（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 1 第1講 直線(xiàn)的傾斜角與斜率、直線(xiàn)的方程教學(xué)案

第九章 平面解析幾何 知識(shí)點(diǎn) 最新考綱 直線(xiàn)的方程 理解平面直角坐標(biāo)系，理解直線(xiàn)的傾斜角與斜率的概念，掌握直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式，了解直線(xiàn)方程與一次函數(shù)的關(guān)系. 兩直線(xiàn)的位置關(guān)系 能根據(jù)兩條直線(xiàn)的斜率判定這兩條直線(xiàn)平行或垂直． 會(huì)求過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率、兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、兩條平行直線(xiàn)間的距離． 圓的方程 掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程． 直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系 會(huì)解決直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，會(huì)判斷圓與圓的位置關(guān)系． 橢 圓 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)． 會(huì)解決直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的問(wèn)題． 雙曲線(xiàn) 了解雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系． 拋物線(xiàn) 掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)． 會(huì)解決直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的問(wèn)題． 曲線(xiàn)與方程 了解方程與曲線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．會(huì)求簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)的方程. 第1講　直線(xiàn)的傾斜角與斜率、直線(xiàn)的方程 1．直線(xiàn)的傾斜角 (1)定義：x軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫做這條直線(xiàn)的傾斜角．當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°． (2)傾斜角的范圍為[0，π)． 2．直線(xiàn)的斜率 (1)定義：一條直線(xiàn)的傾斜角α的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tan α，傾斜角是90°的直線(xiàn)沒(méi)有斜率． (2)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式 經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線(xiàn)的斜率公式為k＝＝. 3．直線(xiàn)方程的五種形式 名稱(chēng) 已知條件 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 斜率k與點(diǎn)(x1，y1) y－y1＝k(x－x1) 不含直線(xiàn)x＝x1 斜截式 斜率k與直線(xiàn)在y軸上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線(xiàn) 兩點(diǎn)式 兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2) ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直線(xiàn)x＝x1(x1＝x2)和直線(xiàn)y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2) 截距式 直線(xiàn)在x軸、y軸上的截距分別為a，b ＋＝1 (a≠0，b≠0) 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn) 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線(xiàn)都適用 [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)直線(xiàn)的傾斜角越大，其斜率就越大．(　　) (2)直線(xiàn)的斜率為tan α，則其傾斜角為α.(　　) (3)斜率相等的兩直線(xiàn)的傾斜角不一定相等．(　　) (4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的直線(xiàn)都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　) (5)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線(xiàn)都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [教材衍化] 1．(必修2P86練習(xí)T3改編)若過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m，4)的直線(xiàn)的斜率等于1，則m的值為_(kāi)_______． 解析：由題意得＝1，解得m＝1. 答案：1 2．(必修2P100A組T8改編)直線(xiàn)3x－4y＋k＝0在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則實(shí)數(shù)k＝________． 解析：令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝－，則有－＝2，所以k＝－24. 答案：－24 [易錯(cuò)糾偏] (1)由直線(xiàn)方程求斜率的思路不清； (2)忽視斜率和截距對(duì)直線(xiàn)位置的影響； (3)忽視直線(xiàn)斜率不存在的情況； (4)忽視截距為0的情況． 1．直線(xiàn)l：xsin 30°＋ycos 150°＋a＝0的斜率為_(kāi)_______． 解析：設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，則k＝－＝. 答案： 2．如果A·C<0且B·C<0，那么直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0不通過(guò)第________象限． 解析：由已知得直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－>0，在y軸上的截距－>0，故直線(xiàn)經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，不經(jīng)過(guò)第三象限． 答案：三 3．過(guò)直線(xiàn)l：y＝x上的點(diǎn)P(2，2)作直線(xiàn)m，若直線(xiàn)l，m與x軸圍成的三角形的面積為2，則直線(xiàn)m的方程為_(kāi)_______． 