（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.3 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞講義 文

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1、第三節(jié)簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 一、基礎(chǔ)知識(shí)批注——理解深一點(diǎn) 1．簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題中的“且”“或”“非”?叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞． ①用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到復(fù)合命題“p且q”，記作p∧q； ②用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到復(fù)合命題“p或q”，記作p∨q； ③對(duì)命題p的結(jié)論進(jìn)行否定，得到復(fù)合命題“非p”，記作綈p.? ?“且”的數(shù)學(xué)含義是幾個(gè)條件同時(shí)滿足，“且”在集合中的解釋為“交集”；“或”的數(shù)學(xué)含義是至少滿足一個(gè)條件，“或”在集合中的解釋為“并集”；“非”的含義是否定，“非p”只否定p的結(jié)論，“非”在集合中的解釋為“

2、補(bǔ)集”. ?“命題的否定”與“否命題”的區(qū)別 (1)命題的否定只是否定命題的結(jié)論，而否命題既否定其條件，也否定其結(jié)論． (2)命題的否定與原命題的真假總是相對(duì)立的，即一真一假，而否命題與原命題的真假無(wú)必然聯(lián)系． (2)命題真值表： p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 假 真 真 真 假 真 假 假 假 命題真假的判斷口訣 p∨q→見(jiàn)真即真，p∧q→見(jiàn)假即假，p與綈p→真假相反. 2．全稱量詞與存在量詞 量詞名稱 常見(jiàn)量詞 表示符號(hào) 全稱量詞 所有、一切、任意、全部、每一個(gè)等

3、? 存在量詞 存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等 ? 3.全稱命題與特稱命題 命題名稱 命題結(jié)構(gòu) 命題簡(jiǎn)記 全稱命題 對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立 ?x∈M，p(x) 特稱命題 存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立 ?x0∈M，p(x0) 4．全稱命題與特稱命題的否定 命題 命題的否定 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) 二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn) 含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價(jià)關(guān)系 (1)p∨q真?p，q至少一個(gè)真?(綈p)∧(綈q)假． (2)p∨q假?

4、p，q均假?(綈p)∧(綈q)真． (3)p∧q真?p，q均真?(綈p)∨(綈q)假． (4)p∧q假?p，q至少一個(gè)假?(綈p)∨(綈q)真． 三、基礎(chǔ)小題強(qiáng)化——功底牢一點(diǎn) (1)若命題p∧q為假命題，則命題p，q都是假命題．(　　) (2)命題p和綈p不可能都是真命題．(　　) (3)若命題p，q至少有一個(gè)是真命題，則p∨q是真命題．(　　) (4)若命題綈(p∧q)是假命題，則命題p，q中至多有一個(gè)是真命題．(　　) (5)“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是特稱命題．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× (二)選一選 1．命題

5、?x∈R，x2＋x≥0的否定是(　　) A．?x0∈R，x＋x0≤0　 　B．?x0∈R，x＋x0<0 C．?x∈R，x2＋x≤0 D．?x∈R，x2＋x<0 解析：選B　由全稱命題的否定是特稱命題知命題B正確． 2．已知命題p：若x>y，則－x<－y；命題q：若>，則x

6、命題，故真命題為②③. 3．下列四個(gè)命題中的真命題為(　　) A．?x0∈Z,1<4x0<3 B．?x0∈Z,5x0＋1＝0 C．?x∈R，x2－1＝0 D．?x∈R，x2＋x＋2>0 解析：選D　選項(xiàng)A中，0的解集為，命題q：關(guān)于x的不等式(x－a)(x

7、－b)<0的解集為{x|a0，ln(x＋1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2.下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q　　　　　　　　 B．p∧綈q C．綈p∧q D．綈p∧綈q (2)(2019·安徽安慶模擬)設(shè)命題p：?x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命題q：?x∈(2，＋∞)，x2>2x，則

8、下列命題為真的是(　　) A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q [解析]　(1)當(dāng)x>0時(shí)，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p為真命題；取a＝1，b＝－2，這時(shí)滿足a>b，顯然a2>b2不成立，因此q為假命題．由復(fù)合命題的真假性，知B為真命題． (2)對(duì)于命題p，當(dāng)x0＝4時(shí)，x0＋＝>3，故命題p為真命題；對(duì)于命題q，當(dāng)x＝4時(shí)，24＝42＝16，即?x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命題q為假命題，所以p∧ (綈q)為真命題，故選A. [答案]　(1)B　(2)A [解題技法]　判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的步驟

9、 [題組訓(xùn)練] 1．(2019·惠州調(diào)研)已知命題p，q，則“綈p為假命題”是“p∧q是真命題”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　充分性：若綈p為假命題，則p為真命題，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命題．必要性：p∧q是真命題，則p，q均為真命題，則綈p為假命題．所以“綈p為假命題”是“p∧q是真命題”的必要不充分條件． 2．已知命題p：“若x2－x>0，則x>1”；命題q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，則xy＝0”．下列命題是真命題的是(　　) A．p∨(綈q) B．p∨

