2022中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 教材同步復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第14講 二次函數(shù)的綜合與應(yīng)用權(quán)威預(yù)測

2022中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 教材同步復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù) 第14講 二次函數(shù)的綜合與應(yīng)用權(quán)威預(yù)測 1．已知，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A(－1,0)和C(0,3)． (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使PA＋PC的值最?。咳绻嬖?，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由； (3)設(shè)點M在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△MAC是直角三角形時，求點M的坐標(biāo)． 解：(1)將A(－1,0)，C(0,3)代入y＝－x2＋bx＋c中， 得解得 ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3. (2)連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時PA＋PC取最小值，如答圖1所示． 當(dāng)y＝0時，有－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴點B的坐標(biāo)為(3,0)． ∵拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴拋物線的對稱軸為直線x＝1. 設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋d(k≠0)， 將B(3,0)，C(0,3)代入y＝kx＋d中， 得解得 ∴直線BC的解析式為y＝－x＋3. ∵當(dāng)x＝1時，y＝－x＋3＝2， ∴當(dāng)PA＋PC的值最小時，點P的坐標(biāo)為(1,2)． (3)設(shè)點M的坐標(biāo)為(1，m)， 則CM2＝1＋(m－3)2， AC2＝10， AM2＝4＋m2， 分三種情況討論： ①當(dāng)∠AMC＝90°時，有AC2＝AM2＋CM2，即10＝4＋m2＋1＋(m－3)2， 解得m1＝1，m2＝2， ∴點M的坐標(biāo)為(1,1)或(1,2)； ②當(dāng)∠ACM＝90°時，有AM2＝AC2＋CM2，即4＋m2＝10＋1＋(m－3)2，解得m＝， ∴點M的坐標(biāo)為(1，)； ③當(dāng)∠CAM＝90°時，有CM2＝AM2＋AC2，即1＋(m－3)2＝4＋m2＋10， 解得m＝－， ∴點M的坐標(biāo)為(1，－)． 綜上所述：當(dāng)△MAC是直角三角形時，點M的坐標(biāo)為(1,1)，(1,2)，(1，)或(1，－)． 答圖 2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)與x軸交于A(－3,0)，B(1,0)兩點，D是拋物線頂點，E是對稱軸與x軸的交點． (1)求拋物線的解析式； (2)若點F和點D關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，過點P作PQ∥OF交拋物線于點Q，是否存在以點O，F(xiàn)，P，Q為頂點的平行四邊形？若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)根據(jù)題意，得解得 ∴拋物線的解析式為y＝－x2－2x＋3. (2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴頂點坐標(biāo)D(－1,4)， ∴F(－1，－4)， 若以點O，F(xiàn)，P，Q為頂點的平行四邊形存在，則點Q(x，y)滿足|y|＝EF＝4， ①當(dāng)y＝－4時，－x2－2x＋3＝－4， 解得x＝－1±2， ∴Q1(－1－2，－4)，Q2(－1＋2，－4)， ∴P1(－2，0)，P2(2，0)； ②當(dāng)y＝4時，－x2－2x＋3＝4，解得x＝－1， ∴Q3(－1,4)，∴P3(－2,0)． 綜上所述，符合條件的點P的坐標(biāo)為(－2，0)或(2，0)或(－2,0)． 答圖