《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性
板塊一 知識(shí)梳理·自主學(xué)習(xí)
[必備知識(shí)]
考點(diǎn)1 函數(shù)的奇偶性
考點(diǎn)2 函數(shù)的周期性
1．周期函數(shù)
對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．
2．最小正周期
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
[必會(huì)結(jié)論]
1．函數(shù)奇偶性的四個(gè)重要結(jié)論
(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函數(shù)f(
2、x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．
(4)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．周期性的三個(gè)常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a.(a>0)
3．對稱性的三個(gè)常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；
(2)若對于R上的
3、任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；
(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱．
[考點(diǎn)自測]
1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)．( )
(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件．( )
(3)函數(shù)y＝＋既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．( )
(4)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且f(x＋2)＝f(x)，則f(2018)＝2018.( )
答案 (
4、1)× (2)√ (3)× (4)×
2．[2017·北京高考]已知函數(shù)f(x)＝3x－x，則f(x)( )
A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
答案 A
解析 ∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，
f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，
∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．
∵函數(shù)y＝x在R上是減函數(shù)，
∴函數(shù)y＝－x在R上是增函數(shù)．
又∵y＝3x在R上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f(x)＝3x－x在R上是增函數(shù)．故選A.
3．[課本改編]如果f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，那么下列函數(shù)中，一
5、定為偶函數(shù)的是( )
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
答案 B
解析 設(shè)g(x)＝xf(x)．因?yàn)閒(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
所以g(－x)＝g(x)，所以B正確．
4．[課本改編]若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1,2a]，則a＝________，b＝________.
答案 0
解析 因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋b＋1為偶函數(shù)，所以二次函數(shù)的對稱軸－＝0，易得b＝0.
6、5．[2016·四川高考]若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)00，則x的取值范圍是________．
答案 (－1,3)
解析 ∵f(2)＝0，f(x－1)>0，
∴f(x－1)>f(2)，又∵f(x)是偶函數(shù)，
∴f(|x－1|)>f
7、(2)，又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴|x－1|<2，∴－2
8、3)易知函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．
觸類旁通
判斷函數(shù)奇偶性的必備條件
(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域．
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．
【變式訓(xùn)練1
9、】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝.
解 (1)定義域?yàn)閧x|x＝±1}，化簡得f(x)＝0，
故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．
(2)∵－2≤x≤2且x≠0，∴f(x)＝，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．
考向 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
命題角度1 利用奇偶性求函數(shù)值
例 2 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)等于( )
A．－26 B．－18
C．－10 D．10
答案 A
解析 解法一：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函數(shù)，從而g(－2)＝－g(2)，又f(
10、x)＝g(x)－8，
∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，
∴g(2)＝－g(－2)＝－18.
∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
解法二：由已知條件，得
①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，
∴f(2)＝－26.
命題角度2 利用奇偶性求參數(shù)值
例 3 [2015·全國卷Ⅰ]若函數(shù)f(x)＝xln (x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.
答案 1
解析 解法一：由題意得f(x)＝xln (x＋)＝f(－x)＝－xln(－x)，所以＋x＝，解得a＝1.
解法二：由f(x)為偶函數(shù)有l(wèi)n (x＋)為奇函數(shù)，令g(
11、x)＝ln (x＋)，有g(shù)(－x)＝－g(x)，以下同解法一．
命題角度3 利用奇偶性求解析式
例 4 f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
解 當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x2＋3x－1.
因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0.
綜上可得f(x)的解析式為
f(x)＝
命題角度4 利用奇偶性的圖象特征解不等式
例 5 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋2x
12、，若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 ∵f(x)是奇函數(shù)，
∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實(shí)線所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2
13、，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．
(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值
利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．
(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性
利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性．
考向 函數(shù)奇偶性與周期性的綜合問題
例 6 (1)[2017·山東高考]已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時(shí)，f(x)＝6－x，則f(919)＝________.
答案 6
解析 ∵f(x＋4)＝f(x
14、－2)，
∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期為6的周期函數(shù)，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
(2)奇函數(shù)f(x)滿足f(x－2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝2x－x2，則f(2018)＋f(2019)＋f(2020)的值為________．
答案?。?
解析 函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)＝0，由f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]知f(1)＝1，f(2)＝0，又f(x)的周期為4，所以f(2018)
15、＋f(2019)＋f(2020)＝f(2)＋f(3)＋f(0)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
觸類旁通
奇偶性與周期性綜合問題的解題策略
函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．
【變式訓(xùn)練2】 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，當(dāng)2≤x≤3時(shí)，f(x)＝x，則f(105.5)＝_______.
答案 2.5
解析 由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－＝－＝f(x)，故函數(shù)f(x)的周期為4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)
16、＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由題意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.
核心規(guī)律
1.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立．利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它判斷函數(shù)的奇偶性．
2.奇、偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)．為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡，或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．
滿分策略
1.函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此判斷函數(shù)的奇偶性不可忽視函數(shù)定義域．
2.函數(shù)f(
17、x)是奇函數(shù)，必須滿足對定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能說存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同樣偶函數(shù)也是如此．
3.判斷分段函數(shù)奇偶性時(shí)，要以整體觀點(diǎn)進(jìn)行判斷，不可以利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇(偶)函數(shù)，而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性.
