（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 教材知識 重點再現(xiàn) 回顧5 數(shù)列學(xué)案 文 新人教A版

回顧5　數(shù)　列 [必記知識] 等差數(shù)列、等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n項和 Sn＝ ＝na1＋d (1)q≠1，Sn＝ ＝； (2)q＝1，Sn＝na1 等差、等比數(shù)列的判斷方法 (1)等差數(shù)列的判斷方法 ①定義法：an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． ②通項公式法：an＝a1＋(n－1)d(其中a1，d為常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列． ③等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． ④前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (2)等比數(shù)列的判斷方法 ①定義法：＝q(q為常數(shù)且q≠0，n∈N*)或＝q(q為常數(shù)且q≠0，n≥2)?{an}為等比數(shù)列． ②等比中項法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列． ③通項公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q為非零常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列． [必會結(jié)論] 等差數(shù)列的重要結(jié)論 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列． (4)＝n＋是關(guān)于n的一次函數(shù)或常函數(shù)，數(shù)列也是等差數(shù)列． (5)Sn＝＝＝＝…. (6)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝. (7)若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)2m－1，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. 等比數(shù)列的重要結(jié)論 (1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)． (3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…，成等比數(shù)列(m∈N*)． (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…，成等比數(shù)列(n≥2，且n∈N*，k≥2，k∈N*，q≠－1)． (5)若等比數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N*)，公比為q，奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，則＝q. (6){an}，{bn}成等比數(shù)列，則{λan}，{}，{anbn}，{}成等比數(shù)列(λ≠0，n∈N*)． (7)通項公式an＝a1qn－1＝·qn，從函數(shù)的角度來看，它可以看作是一個常數(shù)與一個關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的積，其圖象是指數(shù)函數(shù)圖象上一群孤立的點． (8)與等差中項不同，只有同號的兩個數(shù)才能有等比中項；兩個同號的數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)． [必練習(xí)題] 1．已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且a4是a2與a8的等比中項，則an＝(　　) A．－2n　　　　　　　　 B．2n C．2n－1 D．2n＋1 解析：選B.由題意得等差數(shù)列{an}的公差d＝2，所以an＝a1＋2(n－1)，因為a4是a2與a8的等比中項，所以a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，解得a1＝2，所以an＝2n，故選B. 2．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前4項的和為9，積為，則前4項倒數(shù)的和為(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D.設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，則第2，3，4項分別為a1q，a1q2，a1q3，依題意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝?aq3＝，兩式相除得＝＋＋＋＝2. 3．已知公比q≠1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S3＝3a3，則S5＝(　　) A．1 B．5 C. D. 解析：選D.由題意得＝3a1q2，解得q＝－或q＝1(舍)，所以S5＝＝＝，選D. 4．(2019·江西省五校協(xié)作體試題)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若an＋Sn＝2n，2bn＝2an＋2－an＋1，則＋＋…＋＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D.因為an＋Sn＝2n①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1②，②－①得2an＋1－an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋1，又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，＝＝－，則＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故選D. 5．(2019·濟(jì)南市模擬考試)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝2log2an－11，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的最小值及取得最小值時n的值． 解：(1)當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝2a1－2，解得a1＝2， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1， 所以an＝2an－1， 所以{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列， 所以an＝2n.當(dāng)n＝1時也滿足此式． (2)bn＝2log2an－11＝2log22n－11＝2n－11， 所以{bn}為等差數(shù)列， 所以Tn＝＝＝n2－10n， 所以當(dāng)n＝5時，Tn有最小值T5＝－25. 6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2，記bn＝anSn(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)因為Sn＝2n＋1－2，所以當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝21＋1－2＝2； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n. 又a1＝2＝21，所以an＝2n. (2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×－＝·4n＋1－2n＋2＋. - 4 -