2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第3章 拓展資料：類比推理五角度

2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第3章 拓展資料：類比推理五角度 大數(shù)學(xué)家歐拉說過，類比是偉大的引路人．類比推理是合情推理的一種重要思維方式，是對知識規(guī)律探索中常用的思維方式，下面結(jié)合類比推理的五個角度分別給以例析． 一、概念類比 例1定義“等和數(shù)列”，在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列｛a｝等和數(shù)列，且，公和為5。那么的值為_______________，這個數(shù)列前n項和的計算公式為_______________。 解：∵｛a｝是等和數(shù)列，，公和為5， ∴，則，，…知，（n∈N*）。 ∴＝3，數(shù)列｛a｝形如：2，3，2，3，2，3，……。 ∴。 點評：這是一道新定義題，主要在于理解透定義，準確的給出對于n為奇數(shù)時，，本題類比等差數(shù)列定義給出“等和數(shù)列”定義，解決此類問題要認真理解所給出的定義，結(jié)合所學(xué)知識尋求正確解決方法。 二、性質(zhì)類比 例2⑴在等差數(shù)列 中，若，則有等式 成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立； 解析：， 又∵， ∴， 若，同理可得：， 相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，則可以類比推得： . 點評：通過等差數(shù)列的性質(zhì)類比等比數(shù)列的性質(zhì)，實質(zhì)是通過等差數(shù)列的等差中項公式，類比到等比數(shù)列的等比中項公式。本題中把握等差數(shù)列的性質(zhì)，類比等比數(shù)列的性質(zhì)，體現(xiàn)性質(zhì)的類似性，準確進行類比推理，類比推理是發(fā)現(xiàn)、探索新規(guī)律的必備知識，能充分體現(xiàn)考生觀察、分析，處理問題的能力. 三、運算方法類比 例3設(shè)，利用推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和的方法——倒序相加法，求的值。 解析：由， 設(shè)， 又， 所以：， ∴. 點評：本題是對過去所學(xué)方法進行類比，然后運用到要做的題目中. 四、結(jié)構(gòu)形式的類比 例4已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù) （1）如果函數(shù)的值域是，求； （2）研究函（常數(shù)）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由； （3）對函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論不必證明），并求函數(shù)（是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你研究得到的結(jié)論）。 解析：（1）因，故，即，則。 （2）設(shè)，則， 當(dāng)時，，即，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)；又因函數(shù)是偶函數(shù)，故同理可證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。 （3）因，故函數(shù)和推廣后的結(jié)論是：，①當(dāng)是奇數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間及區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間及上是單調(diào)遞增函數(shù)； ②當(dāng)是偶數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間及區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間及上是單調(diào)遞增函數(shù)。 又因函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，函數(shù)（當(dāng)且僅當(dāng)取等號），即函數(shù)在處取最小值；當(dāng)或時，函數(shù)取最大值，即函數(shù)在或處取最大值。 點評：本題在解答時，借助題設(shè)給出的特殊情形，即對函數(shù)的指數(shù)從1，2的特殊數(shù)值，向一般情形（任意正整數(shù)）的縱深進行推廣，從而達到了對觀察、類比、歸納、探究等能力進行了有效的考查。本題以函數(shù)的單調(diào)性、最值為載體，以考查能力為主線精心設(shè)置問題情境，解答時拾階而上，逐步深入，體現(xiàn)了高考以考查能力為宗旨的命題原則，是一道難得的好題。