 考法(三)　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 [例3]　已知函數(shù)f(x)＝. (1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． [解

13、]　(1)當a＝－1時，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝t在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，則f(x)＝g(x)， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)應有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即當f(x)有最大值3時，a的值等于1. (3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使f(x)的值域為(0，＋∞)， 應使y＝ax2－4x＋3的值域為R， 因此

14、只能a＝0(因為若a≠0，則y＝ax2－4x＋3為二次函數(shù)，其值域不可能為R)． 故a的值為0. [規(guī)律探求] 看個性 考法(一)是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，其方法是：先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大?。? 考法(二)是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，其方法是：先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解； 考法(三)是指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用，其方法是：首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解 找共性 以上問題都是指數(shù)型函數(shù)問題，關鍵應判斷其單調(diào)

15、性，對于形如y＝af(x)的函數(shù)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間有關：若a＞1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)y＝af(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間；若0＜a＜1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)y＝af(x)的單調(diào)減(增)區(qū)間 [過關訓練] 1．設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析：選C　因為函數(shù)y＝0.6x在R上單調(diào)遞減，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c. 2．(2019·福州模擬)設函

16、數(shù)f(x)＝則滿足f(x2－2)＞f(x)的x的取值范圍是________________________________________________________________________． 解析：由題意x＞0時，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)＞f(0)＝0，而x≤0時，x＝0， 故若f(x2－2)＞f(x)，則x2－2＞x，且x2－2＞0， 解得x＞2或x＜－. 答案：(－∞，－)∪(2，＋∞) 一、題點全面練 1．設a＞0，將表示成分數(shù)

17、指數(shù)冪，其結果是(　　) A．a(chǎn)　　　　　　　　　 B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn) 解析：選C　由題意＝a＝a.故選C. 2.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結論中正確的是(　　) A．a(chǎn)＞1，b＜0 B．a(chǎn)＞1，b＞0 C．0＜a＜1,0＜b＜1 D．0＜a＜1，b＜0 解析：選D　法一：由題圖可知0＜a＜1，當x＝0時，a－b∈(0,1)，故－b＞0，得b＜0.故選D. 法二：由圖可知0＜a＜1，f(x)的圖象可由函數(shù)y＝ax的圖象向左平移得到，故－b＞0，則b＜0.故選D. 3．化簡÷×的結果是(　　) A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)b D．

18、ab2 解析：選A　原式＝÷×a ＝··a ＝a·a·a＝a. 4．設x＞0，且1＜bx＜ax，則(　　) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b 解析：選C　因為1＜bx，所以b0＜bx， 因為x＞0，所以b＞1， 因為bx＜ax，所以x＞1， 因為x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.故選C. 5．已知a＝()，b＝2，c＝9，則a，b，c的大小關系是(　　) A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解析：選A　a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3， 由函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，

19、得a＜c， 由函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)，得a＞b， 綜上得c＞a＞b.故選A. 6．函數(shù)f(x)＝ax＋b－1(其中0＜a＜1，且0＜b＜1)的圖象一定不經(jīng)過(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：選C　由0＜a＜1可得函數(shù)y＝ax的圖象單調(diào)遞減，且過第一、二象限，因為0＜b＜1，所以－1＜b－1＜0， 所以0＜1－b＜1， y＝ax的圖象向下平移1－b個單位即可得到y(tǒng)＝ax＋b－1的圖象， 所以y＝ax＋b－1的圖象一定在第一、二、四象限，一定不經(jīng)過第三象限．故選C. 7．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)是(　　) A．偶函數(shù)，在[

20、0，＋∞)單調(diào)遞增 B．偶函數(shù)，在[0，＋∞)單調(diào)遞減 C．奇函數(shù)，且單調(diào)遞增 D．奇函數(shù)，且單調(diào)遞減 解析：選C　易知f(0)＝0，當x＞0時，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此時－x＜0，則f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當x＜0時，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此時－x＞0，則f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選C. 8．二次函數(shù)y＝－x2－4x(x＞－2)與指數(shù)函數(shù)y＝x的交點有(　　) A．3個 B．2個 C．1個 D．0個 解析：選C　因為二次函數(shù)y＝－x2－4x＝－(x＋2)

21、2＋4(x＞－2)，且x＝－1時，y＝－x2－4x＝3， y＝x＝2， 在坐標系中畫出y＝－x2－4x(x＞－2)與y＝x的大致圖象， 由圖可得，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)是1.故選C. 9．已知函數(shù)f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，當x＝a時，f(x)取得最小值b，則函數(shù)g(x)＝a|x＋b|的圖象為(　　) 解析：選A　因為x∈(0,4)，所以x＋1＞1， 所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2 －5＝1， 當且僅當x＝2時取等號，此時函數(shù)有最小值1， 所以a＝2，b＝1， 此時g(x)＝2|x＋1|＝ 此函數(shù)圖象可以看作由函數(shù)y＝的圖象向左平移1個單位得到． 結

