（魯京遼）2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.1.7 柱、錐、臺和球的體積學案 新人教B版必修2

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1、 1.1.7　柱、錐、臺和球的體積 學習目標　1.理解祖暅原理的內容.2.了解柱、錐、臺體的體積公式的推導.3.掌握柱、錐、臺和球的體積公式． 知識點一　祖暅原理 思考　取一摞紙張堆放在桌面上(如圖所示) ，并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？從這個事實中你得到什么啟發(fā)？ 答案　體積沒有發(fā)生變化，從這個事實中能夠猜測出兩等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等． 梳理　祖暅原理的含義及應用 (1)內容：冪勢既同，則積不容異． (2)含義：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面

2、的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等． (3)應用：等底面積、等高的兩個柱體或錐體的體積相等． 知識點二　柱、錐、臺、球的體積公式 名稱 體積(V) 柱體 棱柱 V＝Sh 圓柱 V＝πr2h 錐體 棱錐 V＝Sh 圓錐 V＝πr2h 臺體 棱臺 V＝h(S＋ ＋S′) 圓臺 V＝πh(r2＋rr′＋r′2) 球 V＝πR3 其中S′、S分別表示上、下底面的面積，h表示高，r′和r分別表示上、下底面的半徑，R表示球的半徑． 1．錐體的體積等于底面面積與高之積．(　×　) 2．臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差．(　√　) 3．兩

3、個球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4.(　×　) 類型一　柱體、錐體、臺體的體積 例1　(1)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為____________． 答案　 解析　三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為，底面積為，故其體積為××＝. (2)如圖所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比． 解　設AB＝a，AD＝b，AA′＝c， ∴VC－A′D′D＝CD·

4、S△A′D′D＝a·bc＝abc， ∴剩余部分的體積為VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc， ∴棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比為1∶5. 反思與感悟　(1)常見的求幾何體體積的方法 ①公式法：直接代入公式求解． ②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可． ③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積． (2)求幾何體體積時需注意的問題 柱、錐、臺體的體積的計算，一般要找出相應的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算． 跟蹤訓練1　已知一個三棱臺上、下底面分

5、別是邊長為20 cm和30 cm的正三角形，側面是全等的等腰梯形，且側面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積． 解　如圖，在三棱臺ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分別為O′，O，BC，B′C′的中點分別為D，D′，則DD′是梯形BCC′B′的高． 所以S側＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. 又因為A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，則上、下底面面積之和為 S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S側＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝(cm)，O′D′＝×20＝(cm)， OD＝×30＝5(cm)， 所以棱臺的高

6、h＝O′O＝ ＝ ＝4(cm)． 由棱臺的體積公式，可得棱臺的體積為 V＝(S上＋S下＋)＝×＝1 900(cm3)． 類型二　球的體積 例2　(1)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器厚度，則球的體積為(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 答案　A 解析　作出該球軸的截面如圖所示，依題意BE＝2，AE＝CE＝4，設DE＝x，故AD＝2＋x，因為AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故該球的半徑AD＝5，所以V＝πR3＝ (cm3)．

7、 (2)設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的體積為________． 答案　a3 解析　長方體的體對角線是其外接球的直徑，由長方體的體對角線為＝a， 得球的半徑為a，V＝π3＝a3. 反思與感悟　(1)求球的體積，關鍵是求球的半徑R. (2)球與其他幾何體組合的問題，往往需要作截面來解決，所作的截面盡可能過球心、切點、接點等． 跟蹤訓練2　(1)一平面截一球得到直徑為2 cm的圓面，球心到這個平面的距離是2 cm，則該球的體積是(　　) A．12π cm3 B．36π cm3 C．64π cm3 D．108π cm3 答案　B

8、解析　設球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示． 在Rt△OO1A中，O1A＝ cm， OO1＝2 cm， ∴球的半徑R＝OA＝＝3(cm)， ∴球的體積V＝×π×33＝36π(cm3)． (2)設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 答案　B 解析　由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半徑R滿足R2＝OA2＝2＋2＝a2，故S球

