（全國通用版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱命題和特稱命題的概念.3.能判定全稱命題與特稱命題的真假，并掌握其判定方法． 知識(shí)點(diǎn)一　全稱量詞、全稱命題 思考　觀察下面的兩個(gè)語句，思考下列問題： P：m≤5； Q：對(duì)所有的m∈R，m≤5. 上面的兩個(gè)語句是命題嗎？二者之間有什么關(guān)系？ 答案　語句P無法判斷真假，不是命題；語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“所有的”，可以判斷真假，是命題．語句P是命題Q中的一部分． 梳理　(1)全稱量詞及全稱命題的概念 短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?

2、”表示．含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題． (2)表示 將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)，讀作“對(duì)任意x屬于M，有p(x)成立”． (3)全稱命題的真假判定 要判定全稱命題是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)成立，但要判定全稱命題是假命題，只需舉出一個(gè)x0∈M，使得p(x0)不成立即可． 知識(shí)點(diǎn)二　存在量詞、特稱命題 思考　找出下列命題的共同特征，并判斷其真假． (1)存在x0∈R，x≤0； (2)有些三棱錐是正四面體． 答案　所給

3、命題都是真命題，它們都表示“存在”的意思． 梳理　(1)存在量詞及特稱命題的要命 短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示．含有存在量詞的命題，叫做特稱命題． (2)表示 特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x0∈M，p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． (3)特稱命題的真假判定 要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題． (1)“有些”“某個(gè)”“有的”等短語不是存在量詞．(×) (2)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的

4、含義是“存在性”．(√) (3)全稱命題中一定含有全稱量詞，特稱命題中一定含有存在量詞．(×) 類型一　判斷命題的類型 例1　將下列命題用“?”或“?”表示． (1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一個(gè)負(fù)根； (3)若直線l垂直于平面α內(nèi)任一直線，則l⊥α. 考點(diǎn)　量詞與命題 題點(diǎn)　全稱(特稱)命題的符號(hào)表示 解　(1)?x∈R，x2≥0. (2)?x0＜0，ax＋2x0＋1＝0(a＜1)． (3)若?a?α，l⊥a，則l⊥α. 反思與感悟　判斷一個(gè)命題是全稱命題還是特稱命題的關(guān)鍵是看量詞．由于某些全稱命題的量詞可能省略，所以要

5、根據(jù)命題表達(dá)的意義判斷，同時(shí)要會(huì)用相應(yīng)的量詞符號(hào)正確表達(dá)命題． 跟蹤訓(xùn)練1　判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題． (1)梯形的對(duì)角線相等； (2)存在一個(gè)四邊形有外接圓； (3)二次函數(shù)都存在零點(diǎn)； (4)過兩條平行線有且只有一個(gè)平面． 考點(diǎn)　量詞與命題 題點(diǎn)　全稱(存在)量詞的識(shí)別 解　命題(1)完整的表述應(yīng)為“所有梯形的對(duì)角線相等”，很顯然為全稱命題． 命題(2)為特稱命題． 命題(3)完整的表述為“所有的二次函數(shù)都存在零點(diǎn)”，故為全稱命題． 命題(4)是命題“過任意兩條平行線有且只有一個(gè)平面”的簡(jiǎn)寫，故為全稱命題． 類型二　判斷命題的真假 例2　判斷下列命題的真

6、假． (1)?x∈R，x2－x＋1＞； (2)?α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)存在一個(gè)函數(shù)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)； (4)每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)表示； (5)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使等式x＋x0＋8＝0成立． 考點(diǎn)　特稱(全稱)命題的真假性判斷 題點(diǎn)　特稱(全稱)命題真假的判斷 解　(1)真命題，∵x2－x＋1－＝x2－x＋ ＝2＋≥＞0，∴x2－x＋1＞恒成立． (2)真命題，例如α＝，β＝，符合題意． (3)真命題，函數(shù)f(x)＝0既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)． (4)假命題，如：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，它的長(zhǎng)度就不是有理數(shù)． (5)假

7、命題，因?yàn)樵摲匠痰呐袆e式Δ＝－31＜0，故無實(shí)數(shù)解． 反思與感悟　要判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中每個(gè)元素x，證明p(x)都成立；如果在集合M中找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個(gè)全稱命題就是假命題． 要判定特稱命題“?x0∈M，p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個(gè)特稱命題就是假命題． 跟蹤訓(xùn)練2　判斷下列命題的真假． (1)有一些奇函數(shù)的圖象過原點(diǎn)； (2)?x0∈R,2x＋x0＋1<0； (3)?x∈R，sin x＋cos x≤. 考點(diǎn)　特稱(

