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1、2022高考數(shù)學大二輪復習 專題8 解析幾何 第2講 綜合大題部分真題押題精練 文
1. (2017·高考全國卷Ⅰ)設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點,A與B的橫坐標之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設(shè)M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
解析:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,
于是直線AB的斜率k===1.
(2)由y=,得y′=.設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
設(shè)直線AB的方程為y=x+m,故線段AB的中點為N(2,2+m),
2、|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
當Δ=16(m+1)>0,
即m>-1時,x1,2=2±2.
從而|AB|=|x1-x2|=4.
由題設(shè)知|AB|=2|MN|,
即4=2(m+1),解得m=7.
所以直線AB的方程為y=x+7.
2.(2018·高考全國卷Ⅰ)設(shè)拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.
(1)當l與x軸垂直時,求直線BM的方程;
(2)證明:∠ABM=∠ABN.
解析:(1)當l與x軸垂直時,l的方程為x=2,可得點M的坐標為(2,2)或(2,-2).
所以直線BM的方
3、程為y=x+1或y=-x-1.
(2)證明:當l與x軸垂直時,AB為MN的垂直平分線,所以∠ABM=∠ABN.
當l與x軸不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.
由得ky2-2y-4k=0,
可知y1+y2=,y1y2=-4.
直線BM,BN的斜率之和為kBM+kBN=+=.①
將x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表達式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0.
所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補,所以∠ABM=∠ABN.
綜上,∠ABM=∠ABN.
3.(
4、2017·高考全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標原點,動點M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足= .
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設(shè)點Q在直線x=-3上,且·=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
解析:(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).
由= 得x0=x,y0=y(tǒng).
因為M(x0,y0)在C上,
所以+=1.
因此點P的軌跡方程為x2+y2=2.
(2)證明:由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則
=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,
=(
5、m,n),=(-3-m,t-n).
由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,
又由(1)知m2+n2=2,
故3+3m-tn=0.
所以·=0,即⊥.
又過點P存在唯一直線垂直于OQ,
所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
1. 已知動圓M恒過點(0,1),且與直線y=-1相切.
(1)求圓心M的軌跡方程;
(2)動直線l過點P(0,-2),且與點M的軌跡交于A,B兩點,點C與點B關(guān)于y軸對稱,求證:直線AC恒過定點.
解析:(1)由題意得點M與點(0,1)的距離始終等于點M與直線y=-1的距離,由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(0,1)為焦點,直線y=-1為
6、準線的拋物線,則=1,p=2.
∴圓心M的軌跡方程為x2=4y.
(2)證明:由題意知直線l的斜率存在,設(shè)直線l:y=kx-2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則C(-x2,y2),
由得x2-4kx+8=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=8.
kAC===,直線AC的方程為y-y1=(x-x1).
即y=y(tǒng)1+(x-x1)=x-+=x+,
∵x1x2=8,∴y=x+=x+2,
則直線AC恒過點(0,2).
2.已知橢圓E:+=1(a>b>0),過點(0,1)且離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線l:y=x+m與橢圓E交于A,C兩點,以AC為對角線作正
7、方形ABCD,記直線l與x軸的交點為N,問B,N兩點間的距離是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,請說明理由.
解析:(1)由題意可知,橢圓的焦點在x軸上,橢圓過點(0,1),則b=1.
由橢圓的離心率e== =,解得a=2,
所以橢圓E的標準方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),
線段AC的中點為M(x0,y0).
由
整理得x2+2mx+2m2-2=0.
由Δ=(2m)2-4(2m2-2)=8-4m2>0,
解得-
8、).
則|AC|= ×= ×
=.
l與x軸的交點為N(-2m,0),
所以|MN|= = ,
所以|BN|2=|BM|2+|MN|2=|AC|2+|MN|2=.故B,N兩點間的距離為定值.
3. 已知矩形EFCD,|EF|=2,|FC|=,以EF的中點O為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系xOy.
(1)求以E,F(xiàn)為焦點,且過C,D兩點的橢圓的標準方程;
(2)在(1)的條件下,過點F作直線l與橢圓交于不同的兩點A,B,設(shè)=λ,點T的坐標為(2,0),若λ∈[-2,-1],求|+|的取值范圍.
解析:(1)由題意得E(-1,0),F(xiàn)(1,0),C(1,),
設(shè)所求橢圓的標
9、準方程為+=1(a>b>0),
則2a=|CE|+|CF|=2>2,
所以a=,所以b2=a2-c2=1,
故橢圓的標準方程為+y2=1.
(2)易知直線l的斜率不為0,故可設(shè)直線l的方程為x=ky+1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得,(k2+2)y2+2ky-1=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1+y2=-, ①
y1y2=-, ②
因為=λ,所以=λ且λ<0,
將①的平方除以②,得++2=-,
所以λ++2=-,
由λ∈[-2,-1],得-≤λ+≤-2,
所以-≤λ++2≤0,
即-≤-≤0,解得k2≤,
即0≤k2≤.
因為=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以+=(x1+x2-4,y1+y2),
又y1+y2=-,x1+x2-4=k(y1+y2)-2=-.
故|+|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2
=+
=
=16-+.
令t=,因為0≤k2≤,
所以≤≤,即≤t≤,
則|+|2=16-28t+8t2=8(t-)2-,
因為≤t≤,所以|+|2∈[4,],
所以|+|∈[2,].
即|+|的取值范圍為[2,].