2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章 拓展資料：剖析演繹推理證明的幾種常見錯誤

2022年高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第1章 拓展資料：剖析演繹推理證明的幾種常見錯誤 1.偷換論題 例1求證四邊形的內(nèi)角和等于。 證明：設(shè)四邊形是矩形，則它的四個角都是直角，有 ， 所以，四邊形的內(nèi)角和等于。 剖析：上述推理過程是錯誤的。犯了偷換論題的錯誤。在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形。 正證：對于任意四邊形，連結(jié)對角線，則得。 因為三角形內(nèi)角和等于， ，， ， 又，， ， 四邊形的內(nèi)角和等于。 2.虛假論據(jù) 例2已知和是無理數(shù)，試證也是無理數(shù)。 錯證：依題設(shè)和是無理數(shù)， 而無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)， 所以也是無理數(shù)。 剖析：上述推理過程是錯誤的。犯了虛假論據(jù)的錯誤。使用的論據(jù)是：“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個論據(jù)是假的，因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)。因此，原題的真假性仍無法斷定。 正證：假設(shè)不是無理數(shù)，那么它就是有理數(shù)， 于是，存在互質(zhì)的正整數(shù)，使得，從而有， 因此，， 即， ， 即， ， 。 因為為互質(zhì)的正整數(shù)， 為有理數(shù)， 而為無理數(shù)， 矛盾，故假設(shè)不成立， 也是無理數(shù)。 3.循環(huán)論證 例3在中，求證：。 A C B D E L M F G H K 錯證：因為， =。 剖析：上述推理過程是錯誤的。犯了循環(huán)論證的錯誤。 本題的論證就是人們熟知的勾股定理。上述證明中用 了“”這個公式，按照現(xiàn)行中學(xué) 教材系統(tǒng)，這個公式是由勾股定理推出來的， 這就間接地用待證命題的真實性作為證明的論據(jù)， 犯了循環(huán)論證的錯誤。 正證：分別以的三邊 為邊向外作正方形。連 結(jié)，作。顯然，以為旋轉(zhuǎn)中 心，將逆時針旋轉(zhuǎn)，則與 重合，于是≌。 因為正方形同底等高， 且矩形同底等高， ， 即。 同理，， 即。 ， 即。 4.不能推出 例4設(shè)。 求證：。 錯證：因為=， 。 剖析：上述推理過程是錯誤的。犯了不能推出的錯誤。因為只能推出。至于關(guān)系式是否唯一地成立，卻無法斷定。因此，只有進(jìn)一步推出，即，原題才能得證。 正證：因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)， 又，且， ， 。 又因為=， 。