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2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第3章 拓展資料：點(diǎn)撥“反證法”
反證法是一種重要的間接證明方法，下面加以系統(tǒng)歸納，供參考．
1．宜用反證法證明的題型
?、僖讓?dǎo)出與已知矛盾的命題；②否定性命題；③惟一性命題；④至少至多型命題；⑤一些基本定理；⑥必然性命題等．
2．步驟
?、偌僭O(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）．
3．典例分析
例 求證：a、b、c為正實(shí)數(shù)的充要條件是，且和．
分析：由a、b、c是正實(shí)數(shù)，顯然易得，，．即“
2、必要性”的證明用直接證法易于完成，并不需要用反證法．證明“充分性”時(shí)，要綜合三個(gè)不等式推出a、b、c是正實(shí)數(shù)，有些難度，于是，試試反證法．
證明：（1）證必要性．（略）
（2）證充分性．假設(shè)a、b、c不全為正實(shí)數(shù)（原結(jié)論是a、b、c都是正實(shí)數(shù)），由于，則它們只能是二負(fù)一正．
不妨設(shè)且且，
又由于，
∵，∴．①
又∵，∴．②
而，
∴，與的假設(shè)矛盾．
∴假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a、b、c均為正實(shí)數(shù)．
說(shuō)明：如果從①處開始，如下進(jìn)行推理：
∵，即，又，∴．
則，與①式矛盾．
這樣，矛盾的焦點(diǎn)就發(fā)生在兩部分推理的結(jié)論上了，即自相矛盾；還可以讓矛盾的焦點(diǎn)發(fā)生在已知條件上，從②處開始，于是，與已知矛盾，這個(gè)途徑最簡(jiǎn)捷．
評(píng)注：反證法矛盾的焦點(diǎn)，可以是和“已知條件”或“定義”、“公理”、“定理”、“反面假設(shè)”矛盾，也可以自相矛盾（即兩部分推理的結(jié)果）．其本質(zhì)是，先利用的和剩余者之間的矛盾．究竟先利用哪些好，應(yīng)根據(jù)題目的具體情況決定．順其自然，因勢(shì)利導(dǎo)，不必拘泥于一格．
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