解析：①若直線(xiàn)m的斜率不存在，則直線(xiàn)m的方程為x＝2，直線(xiàn)m，直線(xiàn)l和x軸圍成的三角形的面積為2，符合題意；②若直線(xiàn)m的斜率k＝0，則直線(xiàn)m與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，不符合題意；③若直線(xiàn)m的斜率k≠0，設(shè)其方程為y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，依題意有××2＝2，即＝1，解得k＝，所以直線(xiàn)m的方程為y－2＝(x－2)，即x－2y＋2＝0.綜上可知，直線(xiàn)m的方程為x－2y＋2＝0或x＝2. 答案：x－2y＋2＝0或x＝2 4．過(guò)點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)截距為0時(shí)，直線(xiàn)方程為3x－2y＝0； 當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為＋＝1， 則＋＝1，解得a＝5，所以直線(xiàn)方程為x＋y－5＝0. 答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0 　　　　　　直線(xiàn)的傾斜角與斜率 (1)直線(xiàn)2xcos α－y－3＝0的傾斜角的變化范圍是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. (2)已知直線(xiàn)l：x－my＋m＝0上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足與兩點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)連線(xiàn)的斜率kMA與kMB之積為3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．[－，] B.∪ C.∪ D．以上都不對(duì) 【解析】　(1)直線(xiàn)2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為θ，則有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即傾斜角的變化范圍是. (2)設(shè)M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3. 聯(lián)立得x2＋x＋6＝0. 要使直線(xiàn)l：x－my＋m＝0上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足與兩點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)連線(xiàn)的斜率kMA與kMB之積為3，則Δ＝－24≥0，即m2≥.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪.故選C. 【答案】　(1)B　(2)C (變條件)若本例(1)中直線(xiàn)變?yōu)閤＋ycos θ－3＝0(θ∈R)，則直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)cos θ＝0時(shí)，方程變?yōu)閤－3＝0，其傾斜角為； 當(dāng)cos θ≠0時(shí)，由直線(xiàn)的方程，可得斜率k＝－. 因?yàn)閏os θ∈[－1，1]且cos θ≠0， 所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，所以α∈∪， 綜上知，直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍是. 答案： (1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟 ①求出斜率k＝tan α的取值范圍． ②利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍． [提醒]　求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在． (2)斜率的求法 ①定義法：若已知直線(xiàn)的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tan α求斜率． ②公式法：若已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．　 1．若直線(xiàn)l的斜率為k，傾斜角為α，且α∈∪，則k的取值范圍是________． 解析：當(dāng)α∈時(shí)，k＝tan α∈； 當(dāng)α∈時(shí)，k＝tan α∈[－，0)． 綜上k∈[－，0)∪. 答案：[－，0)∪ 2．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直線(xiàn)的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由條件知直線(xiàn)的斜率存在， 由斜率公式得k＝. 因?yàn)閮A斜角為銳角，所以k>0，解得a>1或a<－2. 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞) 　　　　　　求直線(xiàn)的方程 (1)過(guò)點(diǎn)(－4，0)，傾斜角的正弦值為的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______． (2)過(guò)點(diǎn)M(－3，5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______． (3)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(5，10)，且到原點(diǎn)的距離為5，則該直線(xiàn)的方程為_(kāi)_______． 【解析】　(1)由題設(shè)知，該直線(xiàn)的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式． 設(shè)傾斜角為α，則sin α＝(0＜α＜π)， 從而cos α＝±，則k＝tan α＝±. 故所求直線(xiàn)方程為y＝±(x＋4)．即直線(xiàn)方程為x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0. (2)①當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)方程為y＝－x； ②當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為＋＝1， 即x－y＝a.代入點(diǎn)(－3，5)，得a＝－8. 即直線(xiàn)方程為x－y＋8＝0. 綜上直線(xiàn)方程為y＝－x或x－y＋8＝0. (3)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線(xiàn)方程為x－5＝0； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線(xiàn)方程為y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0. 由點(diǎn)線(xiàn)距離公式，得＝5，解得k＝. 故所求直線(xiàn)方程為3x－4y＋25＝0. 