（魯京遼）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.4 投影與直觀圖學(xué)案 新人教B版必修2

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1、 1.1.4　投影與直觀圖 學(xué)習(xí)目標(biāo)　理解直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則，會(huì)畫(huà)常見(jiàn)幾何體的直觀圖． 知識(shí)點(diǎn)　直觀圖與斜二測(cè)畫(huà)法 (1)直觀圖 用來(lái)表示空間圖形的平面圖形． (2)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則 ①在已知模型所在的空間中取水平平面，作互相垂直的Ox，Oy軸，再作Oz軸，使∠x(chóng)Oz＝90°，且∠yOz＝90°. ②畫(huà)直觀圖時(shí)，把Ox，Oy，Oz畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°(或135°)，∠x(chóng)′O′z′＝90°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面． ③已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線(xiàn)段

2、，并使它們和所畫(huà)坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線(xiàn)段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同． ④已知圖形中平行于x軸和z軸的線(xiàn)段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半． ⑤畫(huà)圖完成后，擦去作為輔助線(xiàn)的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖． 1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中，∠A＝45°.(　×　) 2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀圖時(shí)，平行的線(xiàn)段在直觀圖中仍平行，且長(zhǎng)度不變． (　×　) 3．在斜二測(cè)畫(huà)法中平行于y軸的線(xiàn)段在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變．(　×　) 類(lèi)型一　直觀圖的畫(huà)法 例1　畫(huà)出如圖水平放

3、置的直角梯形的直觀圖． 解　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線(xiàn)為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫(huà)出相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，如圖(1)(2)所示． (2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝OD，過(guò)點(diǎn)D′作x′軸的平行線(xiàn)l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖(2)． (3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)． 　　 引申探究 若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？ 解　畫(huà)法：(1)如圖所示，取AB所在直線(xiàn)為x軸，AB中

4、點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系． (2)畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝OE，以E′為中點(diǎn)畫(huà)出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD. (3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖． 反思與感悟　(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫(huà)直觀圖非常簡(jiǎn)便． (2)在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn)．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段可以通過(guò)作平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段來(lái)作出其對(duì)

5、應(yīng)線(xiàn)段．關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)邊長(zhǎng)為4 cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖． 解　①如圖a所示，以BC邊所在的直線(xiàn)為x軸，以BC邊上的高線(xiàn)AO所在的直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系． ②畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°. 在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′軸上截取O′A′＝OA＝ cm，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖b所示． (2)畫(huà)一個(gè)正四棱錐的直觀圖(尺寸自定)． 解?、佼?huà)軸．如圖c，畫(huà)

6、x軸、y軸、z軸，使∠x(chóng)Oy＝45°(或135°)，∠x(chóng)Oz＝90°. ②畫(huà)底面．以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫(huà)出正方形的直觀圖ABCD. ③畫(huà)頂點(diǎn)．在Oz軸上截取OS，使OS等于已知正四棱錐的高． ④畫(huà)棱．連接SA，SB，SC，SD，擦去輔助線(xiàn)(坐標(biāo)軸)，得到正四棱錐S－ABCD的直觀圖，如圖d所示． 類(lèi)型二　直觀圖的還原與計(jì)算 命題角度1　由直觀圖還原平面圖形 例2　如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，將其還原成平面圖形． 解?、佼?huà)出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′； ②過(guò)B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于

7、點(diǎn)D′，在OA上取OD＝O′D′，過(guò)D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′； ③連接AB，BC，得△ABC. 則△ABC即為△A′B′C′對(duì)應(yīng)的平面圖形，如圖所示． 反思與感悟　由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵 (1)平行于x′軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線(xiàn)段擴(kuò)大為原來(lái)的2倍． (2)對(duì)于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作x′軸，y′軸平行線(xiàn)變換確定其在xOy中的位置． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，則原圖形是________形． 答案　菱 解析　如圖所示，在原圖形OABC

8、中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝＝＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形． 命題角度2　原圖形與直觀圖的面積的計(jì)算 例3　如圖所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫(huà)出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積． 解　如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. 在過(guò)點(diǎn)D的y軸的平行線(xiàn)上截取DA＝2D1A1＝2. 在過(guò)點(diǎn)A的x軸的平行線(xiàn)上截取AB＝A1B1＝2. 連接BC，

