（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語學(xué)案

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1、 第一章 集合與常用邏輯用語 第一節(jié)集__合 1．集合的相關(guān)概念 (1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性． (2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?. (3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法． (4)五個特定的集合： 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符號 N N*或N＋ Z Q R 2．集合間的基本關(guān)系 　　表示 關(guān)系　　 文字語言 符號語言 記法 基本關(guān)系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A? x∈B A?B或 B?A 真子集 集合A是集合B的子集，

2、且集合B中至少有一個元素不屬于A A?B，且存在x0∈B，x0?A AB或 BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A?B， B?A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意的x，x??，??A ? 3．集合的基本運(yùn)算 　 表示 運(yùn)算 　 文字語言 符號語言 圖形語言 記法 交集 屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 補(bǔ)集 全集U中不屬于集合A的元素組成的集合 {x|x∈U，且x?A}

3、 ?UA 4．集合問題中的幾個基本結(jié)論 (1)集合A是其本身的子集，即A?A； (2)子集關(guān)系的傳遞性，即A?B，B?C?A?C； (3)A∪A＝A∩A＝A，A∪?＝A，A∩?＝?，?UU＝?，?U?＝U. (4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B. [小題體驗(yàn)] 1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0

4、(x＋1)(x－2)<0}，B＝{x|0≤x≤3}，則A∩B＝________. 答案：{x|0≤x<2} 1．認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解集合問題的兩個先決條件． 2．解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包含關(guān)系． 3．易忘空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身． 4．運(yùn)用數(shù)軸圖示法易忽視端點(diǎn)是實(shí)心還是空心． 5．在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤． [小題糾偏] 1．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y

5、＝lg(x＋2)}，則(?UA)∩B等于(　　) A. B. C. D. 解析：選A　依題意得A＝，?UA＝；B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，因此(?UA)∩B＝. 2．已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，則滿足A∪B＝{0,1,2}的集合B的個數(shù)為________． 解析：由A中的不等式解得0≤x≤2，x∈N，即A＝{0,1,2}．∵A∪B＝{0,1,2}，∴B可能為{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，?，共8個． 答案：8 3．已知集合A＝{0, x＋1，x2－5x}，若－4∈A，則實(shí)數(shù)x的值為________． 解

6、析：∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4. ∴x＝－5或x＝1或x＝4. 若x＝1，則A＝{0, 2，－4}，滿足條件； 若x＝4，則A＝{0, 5，－4}，滿足條件； 若x＝－5，則A＝{0，－4,50}，滿足條件． 所以x＝1或x＝4或－5. 答案：1或4或－5 [題組練透] 1．(易錯題)已知集合A＝{1,2,4}，則集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　　 B．6 C．8 D．9 解析：選D　集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4

7、,1)，(4,2)，(4,4)，共9個． 2．已知a>0，b∈R，若＝{a－b,0，a2}，則a2＋b2的值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：選B　由已知得a≠0，則＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因?yàn)閍>0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4. 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a等于(　　) A. B. C．0 D．0或 解析：選D　若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實(shí)根或有兩個相等實(shí)根． 當(dāng)a＝0時，x＝，符合題意． 當(dāng)a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，

8、 所以a的值為0或. 4．(易錯題)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． 解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，則m＝1或m＝－，當(dāng)m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng)m＝－時，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－. 答案：－ [謹(jǐn)記通法] 與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略 (1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集．如“題組練透”第1題． (2)看這些元素滿足什么限制條件． (3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性．如“題組練透”第4

9、題． [典例引領(lǐng)] 1．已知集合M＝{1,2,3,4}，則集合P＝{x|x∈M且2x?M}的子集有(　　) A．8個　　　　　　　　 B．4個 C．3個 D．2個 解析：選B　由題意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4個． 2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|ax－6＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 解析：選D　由題意可得，因?yàn)锽?A，所以B＝{2}，{3}或?；若B＝{2}，則2∈B，所以2a－6＝0，解得a＝3；若B＝{3}，則3∈B，所以3a－6＝0，解得a＝2；若B＝?，則a＝0.所以滿足條件的