8、全稱)命題的真假性判斷 題點(diǎn)　特稱(全稱)命題真假的判斷 解　(1)該命題中含有“有一些”，是特稱命題．如y＝x是奇函數(shù)，其圖象過原點(diǎn)，故該命題是真命題． (2)該命題是特稱命題． ∵2x＋x0＋1＝22＋≥>0， ∴不存在x0∈R，使2x＋x0＋1<0.故該命題是假命題． (3)該命題是全稱命題． ∵sin x＋cos x＝sin≤恒成立， ∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，sin x＋cos x≤都成立，故該命題是真命題． 類型三　利用全稱命題和特稱命題求參數(shù)的值或取值范圍 例3　已知下列命題p(x)為真命題，求x的取值范圍． (1)命題p(x)：x＋1>x； (2)命題p(x)：x

9、2－5x＋6>0； (3)命題p(x)：sin x>cos x. 考點(diǎn)　全稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　恒成立求參數(shù)的取值范圍 解　(1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R. (2)∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0， ∴x>3或x<2. (3)∵sin x>cos x，∴2kπ＋

10、題過程中要注意變量取值范圍的限制． 跟蹤訓(xùn)練3　已知命題p：“?x0∈R，sin x0＜m”，命題q：“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 考點(diǎn)　簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　由含量詞的復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解　因?yàn)椤?x0∈R，sin x0＜m”是真命題，所以m＞－1. 又因?yàn)椤?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命題， 所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2. 又p，q均為真命題， 所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－1,2). 1．下列命題中，是正確的全稱命題的是(　　) A．對(duì)任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2

11、a－2b＋2＜0 B．菱形的兩條對(duì)角線相等 C．?x0，＝x0 D．對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù) 考點(diǎn)　全稱量詞與全稱命題 題點(diǎn)　全稱命題的識(shí)別 答案　D 2．下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是(　　) A．存在一個(gè)α，使tan(90°－α)＝tan α B．存在實(shí)數(shù)x0，使sin x0＝ C．對(duì)一切α，sin(180°－α)＝sin α D．對(duì)任意α，β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 考點(diǎn)　特稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　特稱命題真假的判斷 答案　A 3．命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1＋x)(1－9x)＞0”用“?”或“?”可表述為

12、____________． 考點(diǎn)　存在量詞與特稱命題 題點(diǎn)　特稱命題的符號(hào)表示 答案　?x0＜0，(1＋x0)(1－9x0)＞0 4．用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題，并判斷真假． (1)所有實(shí)數(shù)x都能使x2＋x＋1＞0成立； (2)對(duì)所有實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有一個(gè)解； (3)一定有整數(shù)x，y，使得3x－2y＝10成立； (4)所有的有理數(shù)x都能使x2＋x＋1是有理數(shù)． 考點(diǎn)　量詞與命題 題點(diǎn)　全稱(特稱)命題的符號(hào)表示 解　(1)?x∈R，x2＋x＋1＞0；真命題． (2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命題． (3)?x0，y0∈Z,3x0－2y

13、0＝10；真命題． (4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理數(shù)；真命題． 利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧 (1)轉(zhuǎn)化為恒成立問題：含參數(shù)的全稱命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來處理，最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題． (2)轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題：含參數(shù)的特稱命題為真時(shí)，常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理，最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識(shí)獲得解決． 一、選擇題 1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①命題“所有的四邊形都是矩形”是特稱命題； ②命題“?x∈R，x2＋2＜0”是全稱命題； ③命題“?x0∈R，x＋4x0＋4≤0”是特稱命題． A．0

14、 B．1 C．2 D．3 考點(diǎn)　量詞與命題 題點(diǎn)　特稱(全稱)命題的識(shí)別 答案　C 解析　只有②③正確． 2．以下四個(gè)命題既是特稱命題又是真命題的是(　　) A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角 B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0 C．兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù) D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使＞2 考點(diǎn)　存在量詞與特稱命題 題點(diǎn)　特稱命題的真假判斷 答案　B 3．已知命題“?x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,3) C．(－3，＋∞) D．(－3,1) 考點(diǎn)　特稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　

15、由特稱命題真假性求參數(shù)的取值范圍 答案　B 解析　原命題的否定為?x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0， 由題意知，原命題的否定為真命題，則Δ＝(a－1)2－4×2×<0，則－2

16、 5．下面命題是真命題的是(　　) A．?x∈R，x3≥x B．?x0∈R，x＋1＜2x0 C．?xy＞0，x－y≥2 D．?x0，y0∈R，sin(x0＋y0)＝sin x0－sin y0 考點(diǎn)　量詞與命題 題點(diǎn)　全稱(特稱)命題的真假性判斷 答案　D 6．若“?x∈，cos x≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為(　　) A．－ B．－ C. D. 考點(diǎn)　全稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　恒成立求參數(shù)的取值范圍 答案　C 7．下列全稱命題中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) ①負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)； ②對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函數(shù)f(x)＝x2－ax－