9、即得到了原圖形． 由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長(zhǎng)度AD＝2， 所以面積為S＝×2＝5. 反思與感悟　(1)由原圖形求直觀圖的面積，關(guān)鍵是掌握斜二測(cè)畫(huà)法，明確原來(lái)實(shí)際圖形中的高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線(xiàn)成45°(或135°)角且長(zhǎng)度為原來(lái)一半的線(xiàn)段，這樣可得出所求圖形相應(yīng)的高． (2)若一個(gè)平面多邊形的面積為S，它的直觀圖面積為S′，則S′＝S. 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是(　　) A. B. C. D．2 答

10、案　C 解析　直觀圖中等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1，因此面積為，又直觀圖與原平面圖形面積比為∶4，所以原圖形的面積為，故選C. 1．已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積為(　　) A．16 B．64 C．16或64 D．無(wú)法確定 答案　C 解析　等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64. 2．利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出邊長(zhǎng)為3 cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的(　　) 答案　C 解析　正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為2∶1. 3．有一個(gè)長(zhǎng)為5 cm，寬為4 cm的矩形，則

11、其用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀圖的面積為_(kāi)_______cm2. 考點(diǎn)　平面圖形的直觀圖 題點(diǎn)　與直觀圖有關(guān)的計(jì)算 答案　5 解析　該矩形直觀圖的面積為×5×4＝5. 4.畫(huà)出水平放置的四邊形OBCD(如圖所示)的直觀圖． 解　(1)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，如圖①所示，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，如圖②所示． (2)如圖②所示，在x′軸上取點(diǎn)B′，E′， 使得O′B′＝OB，O′E′＝OE； 在y′軸上取一點(diǎn)D， 使得O′D′＝OD； 過(guò)E′作E′C′∥y′軸， 使E′C′＝EC. 連接D′C′，B′C′. (3)擦去坐標(biāo)軸及B′E′

12、，E′C′，則所求四邊形OBCD的直觀圖如圖③所示． 1．畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點(diǎn)．確定點(diǎn)的位置，可采用直角坐標(biāo)系．建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，并讓頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)上． 2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)圖時(shí)要緊緊把握?。骸耙恍薄?、“二測(cè)”兩點(diǎn)： (1)一斜：平面圖形中互相垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫(huà)成O′x′、O′y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°或135°. (2)二測(cè)：在直觀圖中平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度取一半，記為“橫不變，縱折半”． 3．中心投影的投射線(xiàn)相交于一點(diǎn)，中心投影后，圖形與原

13、圖形相比雖然相差較大，但直觀性強(qiáng)，看起來(lái)與人的視覺(jué)效果一致．若一個(gè)平面圖形所在的平面與投射面平行，則中心投影后得到的圖形與原圖形相似． 一、選擇題 1．給出以下說(shuō)法，其中不正確的是________． ①水平放置的矩形的直觀圖可能是梯形； ②水平放置的梯形的直觀圖可能是平行四邊形； ③水平放置的平行四邊形的直觀圖可能是矩形； ④水平放置的菱形的直觀圖可能是平行四邊形． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 答案　A 解析　由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可知①②不正確，故選A. 2．根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則畫(huà)直觀圖時(shí)，把Ox，Oy，Oz軸畫(huà)成對(duì)應(yīng)的O′x′，O′y′，O′z′，則

14、∠x(chóng)′O′y′與∠x(chóng)′O′z′的度數(shù)分別為(　　) A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 考點(diǎn)　平面圖形的直觀圖 題點(diǎn)　平面圖形的直觀圖 答案　D 解析　根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，∠x(chóng)′O′y′的度數(shù)應(yīng)為45°或135°，∠x(chóng)′O′z′指的是畫(huà)立體圖形時(shí)的橫軸與縱軸的夾角，所以度數(shù)為90°. 3．下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是(　　) 答案　C 解析　可分別畫(huà)出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論． 4．如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的(　　)