10、實(shí)數(shù)a的值為0或2或3. [由題悟法] 集合間基本關(guān)系的兩種判定方法和一個關(guān)鍵 [即時應(yīng)用] 1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的個數(shù)為(　　) A．32 B．31 C．30 D．29 解析：選B　因?yàn)榧嫌?個元素，所以其子集的個數(shù)為25＝32個，其真子集的個數(shù)為25－1＝31個． 2．已知集合A＝{x|－10時， ∵A＝{x|－1

11、圍為(－∞，1]． 答案：(－∞，1] [鎖定考向] 集合運(yùn)算多與解簡單的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系，考查對集合的理解及不等式的有關(guān)知識；有些集合題為抽象集合題或新定義型集合題，考查學(xué)生的靈活處理問題的能力． 常見的命題角度有： (1)集合的運(yùn)算； (2)利用集合運(yùn)算求參數(shù)； (3)新定義集合問題．　　　 [題點(diǎn)全練] 角度一：集合的運(yùn)算 1．(2018·寧波模擬)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A∩(?UB)＝{1,3,5}，則B＝(　　) A．{2,4,6}　　　　　　 B．{1,3,5} C．{0,2,4,6} D．{x∈Z|0≤x≤6}

12、 解析：選C　因?yàn)閁＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0,1,2,3,4,5,6}，A∩(?UB)＝{1,3,5}，所以B＝{0,2,4,6}． 2．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝(　　) A．[2,3] B．(－2,3] C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：選B　∵Q＝{x∈R|x2≥4}， ∴?RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}． ∵P＝{x∈R|1≤x≤3}， ∴P∪(?RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]． 角度二：利用集合運(yùn)算求參數(shù) 3．設(shè)

13、集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x－1，又因?yàn)閍<0，所以－10”的充分必要條件； 命題②：對任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C

14、)．　 A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立 C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立 解析：選A　命題①成立，若A≠B，則card(A∪B)＞card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)＞0.反之可以把上述過程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要條件； 命題②成立，由Venn圖，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)， d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)， d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)， ∴d

15、(A，B)＋d(B，C)－d(A，C) ＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C) －2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)] ＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C) ＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)] ＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card((A∪C)∩B)＋card(A∩B∩C)] ＝[2card(B)－2card((A∪C)∩B)]＋[2card(A∩C)－2card(A∩B∩C)]

16、≥0， ∴d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)得證． [通法在握] 解集合運(yùn)算問題4個技巧 看元素構(gòu)成 集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵 對集合化簡 有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了、易于解決 應(yīng)用數(shù)形 常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖 創(chuàng)新性問題 以集合為依托，對集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)加以深入的創(chuàng)新，但最終化為原來的集合知識和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識來解決 [演練沖關(guān)] 1．(2018·臺州模擬)若集合A＝{x|－1

17、(－1，＋∞) C．(－1,1)∪[2，＋∞) D．? 解析：選C　因?yàn)閤－2≥0，解得x≥2，所以B＝[2，＋∞)，所以A∪B＝(－1,1)∪[2，＋∞)． 2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一個元素，則a＝(　　) A．4 B．2 C．0 D．0或4 解析：選A　由題意得方程ax2＋ax＋1＝0只有一個實(shí)數(shù)解，當(dāng)a＝0時，方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)a≠0時，則Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不符合題意，舍去)． 3．(2018·吳越聯(lián)盟模擬)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，則滿足條件的P的子集有(　　) A．2個 B

18、．4個 C．6個 D．8個 解析：選B　因?yàn)镻＝M∩N＝{2,4}，所以集合P的子集有?，{2}，{4}，{2,4}，共4個． 4.如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義集合AB為陰影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，則AB為(　　) A．{x|02} 解析：選D　因?yàn)锳＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故選D

19、. 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．(2016·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，則A∪B＝(　　) A．{1}　　　　　　　　　 B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} 解析：選C　因?yàn)锽＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1

20、．[－1,3] 解析：選A　由|x|<2，可得－21} D．A∩B＝? 解析：選A　∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}， ∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故選A. 4．設(shè)集合A＝{3，m}，B＝{3m,3}，且A＝B，則實(shí)數(shù)m的值是________． 解析：由集合A＝{3，m}＝B＝{3m,3}，得3m＝m，則m＝0.

