（江蘇專版）2019版高考數(shù)學大一輪復(fù)習 第六章 數(shù)列 第32講 數(shù)列的概念學案 理

第32講　數(shù)列的概念 考試要求　1.數(shù)列的概念及數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(A級要求)；2.數(shù)列的幾種簡單表示方法(列表、圖象、通項公式)(A級要求). 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達.(　　) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.(　　) (3)1，1，1，1…，不能構(gòu)成一個數(shù)列.(　　) (4)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(　　) (5)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2.(教材改編)數(shù)列1，2，，，，…中的第26項為________. 解析　∵a1＝1＝，a2＝2＝， a3＝，a4＝，a5＝， ∴an＝， ∴a26＝＝＝2. 答案　2 3.(必修5P34習題7改編)下列四個圖形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為________. 解析　由圖可知前4個圖中著色三角形的個數(shù)分別為1，3，32，33，…，猜想第n個圖的著色三角形的個數(shù)為3n－1，所以這個數(shù)列的通項公式為an＝3n－1. 答案　an＝3n－1 4.(教材改編)已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，則a16＝________. 解析　由題意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，a16＝a3×5＋1＝a1＝. 答案　 5.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝________. 解析　當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， 故an＝ 答案　 知 識 梳 理 1.數(shù)列的定義 按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項. 2.數(shù)列的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項數(shù)分類 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 按項與項間的大小關(guān)系分類 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 3.數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法. 4.數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式. 5.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an， 則an＝ 6.在數(shù)列{an}中，①若an最大，則 ②若an最小，則這是求數(shù)列{an}中最大(小)項的一種重要方法. 7.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列. 考點一　數(shù)列的通項 【例1】 (1)(2018·南京模擬)數(shù)列1，3，6，10，…的通項公式是______________. (2)數(shù)列{an}的前4項是，1，，，則這個數(shù)列的通項公式是an＝________. (3)根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式. ①－1，7，－13，19，…； ②1，0，，0，，0，，…； ③0.9，0.99，0.999，0.999 9，…. 解析　(1)觀察數(shù)列1，3，6，10，…可以發(fā)現(xiàn) 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， … 第n項為1＋2＋3＋4＋…＋n＝. ∴an＝. (2)數(shù)列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝. 答案　(1)an＝　(2) (3)解?、贁?shù)列中各項的符號可通過(－1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5). ②分母依次為1，2，3，4，5，6，7，…，分子依次為1，0，1，0，1，0，1，…，把數(shù)列改寫成，，，，，，，…，因此數(shù)列的一個通項公式為an＝. ③數(shù)列可改寫成1－，1－，1－，1－，…，可得該數(shù)列的一個通項公式為an＝1－. 規(guī)律方法　由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略 (1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法. (2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理. 【訓(xùn)練1】 根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式. (1)0.8，0.88，0.888，…； (2)，，－，，－，，…. (3)－，，－，，… 解　(1)數(shù)列變?yōu)椋?，，…? 故an＝. (2)各項的分母分別為21，22，23，24，…，易看出第2，3，4項的絕對值的分子分別比分母小3. 因此把第1項變?yōu)椋? 原數(shù)列化為－，，－，，…， 故an＝(－1)n. (3)首先考查數(shù)列各項的絕對值，，，，…，分子依次是12，22，32，42，…，而分母中后一個因數(shù)比前一個因數(shù)大2，而前一個因數(shù)依次為2，5，8，11，…，構(gòu)成一個等差數(shù)列，其第n項為3n－1，故可得通項公式為an＝ (－1)n·. 考點二　由an與Sn的關(guān)系求通項公式 【例2】 已知下列數(shù)列{an}的前n項和Sn，求{an}的通項公式. (1)a1＝1，Sn＝an；(2)Sn＝3n＋b；(3)Sn＝an＋. 解　(1)由題設(shè)知a1＝1. 當n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1. 于是 a1＝1， a2＝a1， a3＝a2， …… an－1＝an－2， an＝an－1. 將以上n個等式兩端分別相乘， 整理得an＝. 顯然，當n＝1時也滿足上式. 綜上可知，{an}的通項公式an＝. (2)a1＝S1＝3＋b， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b) ＝2·3n－1. 當b＝－1時，a1適合此等式； 當b≠－1時，a1不適合此等式. ∴當b＝－1時，an＝2·3n－1； 當b≠－1時，an＝ (3)由Sn＝an＋，得當n≥2時，Sn－1＝an－1＋， 兩式相減，得an＝an－an－1， ∴當n≥2時，an＝－2an－1，即＝－2. 又n＝1時，S1＝a1＝a1＋，a1＝1， ∴an＝(－2)n－1. 規(guī)律方法　已知Sn，求an的步驟 (1)當n＝1時，a1＝S1； (2)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1；(3)對n＝1時的情況進行檢驗，若適合n≥2的通項則可以合并；若不適合則寫成分段函數(shù)形式.