15、 答案　C 解析　設(shè)直觀圖中與x′軸和y′軸的交點(diǎn)分別為A′和B′，根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法在直角坐標(biāo)系中先做出對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)和B點(diǎn)，再由平行于x′軸的線(xiàn)段在原圖中平行于x軸，且長(zhǎng)度不變，作出原圖可得C. 5．已知一個(gè)建筑物上部為四棱錐，下部為長(zhǎng)方體，且四棱錐的底面與長(zhǎng)方體的上底面尺寸一樣，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為20 m,5 m,10 m，四棱錐的高為8 m．如果按1∶500的比例畫(huà)出它的直觀圖，那么在直觀圖中，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為(　　) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm C．4 cm,0.5 cm,2 cm,0

16、.8 cm D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm 答案　B 解析　由比例尺可知，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再結(jié)合直觀圖，圖形的尺寸應(yīng)為4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm. 6．關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法所得直觀圖，以下說(shuō)法正確的是(　　) A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形 B．正方形的直觀圖為平行四邊形 C．梯形的直觀圖不是梯形 D．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形 答案　B 解析　由直觀圖的性質(zhì)知B正確． 7．如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的形狀是(　

17、　) 考點(diǎn)　平面圖形的直觀圖 題點(diǎn)　由直觀圖還原平面圖形 答案　A 解析　直觀圖中正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，故在平面圖形中平行四邊形的高為2，只有A項(xiàng)滿(mǎn)足條件，故A正確． 8.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，邊BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形A′B′C′D′的面積為(　　) A．4 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．8 cm2 答案　C 解析　依題意可知，∠BAD＝45°，則原平面圖形A′B′C′D′為直角梯形，上，下底邊分別為B′C′，A′D′，且長(zhǎng)度分別與BC，AD相等，高為A′B

18、′，且長(zhǎng)度為梯形ABCD高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2. 二、填空題 9．在斜二測(cè)畫(huà)法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀圖中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M′，則點(diǎn)M′的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 答案　(4,2) 解析　由直觀圖畫(huà)法“橫不變，縱折半”可得點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(4,2)． 10．如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出這個(gè)梯形的直觀圖O′A′B′C′，則直觀圖梯形的高為_(kāi)_______ cm. 答案　 解析　作CD，BE⊥OA于點(diǎn)D，E， 則OD＝EA＝＝2， ∴OD＝CD＝2， ∴直觀圖中梯形的高為×2×＝

19、(cm)． 11.如圖所示，四邊形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(2,4)，B(4,0)，C(4，－2)，則該圖形直觀圖的面積為_(kāi)_______． 答案　3 解析　由S原＝×4×(4＋2)＝12， 則S直＝S原＝×12＝3. 三、解答題 12．如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，試畫(huà)出它的直觀圖． 解　畫(huà)法： (1)如圖a所示，在梯形ABCD中， 以邊AB所在的直線(xiàn)為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)， 建立平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖b所示， 畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.

20、(2)在圖a中，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E.在圖b中， 在x′軸上取A′B′＝AB＝4 cm， A′E′＝AE＝≈2.598 cm；過(guò)點(diǎn)E′作E′D′∥y′軸， 使E′D′＝ED＝×＝0.75 cm， 再過(guò)點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC＝2 cm. (3)連接A′D′、B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線(xiàn)，如圖c所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖． 13．畫(huà)出一個(gè)正三棱臺(tái)的直觀圖．(尺寸：上、下底面邊長(zhǎng)分別為1 cm,2 cm，高為2 cm) 解　(1)作水平放置的下底面等邊三角形的直觀圖△ABC，其中O為△ABC的重心，BC＝2 cm

21、，線(xiàn)段AO與x軸的夾角為45°，AO＝2OD. (2)過(guò)O作z軸，使∠x(chóng)Oz＝90°，在z軸上截取OO′＝2 cm，作上底面等邊三角形的直觀圖△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，線(xiàn)段A′O′與x軸的夾角為45°，A′O′＝2O′D′，連接AA′，BB′，CC′，得正三棱臺(tái)的直觀圖． 四、探究與拓展 14.如圖所示為水平放置的△ABO的直觀圖△A′B′O′，由圖判斷在原三角形中，AB，BO，BD，OD由小到大的順序是________________． 答案　OD