21、答案：0 5．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1

22、}，則A∩(?RB)＝(　　) A．{x|04} D．{x|x≤0} 解析：選A　由y＝x，得y>0，即A＝{y|y>0}，由－x2＋6x－8>0，解得2

23、＝R. 4．(2018·河南六市第一次聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4個子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3) C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析：選B　∵A∩B有4個子集，∴A∩B中有2個不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a<0，解得0

24、} D．{x|x<－1} 解析：選C　由x2－5x－6<0，解得－1

25、B＝{x|x2－4x≤0}，則A∪B＝________，A∩(?RB)＝________. 解析：因?yàn)锽＝{x|x2－4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}；因?yàn)?RB＝{x|x<0或x>4}，所以A∩(?RB)＝{x|－1≤x<0}． 答案：{x|－1≤x≤4}　{x|－1≤x<0} 8．設(shè)集合A＝{(x，y)|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{(x，y)|y≤－x＋b}，A∩B≠?. (1)b的取值范圍是________； (2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值為9，則b的值是________． 解析：由圖可知，當(dāng)y＝－x往右移動到陰影區(qū)域時，

26、才滿足條件，所以b≥2；要使z＝x＋2y取得最大值，則過點(diǎn)(0，b)，有0＋2b＝9?b＝. 答案：(1)[2，＋∞)　(2) 9．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A?B，則實(shí)數(shù)a－b 的取值范圍是________． 解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因?yàn)锳?B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即實(shí)數(shù)a－b的取值范圍是(－∞，－2]． 答案：(－∞，－2] 10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}． (1)若A∩B＝[0,3]

27、，求實(shí)數(shù)m的值； (2)若A??RB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：由已知得A＝{x|－1≤x≤3}， B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)因?yàn)锳∩B＝[0,3]， 所以所以m＝2. (2)?RB＝{x|xm＋2}， 因?yàn)锳??RB， 所以m－2>3或m＋2<－1， 即m>5或m<－3. 因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．(2018·杭州名校聯(lián)考)設(shè)集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，則(?RA)∩B＝(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,1]

28、 C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：選C　由題可得，A＝[－1,1]，所以?RA＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．又B＝(0，＋∞)，所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)． 2．對于集合M，N，定義M－N＝{x|x∈M，且x?N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，設(shè)A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，則A⊕B＝(　　) A. B. C.∪[0，＋∞) D.∪(0，＋∞) 解析：選C　依題意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故A⊕B＝∪[0，＋∞)．故選C. 3．設(shè)全集U＝R，且集合A＝{x|x2－2x－8≤0}，集合B＝{x|x2＋2x－3>0}，C＝{x|x2－

29、3ax＋2a2<0}． (1)求A∩B； (2)試求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得C?A∪(?UB)． 解：(1)因?yàn)锳＝{x|x2－2x－8≤0}＝[－2,4]， B＝{x|x2＋2x－3>0}＝(－∞，－3)∪(1，＋∞)， 所以A∩B＝(1,4]． (2)由題可得，?UB＝[－3,1]， 所以A∪(?UB)＝[－3,4]． 因?yàn)镃＝{x|x2－3ax＋2a2<0}＝{x|(x－a)(x－2a)<0}， 所以當(dāng)a<0時，C＝(2a，a)， 因?yàn)镃?A∪(?UB)， 所以此時只需－3≤2a，解得a≥－，所以－≤a<0. 當(dāng)a＝0時，C＝?，滿足C?A∪(?UB)，所以a＝0.

30、 當(dāng)a>0時，C＝(a,2a)， 因?yàn)镃?A∪(?UB)， 所以此時只需滿足2a≤4，解得a≤2，所以0

31、,4. 3．充要條件 若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件 p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為B p是q的充分不必要條件 p?q且q p A是B的真子集 集合與 充要條件 p是q的必要不充分條件 p q且q?p B是A的真子集 p是q的充要條件 p?q A＝B p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p A，B互不包含 [小題體驗(yàn)] 1．下列命題是真命題的是(　　) A．若log2a>0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域上是減函數(shù) B．命題“若xy＝0，則x＝0”的否命題 C．“m＝3”