這種轉(zhuǎn)化是遇到這種題型的基本思路，要重點掌握. 【訓(xùn)練2】 (1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項公式為________. (2)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋…＋nan＝4－(n∈N*). ①求a3的值； ②求數(shù)列{an}前n項和Tn. (1)解析　當n＝1時，a1＝S1＝－1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， ∴an＝ 答案　an＝ (2)解?、儆深}意得3a3＝(a1＋2a2＋3a3)－(a1＋2a2)＝4－－＝，所以a3＝. ②由題設(shè)得當n≥2時，nan＝(a1＋2a2＋…＋nan)－[a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1]＝4－－＝，所以an＝，又a1＝4－＝1也適合此式，所以an＝. 所以數(shù)列{an}是首項為1、公比為的等比數(shù)列，故Tn＝＝2－. 考點三　由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式 【例3】 在數(shù)列{an}中， (1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項公式an＝________. (2)(一題多解)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＝an－1(n≥2)，則通項公式an＝________. (3)an＋1＝2an＋3，a1＝1，則通項公式an＝________. 解析　(1)由題意得，當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1. 又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1. (2)法一　因為an＝an－1(n≥2)， 所以an－1＝·an－2，…，a2＝a1， 以上(n－1)個式子的等號兩端分別相乘得an＝a1···…·＝＝. 法二　因為an＝···…···a1＝···…·1＝. (3)設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3. 故an＋1＋3＝2(an＋3). 令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4， 且＝＝2. 所以{bn}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列. ∴bn＝4·2n－1＝2n＋1， ∴an＝2n＋1－3. 答案　(1)＋1　(2)　(3)2n＋1－3 規(guī)律方法　(1)形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項，保留多少項. (2)形如an＋1＝an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通項. (3)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式可以化為(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關(guān)鍵. 【訓(xùn)練3】 (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. (2)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，則通項公式an＝________. 解析　(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0， 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)， ∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝3×2n－1， ∴n≥2時，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3， 將以上各式累加得 an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)， ∴an＝3×2n－1－2(當n＝1時，也滿足). (2)原遞推公式可化為an＋1＝an＋－， 則a2＝a1＋－，a3＝a2＋－， a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－， an＝an－1＋－， 逐項相加得，an＝a1＋1－，故an＝4－. 答案　(1)3×2n－1－2　(2)4－ 考點四　數(shù)列的性質(zhì) 【例4】 (1)數(shù)列{an}滿足an＋1＝，a8＝2，則a1＝__________. (2)已知an＝，那么數(shù)列{an}是________數(shù)列(填“遞減”“遞增”或“?！?. (3)在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝(n∈N*). ①求證：數(shù)列{a2n}與{a2n－1}(n∈N*)都是等比數(shù)列； ②若數(shù)列{an}的前2n項和為T2n，令bn＝(3－T2n)·n·(n＋1)，求數(shù)列{bn}的最大項. 解析　(1)∵an＋1＝， ∴an＋1＝＝＝ ＝＝1－ ＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，n≥3， ∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3. ∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2. 而a2＝，∴a1＝. (2)an＝1－，將an看作關(guān)于n的函數(shù)，n∈N*，易知{an}是遞增數(shù)列. 答案　(1)　(2)遞增 (3)①證明　因為anan＋1＝，an＋1an＋2＝， 所以＝. 又a1＝1，a2＝，所以數(shù)列a1，a3，…，a2n－1，…，是以1為首項，為公比的等比數(shù)列； 數(shù)列a2，a4，…，a2n，…，是以為首項，為公比的等比數(shù)列. ②解　由(1)可得T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－3， 所以bn＝3n(n＋1)，bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)， 所以bn＋1－bn＝3(n＋1) ＝3(n＋1)(2－n)， 所以b1＜b2＝b3＞b4＞…＞bn＞…， 所以(bn)max＝b2＝b3＝. 規(guī)律方法　(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法 ①用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列. ②用作商比較法，根據(jù)(an＞0或an＜0)與1的大小關(guān)系進行判斷. ③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷. (2)解決數(shù)列周期性問題的方法 先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值. (3)數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解. 