2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形課后訓(xùn)練 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題二 三角函數(shù)、平面向量 第二講 三角恒等變換與解三角形課后訓(xùn)練 文 一、選擇題 1．(2018·合肥調(diào)研)已知x∈，且cos＝sin2x，則tan等于(　　) A.　 B．－　　　C．3　　　D．－3 解析：由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x， ∵x∈(0，π)，∴tan x＝2， ∴tan＝＝. 答案：A 2．(2018·成都模擬)已知sin α＝，α∈，則cos的值為(　　) A.　　 B. C. D. 解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝， sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝＝， cos 2

2、α＝1－2sin2α＝1－2×2＝1－＝， ∴cos＝×－×＝. 答案：A 3．(2018·昆明三中、五溪一中聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tan C等于(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：因?yàn)?S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab， 由面積公式與余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab， 即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4， ＝4， 所以＝4， 解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)． 答案：C 4．在△ABC中，角

3、A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若0，∴cos B<0，

4、依題意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cos A＝. 答案：C 6．(2018·高考全國卷Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　) A． B． C． D．1 解析：由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，∴＝，即＝，∴tan α＝±，即＝±， ∴|a－b|＝. 故選B. 答案：B 7. (2018·武漢調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向正北

5、方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為(　　) A．14 h B．15 h C．16 h D．17 h 解析：記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置(圖略)，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根據(jù)余弦定理得6002＋400t2－2×20t×600×≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以Δt＝－＝15(h)，故選B. 答案：B 8．(2018·武漢調(diào)研)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a＝2bsin C，則 tan A＋tan B＋t

6、an C的最小值是(　　) A．4 B．3 C．8 D．6 解析：由a＝2bsin C得sin A＝2sin Bsin C， ∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 即tan B＋tan C＝2tan Btan C. 又三角形中的三角恒等式tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C， ∴tan Btan C＝， ∴tan Atan Btan C＝tan A·， 令tan A－2＝t， 得tan Atan Btan C＝＝t＋＋4≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝， 即t＝2，tan A＝4 時(shí)，取等號(hào)． 答案：

7、C 二、填空題 9．(2018·廣西三市一聯(lián))在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asin B＝sin C，cos C＝，△ABC的面積為4，則c＝________. 解析：由asin B＝sin C，得ab＝c， 由cos C＝，得sin C＝， 則S△ABC＝absin C＝c＝4，解得c＝6. 答案：6 10．(2018·皖南八校聯(lián)考)若α∈，cos＝2cos 2α，則sin 2α＝________. 解析：由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α

8、＝， 由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因?yàn)棣痢?，所以cos α＋sin α＝0不滿足條件； 由cos α－sin α＝，兩邊平方得 1－sin 2α＝， 所以sin 2α＝. 答案： 11．已知△ABC中，AB＋AC＝6，BC＝4，D為BC的中點(diǎn)，則當(dāng)AD最小時(shí)，△ABC的面積為________． 解析：AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC， 且AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB， 即AC2＝AD2＋22－4AD·cos∠ADC， 且(6－AC)2＝AD2＋22－4AD·cos∠ADB， ∵∠ADB＝π－∠ADC， ∴AC

9、2＋(6－AC)2＝2AD2＋8， ∴AD2＝＝， 當(dāng)AC＝2時(shí)，AD取最小值， 此時(shí)cos∠ACB＝＝， ∴sin∠ACB＝， ∴△ABC的面積S＝AC·BC·sin∠ACB＝. 答案： 12．(2018·成都模擬)已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面積為.若線段BA的延長線上存在點(diǎn)D，使∠BDC＝，則CD＝________. 解析：因?yàn)镾△ABC＝AC·BC·sin∠BCA， 即＝×××sin∠BCA， 所以sin∠BCA＝. 因?yàn)椤螧AC>∠BDC＝， 所以∠BCA＝，所以cos∠BCA＝. 在△ABC中， AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos

10、∠BCA ＝2＋6－2×××＝2， 所以AB＝，所以∠ABC＝， 在△BCD中，＝， 即＝，解得CD＝. 答案： 三、解答題 13．(2018·武漢調(diào)研)在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0. (1)求角A的值； (2)若b＝且b≤a，求a的取值范圍． 解析：(1)由cos 2A－cos 2B＋2coscos＝0， 得2sin2B－2sin2A＋2＝0， 化簡得sin A＝，又△ABC為銳角三角形，故A＝. (2)∵b＝≤a，∴c≥a，∴≤C<，

11、＝，∴a＝， 由sin B∈得a∈[，3)． 14．(2018·唐山模擬)在△ABC中，AB＝2AC＝2，AD是BC邊上的中線，記∠CAD＝α，∠BAD＝β. (1)求sin α∶sin β； (2)若tan α＝sin ∠BAC，求BC. 解析：(1)∵AD為BC邊上的中線， ∴S△ACD＝S△ABD， ∴AC·ADsin α＝AB·ADsin β， ∴sin α∶sin β＝AB∶AC＝2∶1. (2)∵tan α＝sin ∠BAC＝sin(α＋β)， ∴sin α＝sin(α＋β)cos α， ∴2sin β＝sin(α＋β)cos α， ∴2sin[(α＋β)－

12、α]＝sin(α＋β)cos α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)＝2cos(α＋β)tan α， 又tan α＝sin ∠BAC＝sin(α＋β)≠0， ∴cos(α＋β)＝cos ∠BAC＝， 在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝3， ∴BC＝. 15．(2018·廣州模擬)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且3cos Bcos C＋2＝3sin Bsin C＋2cos2A. (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面積S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值． 解析：(1)

13、由3cos Bcos C＋2＝3sin Bsin C＋2cos2A， 得3cos(B＋C)＋2＝2cos2A， 即2cos2A＋3cos A－2＝0， 即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0， 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)． 因?yàn)?

14、c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且(a＋c)2＝b2＋3ac. (1)求角B的大??； (2)若b＝2，且sin B＋sin(C－A)＝2sin 2A，求△ABC的面積． 解析：(1)由(a＋c)2＝b2＋3ac，整理得a2＋c2－b2＝ac， 由余弦定理得cos B＝＝＝， ∵0

15、n A＝4sin Acos A， 整理得cos Asin C＝2sin Acos A. 若cos A＝0，則A＝， 由b＝2，可得c＝＝， 此時(shí)△ABC的面積S＝bc＝. 若cos A≠0，則sin C＝2sin A， 由正弦定理可知，c＝2a， 代入a2＋c2－b2＝ac，整理可得3a2＝4，解得a＝，∴c＝， 此時(shí)△ABC的面積S＝acsin B＝. 綜上所述，△ABC的面積為. 17．(2018·常德市模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋mcos ωx(ω＞0，m＞0)的最小值為－2，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π. (1)求ω和m的值； (2)若f＝，θ∈，求f的值． 解析：(1)易知f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ為輔助角)， ∴f(x)min＝－＝－2，∴m＝. 由題意知函數(shù)f(x)的最小正周期為π，∴＝π， ∴ω＝2. (2)由(1)得f(x)＝sin 2x＋cos 2x ＝2sin， ∴f＝2sin＝， ∴sin＝. ∵θ∈，∴θ＋∈， ∴cos＝－＝－， ∴sin θ＝sin＝sincos －cos sin ＝， ∴f＝2sin ＝2sin＝2cos 2θ＝2(1－2sin2θ) ＝2＝－.