32、是“直線(m＋3)x＋my－2＝0與mx－6y＋5＝0垂直”的充要條件 D．命題“若cos x＝cos y，則x＝y(tǒng)”的逆否命題 答案：B 2．設(shè)A，B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的______條件． 答案：充要 3．設(shè)a，b是向量，則命題“若a＝－b，則|a|＝| b|”的逆否命題為：________. 答案：若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b 1．易混淆否命題與命題的否定：否命題是既否定條件，又否定結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論． 2．易忽視A是B的充分不必要條件(A?B且BA)與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)兩者的不同． [小題糾偏] 1．(2

33、018·杭州模擬)“x<0”是“l(fā)n(x＋1)<0”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案：B 2．“在△ABC中，若∠C＝90°，則∠A，∠B都是銳角”的否命題為：________________. 解析：原命題的條件： 在△ABC中，∠C＝90°， 結(jié)論：∠A，∠B都是銳角． 否命題是否定條件和結(jié)論． 即“在△ABC中，若∠C≠90°， 則∠A，∠B不都是銳角”． 答案：在△ABC中，若∠C≠90°，則∠A，∠B不都是銳角 [題組練透] 1．命題“若a2>b2，則a>b”的否命題是(　　

34、) A．若a2>b2，則a≤b　　 B．若a2≤b2，則a≤b C．若a≤b，則a2>b2 D．若a≤b，則a2≤b2 解析：選B　根據(jù)命題的四種形式可知，命題“若p，則q”的否命題是“若綈p，則綈q”．該題中，p為a2>b2，q為a>b，故綈p為a2≤b2，綈q為a≤b.所以原命題的否命題為：若a2≤b2，則a≤b. 2．命題“若x2＋3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為(　　) A．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為真命題 B．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為真命題 C．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為假命題 D．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為假

35、命題 解析：選C　根據(jù)逆否命題的定義可以排除A，D，因?yàn)閤2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命題為假命題，即逆否命題為假命題． 3．給出以下四個命題： ①“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； ②(易錯題)“全等三角形的面積相等”的否命題； ③“若q≤－1，則x2＋x＋q＝0有實(shí)根”的逆否命題； ④若ab是正整數(shù)，則a，b都是正整數(shù)． 其中真命題是________．(寫出所有真命題的序號) 解析：①命題“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”，顯然①為真命題；②不全等的三角形的面積也可能相等，故②為假命題；③原命題正確，所

36、以它的逆否命題也正確，故③為真命題；④若ab是正整數(shù)，但a，b不一定都是正整數(shù)，例如a＝－1，b＝－3，故④為假命題． 答案：①③ [謹(jǐn)記通法] 1．寫一個命題的其他三種命題時的2個注意點(diǎn) (1)對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫； (2)若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．如“題組練透”第3題②易忽視． 2．命題真假的2種判斷方法 (1)聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷． (2)利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題的等價關(guān)系進(jìn)行判斷． [典例引領(lǐng)] 1．(2018·紹興模擬)已知a，b為實(shí)數(shù)，則“a＝0”是“f(x)＝x2＋a|x|＋b

37、為偶函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由題可得，因?yàn)閒(－x)＝(－x)2＋a|－x|＋b＝x2＋a|x|＋b＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，此時a∈R.所以“a＝0”是“f(x)＝x2＋a|x|＋b為偶函數(shù)”的充分不必要條件． 2．設(shè)a∈R，則“a＝4”是“直線l1：ax＋8y－8＝0與直線l2：2x＋ay－a＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D　∵當(dāng)a≠0時，＝＝?直線l1與直線l2重合，∴無論a取何值，直線

38、l1與直線l2均不可能平行，當(dāng)a＝4時，l1與l2重合．故選D. [由題悟法] 充要條件的3種判斷方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷； (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷； (3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件． [即時應(yīng)用] 1．設(shè)a>0，b>0，則“a2＋b2≥1”是“a＋b≥ab＋1”成立的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