10、q C．p∧q D．(綈p)∧(綈q) 解析：選B　若x2－x>0，則x>1或x<0，故p是假命題；若x，y∈R，x2＋y2＝0，則x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命題．則p∨q是真命題． [典例]　(1)命題?x∈R，ex－x－1≥0的否定是(　　) A．?x∈R，ex－x－1≤0　　 B．?x∈R，ex－x－1≥0 C．?x0∈R，ex0－x0－1≤0 D．?x0∈R，ex0－x0－1<0 (2)對(duì)命題?x0>0，x>2x0，下列說(shuō)法正確的是(　　) A．真命題，其否定是?x0≤0，x≤2x0 B．假命題，其否定是?x>0，x2≤2x C．真命

11、題，其否定是?x>0，x2≤2x D．真命題，其否定是?x≤0，x2≤2x [解析]　(1)改全稱量詞為存在量詞，把不等式中的大于或等于改為小于．故選D. (2)已知命題是真命題，如32＝9>8＝23，其否定是?x>0，x2≤2x.故選C. [答案]　(1)D　(2)C [解題技法] 1．全稱命題與特稱命題真假的判斷方法 命題名稱 真假 判斷方法一 判斷方法二 全稱命題 真 所有對(duì)象使命題真 否定為假 假 存在一個(gè)對(duì)象使命題假 否定為真 特稱命題 真 存在一個(gè)對(duì)象使命題真 否定為假 假 所有對(duì)象使命題假 否定為真 2.全稱命題與特稱命題

12、的否定 (1)改寫(xiě)量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)量詞進(jìn)行改寫(xiě)． (2)否定結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定． [題組訓(xùn)練] 1．命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n>x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n>x2 C．?x0∈R，?n∈N*，使得n>x D．?x0∈R，?n∈N*，使得n>x 解析：選D　?改寫(xiě)為?，?改寫(xiě)為?，n≤x2的否定是n>x2，則該命題的否定形式為“?x0∈R，?n∈N*，使得n>x”． 2．已知命題p：?n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是冪函數(shù)，

13、且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；命題q：“?x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2<3x”．則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧q C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q) 解析：選C　當(dāng)n＝1時(shí)，f(x)＝x3為冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故p是真命題，則綈p是假命題；“?x0∈R，x＋2>3x0”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命題，綈q是真命題．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均為假命題，p∧(綈q)為真命題，選C. 考點(diǎn)三　根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍 [典例]　已知p：存在x0∈R，mx

14、＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　依題意知p，q均為假命題， 當(dāng)p是假命題時(shí)，則mx2＋1>0恒成立，則有m≥0； 當(dāng)q是真命題時(shí)，則Δ＝m2－4<0，－2

15、,0) 2.若本例將條件“p或q為假命題”變?yōu)椤皃且q為假，p或q為真”，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：若p且q為假，p或q為真，則p，q一真一假． 當(dāng)p真q假時(shí)所以m≤－2； 當(dāng)p假q真時(shí)所以0≤m<2. 所以m的取值范圍為(－∞，－2]∪[0,2)． 答案：(－∞，－2]∪[0,2) 3.若本例將條件q變?yōu)椋捍嬖趚0∈R，x＋mx0＋1<0，其他條件不變，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：依題意，當(dāng)q是真命題時(shí)，Δ＝m2－4>0， 所以m>2或m<－2.由得0≤m≤2， 所以m的取值范圍為[0,2]． 答案：[0,2] [解

16、題技法] 根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍的步驟 (1)求出當(dāng)命題p，q為真命題時(shí)所含參數(shù)的取值范圍； (2)根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷命題p，q的真假性； (3)根據(jù)命題p，q的真假情況，利用集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，求解參數(shù)的取值范圍． 1．(2019·西安摸底)命題“?x>0，>0”的否定是(　　) A．?x0≥0，≤0　　　 　B．?x0>0,0≤x0≤1 C．?x>0，≤0 D．?x<0,0≤x≤1 解析：選B　∵>0，∴x<0或x>1，∴>0的否定是0≤x≤1， ∴命題的否定是“?x0>0,0≤x0≤1”． 2．下列命題中，假命題的是(　　) A．?x∈R

17、,21－x>0 B．?a0∈R，y＝xa0的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 C．函數(shù)y＝xa的圖象經(jīng)過(guò)第四象限 D．直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝相切 解析：選C　對(duì)于A，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為真命題；對(duì)于B，當(dāng)a＝2時(shí)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；對(duì)于C，當(dāng)x>0時(shí)，y>0恒成立，從而圖象不過(guò)第四象限，故為假命題；對(duì)于D，因?yàn)閳A心(0,0)到直線x＋y＋1＝0的距離等于，等于圓的半徑，命題成立． 3．(2019·陜西質(zhì)檢)已知命題p：對(duì)任意的x∈R，總有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．(綈p)∧(綈q) C．(綈p)∧q

