2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第3章 拓展資料：點撥“反證法”

2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第3章 拓展資料：點撥“反證法” 　　反證法是一種重要的間接證明方法，下面加以系統(tǒng)歸納，供參考． 　　1．宜用反證法證明的題型 　　①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；②否定性命題；③惟一性命題；④至少至多型命題；⑤一些基本定理；⑥必然性命題等． 　　2．步驟 　?、偌僭O(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）． 3．典例分析 　　例　求證：a、b、c為正實數(shù)的充要條件是，且和． 　　分析：由a、b、c是正實數(shù)，顯然易得，，．即“必要性”的證明用直接證法易于完成，并不需要用反證法．證明“充分性”時，要綜合三個不等式推出a、b、c是正實數(shù)，有些難度，于是，試試反證法． 　　證明：（1）證必要性．（略） 　?。?）證充分性．假設(shè)a、b、c不全為正實數(shù)（原結(jié)論是a、b、c都是正實數(shù)），由于，則它們只能是二負(fù)一正． 　　不妨設(shè)且且， 　　又由于， 　　∵，∴．① 　　又∵，∴．② 　　而， 　　∴，與的假設(shè)矛盾． 　　∴假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a、b、c均為正實數(shù)． 　　說明：如果從①處開始，如下進(jìn)行推理： 　　∵，即，又，∴． 　　則，與①式矛盾． 這樣，矛盾的焦點就發(fā)生在兩部分推理的結(jié)論上了，即自相矛盾；還可以讓矛盾的焦點發(fā)生在已知條件上，從②處開始，于是，與已知矛盾，這個途徑最簡捷． 評注：反證法矛盾的焦點，可以是和“已知條件”或“定義”、“公理”、“定理”、“反面假設(shè)”矛盾，也可以自相矛盾（即兩部分推理的結(jié)果）．其本質(zhì)是，先利用的和剩余者之間的矛盾．究竟先利用哪些好，應(yīng)根據(jù)題目的具體情況決定．順其自然，因勢利導(dǎo)，不必拘泥于一格．