39、 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　因?yàn)閍>0，b>0，所以a＋b>0，ab＋1>0，故不等式a＋b≥ab＋1成立的充要條件是(ab＋1)2≤(a＋b)2，即a2＋b2≥a2b2＋1. 顯然，若a2＋b2≥a2b2＋1，則必有a2＋b2≥1，反之則不成立，所以a2＋b2≥1是a2＋b2≥a2b2＋1成立的必要不充分條件，即a2＋b2≥1是a＋b≥ab＋1成立的必要不充分條件． 2．已知條件p：x＋y≠－2，條件q：x，y不都是－1，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因?yàn)閜：x＋y≠

40、－2，q：x≠－1，或y≠－1， 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1， 因?yàn)榻恞?綈p但綈p 綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件． 3．(2018·寧波模擬)已知四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，l為空間一直線，則“l(fā)垂直于兩腰AD，BC”是“l(fā)垂直于兩底AB，DC”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是梯形，且AB∥CD，所以腰AD，BC是交線，由直線與平面垂直的判定定理可知，當(dāng)l垂直于兩腰AD，BC時，l垂直于ABCD所在平面，所以l垂直于兩

41、底AB，CD，所以是充分條件；當(dāng)l垂直于兩底AB，CD，由于AB∥CD，所以l不一定垂直于ABCD所在平面，所以l不一定垂直于兩腰AD，BC，所以不是必要條件．所以是充分不必要條件． [典例引領(lǐng)] 已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2＋ax＋b＝0有兩個實(shí)數(shù)根α，β.證明：|α|＜2且|β|＜2是2|a|＜4＋b且|b|＜4的充要條件． 證明：(1)充分性：由根與系數(shù)的關(guān)系，得|b|＝|α·β|＝|α|·|β|＜2×2＝4.設(shè)f(x)＝x2＋ax＋b，則f(x)的圖象是開口向上的拋物線．又|a|＜2，|β|＜2，所以f(±2)＞0.即有?4＋b>2a>－(4＋b)，又|b|<4?4＋b>0

42、?2|a|<4＋b. (2)必要性：因?yàn)?|a|<4＋b且|b|<4?f(±2)>0，函數(shù)f(x)的圖象是開口向上的拋物線．所以方程f(x)＝0的兩根α，β同在(－2,2)內(nèi)或無實(shí)根．因?yàn)棣粒率欠匠蘤(x)＝0的實(shí)根，所以α，β同在(－2,2)內(nèi)，且|α|＜2且|β|＜2. [由題悟法] 根據(jù)充要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點(diǎn) (1)先合理轉(zhuǎn)化條件，常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題等，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍． (2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)

43、系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象． [即時應(yīng)用] 1．(2018·杭州名校模擬)已知條件p：|x＋1|>2，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，1] C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3] 解析：選A　由|x＋1|>2，可得x>1或x<－3，所以綈p：－3≤x≤1；又綈q：x≤a.因?yàn)榻恜是綈q的充分不必要條件，所以a≥1. 2．已知“命題p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命題q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取

44、值范圍為________________． 解析：命題p：x＞m＋3或x＜m， 命題q：－4＜x＜1. 因?yàn)閜是q成立的必要不充分條件， 所以m＋3≤－4或m≥1， 故m≤－7或m≥1. 答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞) 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　若(2x－1)x＝0，則x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，則一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分條件． 2．設(shè)a，

45、b∈R，則“a3>b3且ab<0”是“>”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由a3>b3，知a>b，由ab<0，知a>0>b，所以此時有>，故充分性成立； 當(dāng)>時，若a，b同號，則ab，所以必要性不成立．故選A. 3．對于直線m，n和平面α，β，m⊥α成立的一個充分條件是(　　) A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α 解析：選C　對于選項C，因?yàn)閙⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故選C. 4．命題p：

46、“若x2<1，則x<1”的逆命題為q，則p與q的真假性為(　　) A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假 解析：選B　q：若x<1，則x2<1. ∵p：x2<1，則－15是x>a的充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)>5 B．a(chǎn)≥5 C．a(chǎn)<5 D．a(chǎn)≤5 解析：選D　由x>5是x>a的充分條件知，{x|x>5}?{x|x>a}，∴a≤5，故選D. 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(　　) A．“若一個