【訓(xùn)練4】 (1)(2018·哈爾濱模擬)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝a1＝，則數(shù)列的第2 015項為________. (2)設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項的值是________. 解析　(1)由已知可得a2＝2×－1＝， a3＝2×＝， a4＝2×＝， a5＝2×－1＝， ∴{an}為周期數(shù)列且T＝4， ∴a2 015＝a503×4＋3＝a3＝. (2)∵an＝－3＋，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當n＝2或3時，an最大，最大值為0. 答案　(1)　(2)0 一、必做題 1.數(shù)列，－，，－，…的第10項是________. 解析　所給數(shù)列呈現(xiàn)分數(shù)形式，且正負相間，求通項公式時，我們可以把每一部分進行分解：符號、分母、分子.很容易歸納出數(shù)列{an}的通項公式 an＝(－1)n＋1·，故a10＝－. 答案?。? 2.(一題多解)若an＝n2＋λn＋3(其中λ為實常數(shù))，n∈N*，且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是________. 解析　法一　(函數(shù)觀點)因為{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞n2＋λn＋3，化簡為λ＞－2n－1對一切n∈N*都成立，所以λ＞－3. 故實數(shù)λ的取值范圍是(－3，＋∞). 法二　(數(shù)形結(jié)合法)因為{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以a1＜a2，要保證a1＜a2成立，二次函數(shù)f(x)＝x2＋λx＋3的對稱軸x＝－應(yīng)位于1和2中點的左側(cè)，即－＜，亦即λ＞－3，故實數(shù)λ的取值范圍為(－3，＋∞). 答案　(－3，＋∞) 3.已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式是________. 解析　∵an＝n(an＋1－an)，∴＝， ∴an＝···…···a1 ＝···…···1＝n. 答案　an＝n 4.若數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝3，an＝(n≥3且n∈N*)，則a2 018＝________. 解析　由已知a3＝＝，a4＝＝， a5＝＝，a6＝＝， a7＝＝2，a8＝＝3， ∴數(shù)列{an}具有周期性，T＝6， ∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3. 答案　3 5.數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21＝________. 解析　∵an＋an＋1＝，a2＝2， ∴an＝ ∴S21＝11×＋10×2＝. 答案　 6.數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則a7＝________. 解析　由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2， 能夠計算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1. 答案　1 7.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－n，則an＝________. 解析　當n＝1時，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)， 即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)， ∴數(shù)列{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1. 答案　2n－1 8.(2017·無錫期末)對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{bn}滿足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1 (n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，則a1＝________. 解析　因為b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8. 答案　8 9.已知Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn＝a＋an(n∈N*). (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 解　(1)由Sn＝a＋an (n∈N*)可得 a1＝a＋a1，解得a1＝1， S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2， 同理，a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝＋a，① 當n≥2時，Sn－1＝＋a，② ①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1， 故數(shù)列{an}為首項為1，公差為1的等差數(shù)列， 故an＝n. 10.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝，且前n項和為Tn，設(shè)cn＝T2n＋1－Tn. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)判斷數(shù)列{cn}的增減性. 解　(1)∵a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2). ∴bn＝ (2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1 ＝＋＋…＋， ∴cn＋1－cn＝＋－ ＝－＝<0， ∴{cn}是遞減數(shù)列. 二、選做題 11.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則該數(shù)列的前2 019項的乘積a1·a2·a3·…·a2 019＝________. 解析　由題意可得a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1， ∴數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列，而2 019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1， ∴前2 019項的乘積為1504·a1a2a3＝3. 答案　3 12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍. 解　(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n). 即bn＋1＝2bn.又b1＝S1－3＝a－3， 因此，所求通項公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2 ＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2， 當n≥2時，an＋1≥an?12＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，3)∪(3，＋∞). 14