22、合指數(shù)函數(shù)的圖象及選項可知A正確．故選A. 10．函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間為________． 解析：設u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上為減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間． 又u＝－x2＋2x＋1的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1]， ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1]． 答案：(－∞，1] 11．不等式＜恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知y＝x是減函數(shù)， 因為＜恒成立， 所以x2＋ax＞2x＋a－2恒成立， 所以x2＋(a－2)x－a＋2＞0恒成立， 所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2

23、)＜0， 即(a－2)(a－2＋4)＜0， 即(a－2)(a＋2)＜0， 故有－2＜a＜2，即a的取值范圍是(－2,2)． 答案：(－2,2) 12．已知函數(shù)f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)． (1)討論f(x)的奇偶性； (2)求a的取值范圍，使f(x)＞0在定義域上恒成立． 解：(1)由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0， ∴函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}． 對于定義域內(nèi)任意x，有 f(－x)＝(－x)3 ＝(－x)3 ＝(－x)3 ＝x3＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)． (2)由(1)知f(x)為偶函數(shù)， ∴只需討論x＞0時的情況，當x＞

24、0時，要使f(x)＞0， 則x3＞0， 即＋＞0， 即＞0，則ax＞1. 又∵x＞0，∴a＞1. ∴當a∈(1，＋∞)時，f(x)＞0. 二、專項培優(yōu)練 (一)易錯專練——不丟怨枉分 1．設y＝f(x)在(－∞，1]上有定義，對于給定的實數(shù)K，定義fK(x)＝給出函數(shù)f(x)＝2x＋1－4x，若對于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，則(　　) A．K的最大值為0 B．K的最小值為0 C．K的最大值為1 D．K的最小值為1 解析：選D　根據(jù)題意可知，對于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，則f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或

25、等于K即可． 令2x＝t，則t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值為1， ∴K≥1，故選D. 2．已知實數(shù)a，b滿足＞a＞b＞，則(　　) A．b＜2 B．b＞2 C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)＞ 解析：選B　由＞a，得a＞1，由a＞b，得2a＞b，故2a＜b，由b＞，得b＞4，得b＜4.由2a＜b，得b＞2a＞2，a＜＜2，故1＜a＜2,2＜b＜4. 對于選項A、B，由于b2－4(b－a)＝(b－2)2＋4(a－1)＞0恒成立，故A錯誤，B正確；對于選項C，D，a2－(b－a)＝2－，由于1＜a＜2,2＜b＜4，故該式的符號不確定，故C、D錯誤．

26、故選B. 3．設a＞0，且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求實數(shù)a的值． 解：令t＝ax(a＞0，且a≠1)， 則原函數(shù)化為y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t＞0)． ①當0＜a＜1，x∈[－1,1]時，t＝ax∈， 此時f(t)在上為增函數(shù)． 所以f(t)max＝f＝2－2＝14. 所以2＝16，解得a＝－(舍去)或a＝. ②當a＞1時，x∈[－1,1]，t＝ax∈， 此時f(t)在上是增函數(shù)． 所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)． 綜上得a＝或3. (二)交匯專練——融會巧遷移

27、4．[與基本不等式交匯]設f(x)＝ex,0＜a＜b，若p＝f，q＝f，r＝，則下列關系式中正確的是(　　) A．q＝r＜p B．p＝r＜q C．q＝r＞p D．p＝r＞q 解析：選C　∵0＜a＜b，∴＞，又f(x)＝ex在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴f＞f()，即q＞p.又r＝＝＝e＝q，故q＝r＞p.故選C. 5．[與一元二次函數(shù)交匯]函數(shù)y＝x－x＋1在區(qū)間[－3,2]上的值域是________． 解析：令t＝x， 因為x∈[－3,2]，所以t∈， 故y＝t2－t＋1＝2＋. 當t＝時，ymin＝； 當t＝8時，ymax＝57. 故所求函數(shù)的值域為. 答案： 6

28、．[與函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立交匯]已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求a，b的值； (2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范圍． 解：(1)因為f(x)是R上的奇函數(shù)， 所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1. 從而有f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋， 由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，又因為f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等價于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因為f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2－2t＞－2t2＋k. 即對一切t∈R有3t2－2t－k＞0， 從而Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－. 故k的取值范圍為. 15