47、數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)” C．“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)” D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)” 解析：選B　依題意得，原命題的逆命題是“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”． 2．(2018·舟山模擬)已知α，β∈[－π，π]，則“|α|>|β|”是“|α|－|β|>cos α－cos β ”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　設(shè)f(x)＝|x|－cos x，x∈[－π，π]，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．因?yàn)閨α|>|β|，不妨考慮x∈[0，π

48、]，f(x)＝x－cos x．因?yàn)閒′(x)＝1＋sin x>0，所以函數(shù)f(x)在[0，π]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)α>β時，α－cos α>β－cos β，即|α|－|β|>cos α－cos β，所以是充分條件；當(dāng)|α|－|β|>cos α－cos β，即當(dāng)α，β∈[0，π]時，α－β>cos α－cos β，所以α－cos α>β－cos β.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0，π]上單調(diào)遞增，所以α>β，由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知|α|>|β|，所以是必要條件．故是充要條件． 3．有下列命題： ①“若x＋y>0，則x>0且y>0”的否命題； ②“矩形的對角線相等”的否命題； ③“若m≥1，則m

49、x2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命題； ④“若a＋7是無理數(shù)，則a是無理數(shù)”的逆否命題． 其中正確的是(　　) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 解析：選C?、俚哪婷}為“若x>0且y>0，則x＋y>0”為真，故否命題為真； ②的否命題為“不是矩形的圖形對角線不相等”，為假命題； ③的逆命題為，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集為R，則m≥1. ∵當(dāng)m＝0時，解集不是R， ∴應(yīng)有 即m>1. ∴③是真命題； ④原命題為真，逆否命題也為真． 4．(2018·浙江五校聯(lián)考)已知直線l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝

50、0，其中a∈R，則“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由題可得，當(dāng)l1⊥l2時，由a＋(a＋2)a＝0，解得a＝0或a＝－3，可知“a＝－3”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件． 5．命題“對任意x∈[1,2)，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件可以是(　　) A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)>4 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)>1 解析：選B　要使“對任意x∈[1,2)，x2－a≤0”為真命題，只需要a≥4，∴a>4是命題為真的充分不必要條件． 6．命題“若a>b，則ac2>bc2(a，b∈R

51、)，”否命題的真假性為________． 解析：命題的否命題為“若a≤b，則ac2≤bc2”． 若c＝0，結(jié)論成立． 若c≠0，不等式ac2≤bc2也成立． 故否命題為真命題． 答案：真 7．下列命題： ①“a>b”是“a2>b2”的必要條件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要條件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要條件． 其中是真命題的是________(填序號)． 解析：①a>b a2>b2，且a2>b2 a>b，故①不正確； ②a2>b2?|a|>|b|，故②正確； ③a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故③正確． 答案：②③

52、8．(2018·溫州模擬)已知數(shù)列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，3，…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析：因?yàn)閨an|≥an，所以an＋1>an，可知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以是充分條件；當(dāng)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列時，?。?，－2，－1,0，…，則該數(shù)列為遞增數(shù)列，但不一定滿足an＋1>|an|，所以不是必要條件．所以是充分不必要條件． 答案：充分不必要 9．設(shè)α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題： ①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β； ②若α外一條直線

53、l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行； ③設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直； ④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直． 上面命題中，真命題的序號是________．(寫出所有真命題的序號) 解析：①α內(nèi)兩條相交直線分別平行于平面β，則兩條相交直線確定的平面α平行于平面β，正確．②平面α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l平行于α，正確． ③如圖，α∩β＝l，a?α，a⊥l，但不一定有α⊥β，錯誤．④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直，而該命題缺少“相交”兩字，故為假命題．綜上所述，真命題的序號為①②. 答案：

54、①② 10．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：y＝x2－x＋1＝2＋， ∵x∈， ∴≤y≤2， ∴A＝. 由x＋m2≥1，得x≥1－m2， ∴B＝{x|x≥1－m2}． ∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件， ∴A?B，∴1－m2≤， 解得m≥或m≤－， 故實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪. 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．(2018·吳越聯(lián)盟)若“x＝1”是“(x－a)(x－a－2)≤0”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1,1) C．[－1,1] D．(－