綜上所求直線(xiàn)方程為x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 【答案】　(1)x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0 (2)y＝－x或x－y＋8＝0 (3)x－5＝0或3x－4y＋25＝0 (1)求直線(xiàn)方程的兩種常用方法 ①直接法：根據(jù)已知條件，確定適當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)方程形式，直接寫(xiě)出直線(xiàn)方程； ②待定系數(shù)法：先設(shè)出直線(xiàn)方程，再根據(jù)已知條件求出待定的系數(shù)，最后代入求出直線(xiàn)的方程． (2)求直線(xiàn)方程應(yīng)注意的問(wèn)題 ①選擇直線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用：選用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，需討論直線(xiàn)的斜率是否存在；選用截距式時(shí)，需討論直線(xiàn)是否過(guò)原點(diǎn)． ②求直線(xiàn)方程時(shí)，如果沒(méi)有特別要求，求出的方程應(yīng)化為一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)．　 1．已知A(－1，1)，B(3，1)，C(1，3)，則△ABC的BC邊上的高所在的直線(xiàn)方程為(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0 解析：選B.因?yàn)锽(3，1)，C(1，3)， 所以kBC＝＝－1， 故BC邊上的高所在直線(xiàn)的斜率k＝1， 又高線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，所以其直線(xiàn)方程為x－y＋2＝0. 2．過(guò)點(diǎn)M(－1，－2)作一條直線(xiàn)l，使得l夾在兩坐標(biāo)軸之間的線(xiàn)段被點(diǎn)M平分，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_______． 解析：由題意，可設(shè)所求直線(xiàn)l的方程為y＋2＝k(x＋1)(k≠0)，直線(xiàn)l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則A，B(0，k－2)．因?yàn)锳B的中點(diǎn)為M，所以解得k＝－2.所以所求直線(xiàn)l的方程為2x＋y＋4＝0. 答案：2x＋y＋4＝0 　　　　　　直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用(高頻考點(diǎn)) 直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用是解析幾何的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，在高考中常與其他知識(shí)結(jié)合考查，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度為中、低檔題目．主要命題角度有： (1)與基本不等式相結(jié)合求最值問(wèn)題； (2)由直線(xiàn)方程解決參數(shù)問(wèn)題． 角度一　與基本不等式相結(jié)合求最值問(wèn)題 (2020·杭州七校聯(lián)考)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1，4)，分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|OA|＋|OB|最小時(shí)，求l的方程． 【解】　依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)， 設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k， 則直線(xiàn)l的方程為y－4＝k(x－1)(k<0)． 令y＝0，可得A； 令x＝0，可得B(0，4－k)． |OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－ ＝5＋≥5＋4＝9. 所以當(dāng)且僅當(dāng)－k＝且k<0， 即k＝－2時(shí)，|OA|＋|OB|取最小值． 這時(shí)l的方程為2x＋y－6＝0. (變問(wèn)法)在本例條件下，若|PA|·|PB|最小，求l的方程． 解：|PA|·|PB|＝ · ＝－(1＋k2)＝4≥8(k<0)． 所以當(dāng)且僅當(dāng)＝－k且k<0， 即k＝－1時(shí)，|PA|·|PB|取最小值． 這時(shí)l的方程為x＋y－5＝0. 角度二　由直線(xiàn)方程解決參數(shù)問(wèn)題 已知直線(xiàn)l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線(xiàn)l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值． 【解】　由題意知直線(xiàn)l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2，2)，直線(xiàn)l1在y軸上的截距為2－a，直線(xiàn)l2在x軸上的截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，當(dāng)a＝時(shí)，面積最?。? 直線(xiàn)方程綜合問(wèn)題的兩大類(lèi)型及其解法 (1)求解與直線(xiàn)方程有關(guān)的最值問(wèn)題 先設(shè)出直線(xiàn)方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值． (2)求參數(shù)值或范圍 注意點(diǎn)在直線(xiàn)上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線(xiàn)的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．　 1．直線(xiàn)x－2y＋b＝0與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積不大于1，那么b的取值范圍是(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞) 解析：選C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b， 所以所求三角形的面積為|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范圍是[－2，0)∪(0，2]． 2．已知直線(xiàn)x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線(xiàn)段AB上，則ab的最大值為_(kāi)_______． 解析：直線(xiàn)方程可化為＋y＝1，故直線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A(2，0)，與y軸的交點(diǎn)為B(0，1)，由動(dòng)點(diǎn)P(a，b)在線(xiàn)段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，由于0≤b≤1，故當(dāng)b＝時(shí)，ab取得最大值. 答案： 核心素養(yǎng)系列18　直觀想象——巧構(gòu)造，妙用斜率求解問(wèn)題 一、比較大小 已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)_______． 【解析】　作出函數(shù)f(x)＝log2(x＋1)的大致圖象，如圖所示，可知當(dāng)x>0時(shí)，曲線(xiàn)上各點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率隨x的增大而減小， 因?yàn)閍>b>c>0， 所以<<. 