9、＝4πR2＝πa2. 類型三　幾何體體積的求法 命題角度1　等體積法 例3　如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E為線段B1C上的一點，則三棱錐A－DED1的體積為________． 答案　 解析　 ＝××1×1×1＝. 反思與感悟　(1)利用轉換底面以便于找到幾何體的高，從而求出幾何體的體積． (2)利用等體積法可求點到平面的距離． 跟蹤訓練3　如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，求點A到平面A1BD的距離d. 解　在三棱錐A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a， A1B＝BD＝A1D＝a， ∴×

10、a2·a＝××a×·a·d， ∴d＝a. 命題角度2　割補法 例4　如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積． 解　如圖，連接EB，EC. 四棱錐E－ABCD的體積 V四棱錐E－ABCD＝×42×3＝16. ∵AB＝2EF，EF∥AB， ∴S△EAB＝2S△BEF， ∴V三棱錐F－EBC＝V三棱錐C－EFB＝V三棱錐C－ABE＝V三棱錐E－ABC ＝×V四棱錐E－ABCD＝4. ∴多面體的體積V＝V四棱錐E－ABCD＋V三棱錐F－EBC＝16＋4＝20. 反

11、思與感悟　當一個幾何體的形狀不規(guī)則時，無法直接運用體積公式求解，這時一般通過分割與補形，將原幾何體分割或補形成較易計算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積． 跟蹤訓練4　如圖，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積． 解　用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱，如圖，則圓柱的體積為π×22×5＝20π，故所求幾何體的體積為10π. 1.已知高為3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖)，則三棱錐B1—ABC的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　V＝Sh

12、＝××3＝. 2．若兩球的體積之和是12π，經過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　柱體、錐體、臺體的表面積與體積 題點　與球有關的體積、表面積問題 答案　A 解析　設兩球的半徑分別為R，r(R＞r)， 則由題意得 　　解得 ∴R－r＝1. 3．現(xiàn)有一個底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中．當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降(　　) A．0.6 cm B．0.15 cm C．1.2 cm D．0.3 cm

13、答案　A 解析　設杯里的水下降h cm，由題意知π2h＝×20×π×32，解得h＝0.6 cm. 4．圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是16π，則圓錐的體積是(　　) A. B. C．64π D．128π 答案　A 解析　設圓錐的母線為l，底面半徑為r. 由題意知，l＝r，① S側＝πrl＝16π，② 由①②可得r＝4，l＝4， V圓錐＝πr2h＝r2＝π. 5．設正六棱錐的底面邊長為1，側棱長為，那么它的體積為________． 答案　 解析　依題意得正六棱錐的高為＝2， 所以V＝Sh＝×6××2＝. 1．計算柱體、錐體和臺體的體積時，關鍵是根據(jù)條件

14、找出相應的底面面積和高，要充分運用多面體的有關截面及旋轉體的軸截面，將空間問題轉化為平面問題．旋轉體的軸截面是用過旋轉軸的平面去截旋轉體而得到的截面．例如，圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是過球心的平面截球所得的圓面． 2．在求不規(guī)則的幾何體的體積時，可利用分割幾何體或補全幾何體的方法轉化為柱、錐、臺、球的體積計算問題． 一、選擇題 1．如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4π，那么圓柱的體積等于(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 答案　B 解析　設圓柱母線長為l，底面半徑為r， 由題意得解得 ∴V圓柱＝πr2

15、l＝2π. 2.如圖，在正方體中，四棱錐S－ABCD的體積占正方體體積的(　　) A. B. C. D．不確定 答案　B 解析　由于四棱錐S－ABCD的高與正方體的棱長相等，底面是正方形，根據(jù)柱體和錐體的體積公式，得四棱錐S－ABCD的體積占正方體體積的，故選B. 3.圓柱形容器內盛有高度為6 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示．則球的半徑是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 答案　C 解析　設球半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，可得 3×πr3＋πr2×6＝

16、πr2×6r，解得r＝3. 4.如圖是一個下半部分為正方體、上半部分為正棱柱的盒子(中間連通)．若其表面積為(448＋32)cm2，則其體積為(　　) A．512＋128 cm3 B．216＋128 cm3 C．512＋64 cm3 D．216＋64 cm3 答案　A 解析　設正方體的棱長為a cm，則5a2＋2a2＋a2×2＝448＋32，解得a＝8(cm)． ∴該幾何體的體積為a3＋a2·a＝512＋128(cm3)． 5．將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題意知，此球是正方體的內