55、∞，1] 解析：選C　由(x－a)(x－a－2)≤0，得a≤x≤a＋2.要使條件成立，則解得－1≤a≤1. 2．設(shè)n∈N*，關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________. 解析：因?yàn)榉匠逃懈?，所以Δ?6－4n≥0，解得n≤4，因?yàn)閚∈N*，所以n＝1,2,3,4.當(dāng)n＝4時，方程的根為2，滿足條件；當(dāng)n＝3時，方程的根為1,3，滿足條件；當(dāng)n＝1,2時，方程的根不是整數(shù)，所以不滿足條件．所以使得方程有整數(shù)根的充要條件是n＝3,4. 答案：3,4 3．已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝{x|(x－a)(x－a2－2)<0，命題p：x∈A，命題q：x∈

56、B. (1)當(dāng)a＝12時，若p真q假，求x的取值范圍； (2)若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝12時，A＝{x|2

57、條件解得－≤a<； 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪. 命題點(diǎn)一　集合及其運(yùn)算 命題指數(shù)：☆☆☆☆☆ 難度：低 題型：選擇、填空題 1．(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則A∪B＝(　　) A．{1,2,3,4}　　　　　　 B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,3,4} 解析：選A　由題意得A∪B＝{1,2,3,4}． 2．(2017·天津高考)設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝(　　) A．{2}　　　　　　　　　 B．{1,2,4} C．{1,2,4,

58、6} D．{x∈R|－1≤x≤5} 解析：選B　A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝{1,2,4}． 3．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1

59、,2] 解析：選C　由x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以?RP＝{x|0＜x＜2}＝(0,2)． 又Q＝{x|1＜x≤2}＝(1,2]，所以(?RP)∩Q＝(1,2)． 5．(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 解析：選B　因?yàn)锳表示圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)的集合，B表示直線y＝x上的點(diǎn)的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個交點(diǎn)，所以A∩B中元素的個數(shù)為2. 6．(2017·江蘇高考)已知集合A＝{1

60、,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，則實(shí)數(shù)a的值為________． 解析：因?yàn)閍2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}得a＝1，即實(shí)數(shù)a的值為1. 答案：1 命題點(diǎn)二　充要條件 命題指數(shù)：☆☆☆☆ 難度：中、低 題型：選擇題 1.(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4

61、＋S6－2S5＝d，所以d>0?S4＋S6>2S5. 2．(2015·浙江高考)設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＋b＞0”是“ab＞0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選D　特值法：當(dāng)a＝10，b＝－1時，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0?/ ab＞0； 當(dāng)a＝－2，b＝－1時，ab＞0，但a＋b＜0， 所以ab＞0?/ a＋b＞0. 故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要條件． 3．(2017·天津高考)設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充

62、分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由2－x≥0，得x≤2， 由|x－1|≤1，得0≤x≤2. ∵0≤x≤2?x≤2，x≤2?/ 0≤x≤2， 故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分條件． 4．(2017·天津高考)設(shè)θ∈R，則“<”是“sin θ<”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　法一：由<，得0<θ<， 故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“<”． 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件． 法二：

63、. 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件． 5．(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2. ∴當(dāng)λ<0，n≠0時，m·n<0. 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈， 當(dāng)〈m，n〉∈時，m，n不共線． 故“存在負(fù)數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件．

64、 6．(2016·山東高考)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　由題意知a?α，b?β，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而α，β有公共點(diǎn)，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A. 命題點(diǎn)三　四種命題及其關(guān)系 命題指數(shù)：☆☆☆ 難度：低 題型：選擇題 1.(2015·山東高考)設(shè)m∈R，命題

65、“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題是(　　) A．若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0沒有實(shí)根，則m>0 D．若方程x2＋x－m＝0沒有實(shí)根，則m≤0 解析：選D　根據(jù)逆否命題的定義，命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題是“若方程x2＋x－m＝0沒有實(shí)根，則m≤0”． 2．(2014·陜西高考)原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析：選B　因?yàn)樵}為真，所以它的逆否命題為真；若|z1|＝|z2|，當(dāng)z1＝1，z2＝－1時，這兩個復(fù)數(shù)不是共軛復(fù)數(shù)，所以原命題的逆命題是假的，故否命題也是假的．故選B. 25