【答案】　<< 對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的兩點(diǎn)(a，f(a))，(b，f(b))，比較與的大小時(shí)，可轉(zhuǎn)化為這兩點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率來(lái)比較大?。? 二、求最值 已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，試求的最大值和最小值． 【解】　如圖，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的圖象(曲線(xiàn)段AB)，則表示定點(diǎn)P(－2，－3)和曲線(xiàn)段AB上任一點(diǎn)(x，y)的連線(xiàn)的斜率k，連接PA，PB，則kPA≤k≤kPB. 易得A(1，1)，B(－1，5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是. 對(duì)于求形如k＝，y＝的最值問(wèn)題，可利用定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)位置，轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)斜率的范圍，借助數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．　 三、證明不等式 已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a<b，求證：>. 【證明】　如圖，設(shè)點(diǎn)P，M的坐標(biāo)分別為(b，a)，(－m，－m)． 因?yàn)?<a<b，所以點(diǎn)P在第一象限，且位于直線(xiàn)y＝x的下方． 又m>0，所以點(diǎn)M在第三象限，且在直線(xiàn)y＝x上． 連接OP，PM，則kOP＝，kMP＝. 因?yàn)橹本€(xiàn)MP的傾斜角大于直線(xiàn)OP的傾斜角，且兩條直線(xiàn)的傾斜角都是銳角， 所以kMP>kOP，即>. 根據(jù)所證不等式的特點(diǎn)，尋找與斜率公式有關(guān)的信息，從而轉(zhuǎn)變思維角度，構(gòu)造直線(xiàn)斜率解題，這也是解題中思維遷移的一大技巧，可取得意想不到的效果．　 [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·麗水模擬)傾斜角為120°，在x軸上的截距為－1的直線(xiàn)方程是(　　) A.x－y＋1＝0　　　　　 B.x－y－＝0 C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0 解析：選D.由于傾斜角為120°，故斜率k＝－.又直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(－1，0)，所以方程為y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0. 2．已知直線(xiàn)l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線(xiàn)x－2y－4＝0的斜率的倒數(shù)，則直線(xiàn)l的方程為(　　) A．y＝x＋2 B．y＝x－2 C．y＝x＋ D．y＝－x＋2 解析：選A.因?yàn)橹本€(xiàn)x－2y－4＝0的斜率為， 所以直線(xiàn)l在y軸上的截距為2， 所以直線(xiàn)l的方程為y＝x＋2. 3．直線(xiàn)xsin 2－ycos 2＝0的傾斜角的大小是(　　) A．－ B．－2 C. D．2 解析：選D.因?yàn)橹本€(xiàn)xsin 2－ycos 2＝0的斜率k＝＝tan 2，所以直線(xiàn)的傾斜角為2. 4．已知函數(shù)f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1，方程y＝ax＋表示的直線(xiàn)是(　　) 解析：選C.因?yàn)閤＜0時(shí)，ax＞1，所以0＜a＜1. 則直線(xiàn)y＝ax＋的斜率0＜a＜1， 在y軸上的截距＞1.故選C. 5．(2020·溫州質(zhì)檢)若直線(xiàn)l與直線(xiàn)y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線(xiàn)l的斜率為(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：選B.依題意，設(shè)點(diǎn)P(a，1)，Q(7，b)，則有解得a＝－5，b＝－3，從而可知直線(xiàn)l的斜率為＝－. 6．過(guò)點(diǎn)(5，2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線(xiàn)方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 解析：選B.當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(5，2)，可得直線(xiàn)的斜率為，故直線(xiàn)的方程為y＝x，即2x－5y＝0.當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)在x軸上的截距為k(k≠0)，則在y軸上的截距是2k，直線(xiàn)的方程為＋＝1，把點(diǎn)(5，2)代入可得＋＝1，解得k＝6.故直線(xiàn)的方程為＋＝1，即2x＋y－12＝0. 7．過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線(xiàn)y＝3x的斜率的－的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為k，依題意 k＝－×3＝－. 又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)， 因此所求直線(xiàn)方程為y＋3＝－(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0. 答案：3x＋4y＋15＝0 8．若點(diǎn)A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三點(diǎn)共線(xiàn)，則a的值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閗AC＝＝1，kAB＝＝a－3. 由于A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4 9．設(shè)點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，直線(xiàn)2x＋y－b＝0與線(xiàn)段AB相交，則b的取值范圍是________． 解析：b為直線(xiàn)y＝－2x＋b在y軸上的截距， 如圖，當(dāng)直線(xiàn)y＝－2x＋b過(guò)點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(1，0)時(shí)b分別取得最小值和最大值． 所以b的取值范圍是[－2，2]． 答案：[－2，2] 10．一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2，2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線(xiàn)的方程為_(kāi)_______________． 解析：設(shè)所求直線(xiàn)的方程為＋＝1， 因?yàn)锳(－2，2)在直線(xiàn)上，所以－＋＝1.① 又因?yàn)橹本€(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1， 所以|a|·|b|＝1.