板塊三 啟智培優(yōu)·破譯高考
題型技法系列3——利用函數(shù)的奇偶性解抽象不等式
[2016·天津高考]已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是________．
解題視點(diǎn) 由已知可得出f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－)＝f(
18、)，利用單調(diào)性將f(2|a－1|)>f()轉(zhuǎn)化為2|a－1|<，解該不等式即可．
解析 ∵f(x)是偶函數(shù)且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，
∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(－)＝f()，
∴原不等式可化為f(2|a－1|)>f()．
故有2|a－1|<，即|a－1|<，解得
19、且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x3－8，則{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|－22}
B．{x|04}
C．{x|x<0或22}
答案 B
解析 當(dāng)x＝2時(shí)，有f(2)＝0，又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(－2)＝0，作出f(x)的大致圖象，由圖象可知，當(dāng)－22，即04時(shí)，有f(x－2)>0.故選B.
板塊四 模擬演練·提能增分
[A級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．[2018·合肥質(zhì)檢]下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是( )
A．y＝x3 B．
20、y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
答案 B
解析 因?yàn)閥＝x3是奇函數(shù)，y＝|x|＋1，y＝－x2＋1，y＝2－|x|均為偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；又因?yàn)閥＝－x2＋1，y＝2－|x|＝|x|在(0，＋∞)上均為減函數(shù)，只有y＝|x|＋1在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以C，D兩項(xiàng)錯(cuò)誤，只有B正確．
2．[2018·南寧模擬]設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是( )
A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)
C．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函
21、數(shù)
答案 B
解析 f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，故f(x)g(x)為奇函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，|f(x)|g(x)為偶函數(shù)，|f(x)g(x)|為偶函數(shù)．故選B.
3．[2017·齊魯名校模擬]已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋m，則f(－2)＝( )
A．－3 B．－
C. D．3
答案 A
解析 因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，則f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.
4．已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則滿足不等式f(2x－1)>f成
22、立的x的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間(－∞，0]上單調(diào)遞增，若f(2x－1)>f，則－<2x－1<，解得－0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( )
A．－x(1－x) B．x(1－x)
C．－x(1＋x) D．x(1＋x)
答案 B
解析 當(dāng)x<0時(shí)，則－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
6．[2018·貴陽模擬]已知函數(shù)f(x)＝x3＋s
23、inx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，則f(－a)的值為( )
A．3 B．0
C．－1 D．－2
答案 B
解析 設(shè)F(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，顯然F(x)為奇函數(shù)，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，從而f(－a)＝0.故選B.
7．[2018·德州模擬]設(shè)偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式>0的解集為( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
答案 A
解析 由>0，可得>0，即>0
24、，
當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0，即f(x)0時(shí)，f(x)>0，即f(x)>f(1)，解得x>1.
故不等式>0的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)．
8．[2017·全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________.
答案 12
解析 令x>0，則－x<0.
∴f(－x)＝－2x3＋x2.
∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x3－x2(x>0)．
∴f(2)＝2×23－22＝12.
f(2)＝－f(－2)＝－[2×(
25、－2)3＋(－2)2]＝12.
9．[2017·豫東十校聯(lián)考]若f(x)＝＋a是奇函數(shù)，則a＝________.
答案
解析 依題意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得＋a＋＋a＝0，解得a＝.
10．[2018·衡水模擬]已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.
答案?。?
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1，
∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，∴f(－1)＝－3.
因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
[B級(jí) 知能提升]
1．[2018·金版創(chuàng)新]已知函數(shù)f(x)是定義在R
26、上的函數(shù)，若函數(shù)f(x＋2016)為偶函數(shù)，且f(x)對任意x1，x2∈[2016，＋∞)(x1≠x2)，都有<0，則( )
A．f(2019)f(2018)>f(2019)．又因?yàn)閒(x＋2016)為偶函數(shù)，所以f(－x＋2016)＝f(x
27、＋2016)，所以f(－2＋2016)＝f(2＋2016)，即f(2014)＝f(2018)，所以f(2017)>f(2014)>f(2019)．故選A.
2．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝( )
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
答案 D
解析 由f(x)＋g(x)＝ex，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，可得f(x)－g(x)＝e－x，則兩式相減，可得g(x)＝.選D.
3．[2018·蘇州模擬]定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿
28、足f(x＋2)·f(x)＝1對于x∈R恒成立，且f(x)>0，則f(119)＝________.
答案 1
解析 ∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f(x)，∴周期T＝4，f(119)＝f(3)．令x＝－1，f(1)f(－1)＝1，
∴f(1)＝1，f(3)＝＝1.
4．已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2,2]，且在區(qū)間[－2,0]上遞減，求滿足f(1－m)＋f(1－m2)<0的實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解 ∵f(x)的定義域?yàn)閇－2,2]，
∴解得－1≤m≤.①
又f(x)為奇函數(shù)，且在[－2,0]上遞減，
∴f(x)在[－2,2]上遞減，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(
29、m2－1)
?1－m>m2－1，解得－2
（全國版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案
