2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-1教案：第3章 實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義 參考學(xué)案

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1、 4.2.1 2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-1教案：第3章 實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義 參考學(xué)案 一、學(xué)習(xí)要求： 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 二、學(xué)習(xí)目標(biāo) 能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法求解有關(guān)利潤(rùn)最大，用料最省，效率最高等最優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際生活問(wèn)題中的作用。 三、重點(diǎn)難點(diǎn) 用導(dǎo)數(shù)方法解決實(shí)際生活中的問(wèn)題 四、要點(diǎn)梳理 解應(yīng)用題的基本程序是： 讀題 建模 求解 反饋 （文字語(yǔ)言） （數(shù)學(xué)語(yǔ)言） （導(dǎo)學(xué)應(yīng)用） （檢驗(yàn)作答） 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟: ① 分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

2、，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系；注意的范圍。 ② 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和函數(shù)的最值；給出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答。 ③ 把數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的答案。 五、基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1． 周長(zhǎng)為的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_(kāi)_______。 2 某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）是產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)：，生產(chǎn)總成本（萬(wàn)元）也是產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)：，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品________臺(tái)。 3 一輪船以千米/時(shí)的速度航行，每小時(shí)用煤噸，千米/時(shí)，才能使輪船航行每千米用的煤最少。 4 設(shè)正三棱柱的體積為，那么其表面積最小時(shí)的底面邊長(zhǎng)為_(kāi)_______。 5 某公司

3、生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益與年產(chǎn)量的關(guān)系是： ，則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是_______ 個(gè)單位。 六、典型例題 例1 用長(zhǎng)為18的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為，問(wèn)：該長(zhǎng)方體長(zhǎng)，寬，高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ 例2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線分別交軸正半軸，軸正半軸于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，的面積為 （1） 求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （2） 求的最小值以及相應(yīng)的直線的方程。 變式：有一隧道既是交通擁擠地段又是事故多發(fā)地段。為了保證安全，交通部門(mén)規(guī)定：隧道內(nèi)的車(chē)距正比于

4、車(chē)速的平方與自身長(zhǎng)的積，且車(chē)距不得小于半個(gè)車(chē)身長(zhǎng)。而當(dāng)車(chē)速為60時(shí)，車(chē)距為個(gè)車(chē)身長(zhǎng)。在交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定車(chē)速為多少時(shí)可以使隧道的車(chē)流量最大。 例3 某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A，B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為。 （1） 按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式： ①設(shè)將表示成的函數(shù)關(guān)系式； ②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式。 A B C D P O （2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式確定污水處理廠的位置，使三條

5、排污管道總長(zhǎng)度最短。 七、反思感悟 八、千思百練： 1． 有一長(zhǎng)為16米的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則此矩形場(chǎng)地的最大面積為_(kāi)_______。 2 一個(gè)膨脹中的球形氣球，其體積的膨脹率為，則其半徑增至?xí)r，半徑的增長(zhǎng)率是________。 3 容積為256升的方底無(wú)蓋水箱，它的高為_(kāi)_______時(shí)最省材料 4 一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，當(dāng)圓半徑與矩形的高的比為_(kāi)_______時(shí)，窗戶周長(zhǎng)最小。 5 若一球的半徑為，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積最大為_(kāi)_______。 6 以長(zhǎng)為10的線段為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形的面積的最大值

6、為_(kāi)_______。 7用邊長(zhǎng)為48的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______。 8將水注入圓錐形容器中，其速度為，設(shè)圓錐形容器的高為，頂口直徑為，求當(dāng)水深為時(shí)，水面上升的速度。 9 某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出一件正品可獲利200元，如果生產(chǎn)出一件次品，則損失100元，已知該廠制造電子元件過(guò)程中，次品率與日產(chǎn)量的關(guān)系是： （1）求該廠的日盈利額（元）用日產(chǎn)量（件）表示的函數(shù)； （2）為獲最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少件？ 10統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為，已知甲乙兩地相距100千米。 （1） 當(dāng)汽車(chē)以40千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ （2） 當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？