② 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程組(2)無(wú)解． 故所求的直線(xiàn)方程為＋＝1或＋＝1， 即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線(xiàn)的方程． 答案：x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0 11．設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＋my－2m＋6＝0，根據(jù)下列條件分別確定m的值： (1)直線(xiàn)l的斜率為1； (2)直線(xiàn)l在x軸上的截距為－3. 解：(1)因?yàn)橹本€(xiàn)l的斜率存在，所以m≠0， 于是直線(xiàn)l的方程可化為y＝－x＋. 由題意得－＝1，解得m＝－1. (2)法一：令y＝0，得x＝2m－6. 由題意得2m－6＝－3，解得m＝. 法二：直線(xiàn)l的方程可化為x＝－my＋2m－6.由題意得2m－6＝－3，解得m＝. 12．已知直線(xiàn)l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．若直線(xiàn)l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線(xiàn)l的方程． 解：由l的方程，得A，B(0，1＋2k)． 依題意得 解得k＞0. 因?yàn)镾＝·|OA|·|OB| ＝··|1＋2k| ＝·＝ ≥×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的條件是k＞0且4k＝， 即k＝，所以Smin＝4， 此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x－2y＋4＝0. [綜合題組練] 1．(2020·富陽(yáng)市場(chǎng)口中學(xué)高三質(zhì)檢)已知點(diǎn)A(2，－3)、B(－3，－2)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1，1)，且與線(xiàn)段AB相交，則直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是(　　) A．k≥或k≤－4 B．k≥或k≤－ C．－4≤k≤ D.≤k≤4 解析：選A.如圖所示，由題意得，所求直線(xiàn)l的斜率k滿(mǎn)足k≥kPB或k≤kPA，即k≥或k≤－4，故選A. 2．已知?jiǎng)又本€(xiàn)l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒過(guò)點(diǎn)P(1，m)且Q(4，0)到動(dòng)直線(xiàn)l的最大距離為3，則＋的最小值為(　　) A. B. C．1 D．9 解析：選B.因?yàn)閯?dòng)直線(xiàn)l：ax＋by＋c－2＝0(a＞0，c＞0)恒過(guò)點(diǎn)P(1，m)，所以a＋bm＋c－2＝0，又Q(4，0)到動(dòng)直線(xiàn)l的最大距離為3，所以＝3，解得m＝0，所以a＋c＝2，則＋＝(a＋c)·＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)c＝2a＝時(shí)取等號(hào)，故選B. 3．(2020·金麗衢十二校高考模擬)直線(xiàn)l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)恒過(guò)定點(diǎn)________，P(1，1)到該直線(xiàn)的距離的最大值為_(kāi)_______． 解析：直線(xiàn)l：x＋λy＋2－3λ＝0(λ∈R)即λ(y－3)＋x＋2＝0，令，解得x＝－2，y＝3. 所以直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)Q(－2，3)， P(1，1)到該直線(xiàn)的距離最大值為|PQ|＝＝. 答案：(－2，3)　 4．直線(xiàn)l的傾斜角是直線(xiàn)4x＋3y－1＝0的傾斜角的一半，若l不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則l在x軸上與y軸上的截距之比為_(kāi)_______． 解析：設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為θ.所以tan 2θ＝－. ＝－，所以tan θ＝2或tan θ＝－， 由2θ∈[0°，180°)知，θ∈[0°，90°)． 所以tan θ＝2. 又設(shè)l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b. 所以tan θ＝－.即＝－＝－. 答案：－ 5.如圖，射線(xiàn)OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過(guò)點(diǎn)P(1，0)作直線(xiàn)AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線(xiàn)y＝x上時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程． 解：由題意可得kOA＝tan 45°＝1， kOB＝tan(180°－30°)＝－， 所以直線(xiàn)lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 設(shè)A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中點(diǎn)C， 由點(diǎn)C在直線(xiàn)y＝x上，且A，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)得 解得m＝，所以A(，)． 又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝， 所以lAB：y＝(x－1)， 即直線(xiàn)AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. 6．為了綠化城市，擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩形草坪(如圖)，另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？ 解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則E(30，0)，F(xiàn)(0，20)， 所以直線(xiàn)EF的方程為＋＝1(0≤x≤30)． 易知當(dāng)矩形草坪的一個(gè)頂點(diǎn)在EF上時(shí)，可取最大值， 在線(xiàn)段EF上取點(diǎn)P(m，n)，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q， PR⊥CD于點(diǎn)R，設(shè)矩形PQCR的面積為S， 則S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20－m. 所以S＝(100－m) ＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)． 所以當(dāng)m＝5時(shí)，S有最大值，這時(shí)＝5∶1. 所以當(dāng)矩形草坪的兩邊在BC，CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線(xiàn)段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分有向線(xiàn)段EF成5∶1時(shí)，草坪面積最大． 17