18、 D．p∧(綈q) 解析：選D　由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知命題p為真命題．易知x>1是x>2的必要不充分條件，所以命題q為假命題．由復(fù)合命題真值表可知p∧(綈q)為真命題． 4．(2018·湘東五校聯(lián)考)下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分條件 B．命題p：?x∈R,2x>0，則綈p：?x0∈R,2x0<0 C．命題“若a>b>0，則<”的逆命題是真命題 D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要條件 解析：選A　對(duì)于選項(xiàng)A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，全稱命題的否定是特稱命題，所以命題p：?x∈R,2x>0的否定是綈

19、p：?x0∈R,2x0≤0，故B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C，其逆命題：若<，則a>b>0，可舉反例，如a＝－1，b＝1，顯然是假命題，故C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D錯(cuò)誤．故選A. 5．(2019·唐山五校聯(lián)考)已知命題p：“a>b”是“2a>2b”的充要條件；命題q：?x0∈R，|x0＋1|≤x0，則(　　) A．(綈p)∨q為真命題 B．p∧(綈q)為假命題 C．p∧q為真命題 D．p∨q為真命題 解析：選D　由題意可知命題p為真命題．因?yàn)閨x＋1|≤x的解集為空集，所以命題q為假命題，所以p∨q為真命題． 6．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

20、　　) A．命題“若x2－5x＋6＝0，則x＝2”的逆否命題是“若x≠2，則x2－5x＋6≠0” B．若命題p：存在x0∈R，x＋x0＋1<0，則綈p：對(duì)任意x∈R，x2＋x＋1≥0 C．若x，y∈R，則“x＝y(tǒng)”是“xy≥2”的充要條件 D．已知命題p和q，若“p或q”為假命題，則命題p與q中必一真一假 解析：選D　由原命題與逆否命題的關(guān)系，知A正確；由特稱命題的否定知B正確；由xy≥2?4xy≥(x＋y)2?4xy≥x2＋y2＋2xy?(x－y)2≤0?x＝y(tǒng)，知C正確；對(duì)于D，命題“p或q”為假命題，則命題p與q均為假命題，所以D不正確． 7．(2019·長(zhǎng)沙模擬)已知命題“

21、?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(4，＋∞) B．(0,4] C．(－∞，4] D．[0,4) 解析：選C　當(dāng)原命題為真命題時(shí)，a>0且Δ<0，所以a>4，故當(dāng)原命題為假命題時(shí)，a≤4. 8．下列命題為假命題的是(　　) A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0 B．“φ＝”是“函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)”的充分不必要條件 C．?x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立 D．已知兩個(gè)平面α，β，若兩條異面直線m，n滿足m?α，n?β且m∥β，n∥α，則α∥β 解析：選C　對(duì)于A選項(xiàng)，令x＝1，y＝，則ln x＋

22、ln y＝－1<0成立，故排除A.對(duì)于B選項(xiàng)，“φ＝”是“函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)”的充分不必要條件，正確，故排除B.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)，已知兩個(gè)平面α，β，若兩條異面直線m，n滿足m?α，n?β且m∥β，n∥α，可過(guò)n作一個(gè)平面與平面α相交于直線n′.由線面平行的性質(zhì)定理可得n′∥n，再由線面平行的判定定理可得n′∥β，接下來(lái)由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D，選C. 9．若命題p的否定是“?x∈(0，＋∞)，＞x＋1”，則命題p可寫(xiě)為_(kāi)______________

23、_________． 解析：因?yàn)閜是綈p的否定，所以只需將全稱量詞變?yōu)樘胤Q量詞，再對(duì)結(jié)論否定即可． 答案：?x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1 10．已知命題p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”與“綈q”同時(shí)為假命題，則 x＝________. 解析：若p為真，則x≥－1或x≤－3， 因?yàn)椤敖恞”為假，則q為真，即x∈Z， 又因?yàn)椤皃∧q”為假，所以p為假，故－3＜x＜－1， 由題意，得x＝－2. 答案：－2 11．已知p：a<0，q：a2>a，則綈p是綈q的________條件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)． 解析：由題意得綈p

24、：a≥0，綈q：a2≤a，即0≤a≤1.因?yàn)閧a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以綈p是綈q的必要不充分條件． 答案：必要不充分 12．已知命題p：a2≥0(a∈R)，命題q：函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列命題： ①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨q. 其中為假命題的序號(hào)為_(kāi)_______． 解析：顯然命題p為真命題，綈p為假命題． ∵f(x)＝x2－x＝2－， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增． ∴命題q為假命題，綈q為真命題． ∴p∨q為真命題，p∧q為假命題，(綈p)∧(綈q)為假命題，(綈p)∨q為假命題． 答案：②③④ 13．設(shè)t∈R，已知命題p：函數(shù)f(x)＝x2－2tx＋1有零點(diǎn)；命題q：?x∈[1，＋∞)， －x≤4t2－1. (1)當(dāng)t＝1時(shí)，判斷命題q的真假； (2)若p∨q為假命題，求t的取值范圍． 解：(1)當(dāng)t＝1時(shí)，max＝0，－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命題q為真命題． (2)若p∨q為假命題，則p，q都是假命題． 當(dāng)p為假命題時(shí)，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1