17、1與x軸恒有交點(diǎn)； ④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)　全稱量詞與全稱命題 題點(diǎn)　全稱命題的真假性判斷 答案　C 解析　①②③為真命題；當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，x2＋|y|＝0， ④為假命題． 二、填空題 8．若“?x∈，tan x≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為________． 考點(diǎn)　全稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　恒成立求參數(shù)的取值范圍 答案　1 解析　∵?x∈，∴tan x≤1，∴m≥1，故實(shí)數(shù)m的最小值為1. 9．已知命題p：?c＞0，y＝(3－c)x在R上為減函數(shù)，命題q：?x∈R，x2＋2c－3＞0.若p，q均

18、為真命題，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為________． 考點(diǎn)　全稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　恒成立求參數(shù)的取值范圍 答案　(2,3) 解析　由于p∧q為真命題，所以p，q都是真命題， 所以解得2＜c＜3. 故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(2,3)． 10．若命題“?x0∈R，ax＋ax0＋1≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 考點(diǎn)　特稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　由特稱命題真假性求參數(shù)的取值范圍 答案　[0,4) 解析　由題意知，?x∈R，ax2＋ax＋1＞0恒成立， 當(dāng)a＝0時(shí)，1＞0恒成立，滿足條件； 當(dāng)a≠0時(shí)，若ax2＋ax＋1＞0恒成立， 則解得0＜a＜4.

19、綜上所述a∈[0,4)． 11．有下列四個(gè)命題： p1：?x0∈(0，＋∞)， ＜； p2：?x0∈(0,1)，＞； p3：?x∈(0，＋∞)，＞； p4：?x∈，＜ 其中為真命題的是________． 考點(diǎn)　量詞與命題 題點(diǎn)　全稱(特稱)命題的真假性判斷 答案　p2，p4 解析　因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝xα(α＞0)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以命題p1是假命題；因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(0＜a＜1)是減函數(shù)，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，0＜logx＜logx，所以0＜＜，即＞，所以命題p2是真命題；因?yàn)楹瘮?shù)y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以有0＜y＜1，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，y＝≥0

20、，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，y＝＜0，所以命題p3是假命題；因?yàn)楹瘮?shù)y＝在上單調(diào)遞減，所以有0＜y＜1，而函數(shù)y＝在上的函數(shù)值y＞1，所以命題p4是真命題． 三、解答題 12．判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題，若是，用符號(hào)表示，并判斷其真假． (1)存在一條直線，其斜率不存在； (2)對(duì)所有的實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在實(shí)數(shù)x0，使得＝2. 考點(diǎn)　全稱(特稱)命題的真假性判斷 題點(diǎn)　全稱(特稱)命題的真假性判斷 解　(1)是特稱命題，用符號(hào)表示為“?直線l，l的斜率不存在”，是真命題． (2)是全稱命題，用符號(hào)表示為“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有

21、唯一解”，是假命題． (3)是特稱命題，用符號(hào)表示為“?x0∈R，＝2”，是假命題． 13．已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命題p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 考點(diǎn)　命題的真假性判斷 題點(diǎn)　由命題真假求參數(shù)的取值范圍 解　若p為真命題，則a≤x2對(duì)于x∈[1,2]恒成立， 所以a≤1. 若q為真命題，則關(guān)于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有實(shí)根， 所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2. 又p，q均為真命題， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤－2或a＝1. 四、探究與拓展 14．下列四個(gè)

22、命題： ①?zèng)]有一個(gè)無理數(shù)不是實(shí)數(shù)；②空集是任何一個(gè)非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一個(gè)整數(shù)x，使得x2－x＋1是整數(shù)． 其中是真命題的為(　　) A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 考點(diǎn)　量詞與命題 題點(diǎn)　特稱(全稱)命題的真假性判斷 答案　C 解析?、偎袩o理數(shù)都是實(shí)數(shù)，為真命題； ②顯然為真命題； ③顯然不成立，為假命題； ④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整數(shù)，為真命題． 15．已知f(x)＝log2t，t∈[，8]，若命題“對(duì)于函數(shù)f(t)值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍． 考點(diǎn)　全稱命題的真假性判斷 題點(diǎn)　恒成立求參數(shù)的取值范圍 解　易知f(t)∈. 由題意知，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2， 則g(m)＞0對(duì)任意m∈恒成立， 所以即 解得x＞2或x＜－1. 故實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞). 11