2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達(dá)標(biāo)36 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達(dá)標(biāo)36 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文 新人教版 1．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是(　　) [解析]　A，B，C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面． [答案]　D 2．(2018·廣西名校聯(lián)考)已知m，l是直線，α，β是平面，給出下列命題： ①若l垂直于α，則l垂直于α內(nèi)的所有直線， ②若l平行于α，則l平行于α內(nèi)的所有直線 ③若l?β，且l⊥α，則α⊥β ④若m?α，l?β，且α∥β，則m∥l 其中正確的命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．4　　　 B．3　　　 C．

2、2　　　 D．1 [解析]　對(duì)于①，由線面垂直的定義可知①正確；對(duì)于②，若l平行于α內(nèi)的所有直線，根據(jù)平行公理可得：α內(nèi)的所有直線都互相平行，顯然是錯(cuò)誤的，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，根據(jù)面面垂直的判定定理可知③正確；對(duì)于④，若m?α，l?β，且α∥β，則直線l與m無(wú)公共點(diǎn)，∴l(xiāng)與m平行或異面，故④錯(cuò)誤；故選C. [答案]　C 3．空間四邊形兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，所成的角為45°，連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是(　　) A．6 B．12 C．12 D．24 [解析]　如圖，已知空間四邊形ABCD，設(shè)對(duì)角線AC＝6，BD＝8，易證四邊形EFGH為平行四邊形，∠EFG或∠FGH為AC與B

3、D所成的45°角，故S四邊形EFGH＝3×4·sin 45°＝6，故選A. [答案]　A 4．(2018·浙江金麗衢十二校二聯(lián))已知a，b，c為三條不同的直線，且a?平面α，b?平面β，α∩β＝c. ①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交； ②若a不垂直于c，則a與b一定不垂直； ③若a∥b，則必有a∥c； ④若a⊥b，a⊥c，則必有α⊥β. 其中正確的命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]?、僦腥鬭與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交，故①正確；②中平面α⊥平面β時(shí)，若b⊥c，則b⊥平面α，此時(shí)不論a，c是否垂直，均

4、有a⊥b，故②錯(cuò)誤；③中當(dāng)a∥b時(shí)，則a∥平面β，由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，故③正確；④中若b∥c，則a⊥b，a⊥c時(shí)，a與平面β不一定垂直，此時(shí)平面α與平面β也不一定垂直，故④錯(cuò)誤，所以正確命題的個(gè)數(shù)是2. [答案]　C 5．如圖，ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．A，M，O三點(diǎn)共線 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 [解析]　連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1C1，C，A四點(diǎn)共面， 所以A1C?平面ACC1A1，因?yàn)?/p>

5、M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線． [答案]　A 6．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為(　　) A. B. C. D. [解析]　如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，取線段AB的中點(diǎn)M，連接CM，MF，EF. 則MF綊AE，所以∠CFM即為所求角或所求角的補(bǔ)角．在△CFM中，MF＝CM＝a，CF＝a，根據(jù)余弦定理可得cos∠CFM＝，所以可得異面直線A

6、E與CF所成的角的余弦值為.故選C. [答案]　C 7．(2018·甘肅省蘭州市二模)已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C，C1D與底面ABCD所成的角分別為60°和45°，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為(　　) A. B. C. D. [解析]　如圖所示：∵B1B⊥平面ABCD， ∴∠BCB1是B1C與底面所成角，∴∠BCB1＝60°. ∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D與底面所成的角，∴∠CDC1＝45°. 連接A1D，A1C1，則A1D∥B1C.∴∠A1DC1或其補(bǔ)角為異面直線B1C與C1D所成的角． 不妨設(shè)BC＝1，則CB1＝

7、DA1＝2，BB1＝CC1＝＝CD， ∴C1D＝，A1C1＝2. 在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝.故選：A. [答案]　A 8.正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)．那么，正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是______邊形． [解析]　延長(zhǎng)PQ或(QP)分別交BC延長(zhǎng)線于E，交CD延長(zhǎng)線于F，取C1D1中點(diǎn)M，連接RM，連接RE交BB1于S，連接MF交DD1于N，連接NQ，PS，則六邊形PQNMRS即為正方體ABCD-A1B1C1D1的過(guò)P、Q、R三點(diǎn)的截面圖形． [答案]　六 9．如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G

8、，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿(mǎn)足條件______時(shí)，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿(mǎn)足條件__________時(shí)，四邊形EFGH是正方形． [解析]　易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿(mǎn)足EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四邊形EFGH為正方形需滿(mǎn)足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD. [答案]　AC＝BD；AC＝BD且AC⊥BD 10．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝90°，AB

9、＝2，AC＝2，PA＝2.求： (1)三棱錐P-ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． [解]　(1)S△ABC＝×2×2＝2， 故三棱錐P-ABC的體積為 V＝·S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如圖所示，取PB的中點(diǎn)E， 連接DE，AE， 則DE∥BC， 所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角． 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2， 則cos∠ADE＝＝＝. 即異面直線BC與AD所成角的余弦值為. [B能力提升練] 1．已知空間四邊形ABCD中，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列判斷：①M(fèi)N≥(AC＋BD)；

10、②MN＞(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN＜(AC＋BD)．其中正確的是(　　) A．①③ B．②④ C．② D．④ [解析]　如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接MO，NO，則OM＝AC，ON＝BD.在△MON中，MN＜OM＋ON＝(AC＋BD)，∴④正確． [答案]　D 2．(2018·廣州綜合測(cè)試二)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中點(diǎn)，過(guò)C1，B，M作正方體的截面，則這個(gè)截面的面積為(　　) A. B. C. D. [解析]　設(shè)AA1的中點(diǎn)為N，則MN∥BC1，連接MN，NB，BC1，MC1，則梯形MNBC1就是過(guò)C1，

11、B，M正方體的截面，其面積為×(＋2)×＝，故選C. [答案]　C 3．(2018·鄭州質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn)，則在△ADE翻折過(guò)程中，下面四個(gè)命題中不正確的是______． ①BM是定值； ②點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)； ③存在某個(gè)位置，使DE⊥A1C； ④存在某個(gè)位置，使MB∥平面A1DE. [解析]　取DC中點(diǎn)F，連接MF，BF，MF∥A1D 且MF＝A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠M

12、FB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，可得①②正確；由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正確；A1C在平面ABCD中的投影與AC重合，AC與DE不垂直，可得③不正確． [答案]?、? 4．(2018·南昌高三期末)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值為_(kāi)_____． [解析]　連接A1B，將△A1BC1與△CBC1同時(shí)展平形成一個(gè)平面四邊形A1BCC1，則此時(shí)對(duì)角線CP＋PA1＝A1C達(dá)到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠C

13、C1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝＝2，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1C＋BC＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.對(duì)于展開(kāi)形成的四邊形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝＝＝5. [答案]　5 5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證： (1)D、B、F、E四點(diǎn)共面； (2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線． [證明]　(1)如圖所示，因?yàn)镋F是△D1B1C1的中位線， 所以EF∥B1D1.

14、 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD. 所以EF，BD確定一個(gè)平面．即D、B、F、E四點(diǎn)共面． (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α ， 又設(shè)平面BDEF為β. 因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α. 又Q∈EF，所以Q∈β. 則Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P點(diǎn)也是α與β的公共點(diǎn)．所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，則R∈α且R∈β. 則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線． [C尖子生專(zhuān)練] 如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)．求異面直線BE與CD所成角的余弦值． [解]　如圖所示，取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF， 在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD. ∴∠BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角． 在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝， ∴BE＝. 在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝. 在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝. ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為.