17、切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，半徑為1，其體積是×π×13＝. 6．一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為2 cm，那么該棱柱的表面積為(　　) A．(2＋4) cm2 B．(4＋8) cm2 C．(8＋16) cm2 D．(16＋32) cm2 答案　C 解析　∵一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2 cm的球面上，正四棱柱的底面邊長為2 cm，球的直徑為正四棱柱的體對角線，∴正四棱柱的體對角線為4，正四棱柱的底面對角線長為2，∴正四棱柱的高為＝2，∴該棱柱的表面積為2×22＋4×2×2

18、＝8＋16，故選C. 7.如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(　　) A.π B.π C.π D．2π 答案　C 解析　由題意，知旋轉而成的幾何體是圓柱，挖去一個圓錐(如圖)， 該幾何體的體積為π×12×2－×π×12×1＝π. 8．長方體共頂點的三個側面面積分別為，，，則它的外接球表面積為(　　) A．9π B．8π C．4π D．5π 答案　A 解析　設長方體共頂點的三條棱長分別為a，b，c， 則解得 ∴外接球半徑為＝， ∴外接球表面積

19、為4π×2＝9π. 二、填空題 9．如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為________． 考點　柱體、錐體、臺體的表面積與體積 題點　若干個幾何體的體積、表面積關系 答案　3∶1∶2 解析　設球的半徑為R，則 V柱＝πR2·2R＝2πR3， V錐＝πR2·2R＝πR3， V球＝πR3， 故V柱∶V錐∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 10．圓錐的側面展開圖為扇形，若其弧長為2π cm，半徑為 cm，則該圓錐的體積為________ cm3. 答案　 解析　∵圓錐的側面展開圖的弧長為2π cm

20、，半徑為 cm，故圓錐的底面周長為2π cm，母線長為 cm，則圓錐的底面半徑為1，高為1，則圓錐的體積V＝·π·12·1＝. 11．如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點，設三棱錐A－FED的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2的值為________． 答案　 解析　設三棱柱的高為h， ∵F是AA1的中點，則三棱錐F－ADE的高為， ∵D，E分別是AB，AC的中點， ∴S△ADE＝S△ABC， ∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h， ∴＝＝. 三、解答題 12．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面

21、是一個正三角形，在容器內放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度． 解　由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面． 根據(jù)切線性質知，當球在容器內時，水深為3r，水面的半徑為r，則容器內水的體積為V＝V圓錐－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3， 而將球取出后，設容器內水的深度為h，則水面圓的半徑為h， 從而容器內水的體積是V′＝π·2·h＝πh3， 由V＝V′，得h＝r. 即容器中水的深度為r. 13.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，截下一個棱錐C－A1DD1，求棱錐C－A1DD1的體積與剩余部

22、分的體積之比． 解　已知長方體是直四棱柱， 設它的底面ADD1A1的面積為S，高為h， 則它的體積為V＝Sh. 而棱錐C－A1DD1的底面積為S，高為h， 故三棱錐C－A1DD1的體積＝×Sh＝Sh，余下部分體積為Sh－Sh＝Sh. 故棱錐C－A1DD1的體積與剩余部分的體積之比為1∶5. 四、探究與拓展 14．如圖，ABC－A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C－AA′B′B的體積是________． 答案　 解析　∵VC－A′B′C′ ＝VABC－A′B′C′＝， ∴VC－AA′B′B＝1－＝. 15．一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為8 cm的半球形的冰淇淋，請你設計一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計)，使冰淇淋融化后不會溢出杯子，怎樣設計最省材料？ 解　如圖所示，設圓錐形杯子的高為h cm， 要使冰淇淋融化后不會溢出杯子， 則必須V圓錐≥V半球， 而V半球＝×πr3＝××43， V圓錐＝Sh＝πr2h＝×42×h. 依題意：×42×h≥××43， 解得h≥8， 即當圓錐形杯子杯口直徑為8 cm，高大于或等于8 cm時，冰淇淋融化后不會溢出杯子． 又因為S圓錐側＝πrl＝πr， 當圓錐高取最小值8時，S圓錐側最小， 所以高為8 cm時，制造的杯子最省材料． 14