（全國通用版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、 第一章 常用邏輯用語 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握充分條件、必要條件的判定方法.2.理解全稱量詞、存在量詞的含義，會(huì)判斷全稱命題、特稱命題的真假，會(huì)求含有一個(gè)量詞的命題的否定． 1．充分條件、必要條件和充要條件 (1)定義 一般地，若p則q為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)，我們就說，由p可推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件． 一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時(shí)，我們說，p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件． (2)特征 充分條件與必要條件具有以下兩個(gè)特征： ①對(duì)稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件； ②傳

2、遞性：若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的充分條件．即若p?q，q?r，則p?r.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性，但若p是q的充分條件，q是r的必要條件，則p與r的關(guān)系不能確定． 2．量　詞 (1)短語“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中通常稱為全稱量詞，通常用符號(hào)“?x”表示“對(duì)任意x”． (2)短語“有一個(gè)”“有些”“存在一個(gè)”“至少一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中通常稱為存在量詞，通常用符號(hào)“?x0”表示“存在x0”． 3．含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，含有存在量詞的命題叫做特稱命題． (1)“所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)”的否定“至少有一個(gè)奇數(shù)不是質(zhì)數(shù)”是

3、真命題．(√) (2)當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，也可說成q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立．(√) (3)當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件．(√) 類型一　充要條件 例1　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　(1)A　(2

4、)A 解析　(1)當(dāng)b＜0，且x＝－＞0時(shí)，f(x)取得最小值－，則f(x)的值域?yàn)?，則當(dāng)f(x)＝－時(shí)，f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等，故是充分條件；當(dāng)b＝0時(shí)，f(x)＝x2，f(f(x))＝x4的最小值都是0，故不是必要條件．故選A. (2)當(dāng)兩個(gè)平面內(nèi)的直線相交時(shí)，這兩個(gè)平面有公共點(diǎn)， 即兩個(gè)平面相交；但當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，兩個(gè)平面內(nèi)的直線不一定有交點(diǎn)． 反思與感悟　分清條件與結(jié)論，準(zhǔn)確判斷p?q，還是q?p. 跟蹤訓(xùn)練1　已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若q是p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0

5、)， 得1－m≤x≤1＋m. 由≤2，得－2≤x≤10. 由q是p的必要不充分條件知， p是q的充分不必要條件，∴ 且不等式組中的等號(hào)不能同時(shí)成立，得m≥9. 類型二　含有一個(gè)量詞的命題 例2 下列命題中的假命題是(　　) A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0 C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2 答案　B 解析　當(dāng)x∈N*時(shí)，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，故B不正確；易知A，C，D正確，故選B. 反思與感悟　判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)

6、元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成立． 跟蹤訓(xùn)練2 下列命題中的真命題是(　　) A．?x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝ B．?x∈R，－1≤sin x≤1 C．?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0 D．?x∈(0，π)，sin x>cos x 答案　B 解析　因?yàn)閟in x＋cos x＝sin≤<，故A錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)的值域可知B正確；當(dāng)x<0時(shí)，y＝2x的圖象在y＝3x的圖象上方，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí)，sin x

7、) A．?x0∈R，＜0 B．?x∈R，x≤0 C．?x∈R，x＜0 D．?x0∈R，≤0 答案　D 解析　全稱命題的否定是特稱命題，“>”的否定是“≤”． (2)命題“?x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定形式是(　　) A．?x∈R,1＜f(x)≤2 B．?x0∈R,1＜f(x0)≤2 C．?x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)＞2 D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2 答案　D 解析　特稱命題的否定是全稱命題，原命題的否定形式為“?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”． 反思與感悟　對(duì)全(特)稱命題進(jìn)行否定的方法 (1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的

8、要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞； (2)對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定． 跟蹤訓(xùn)練3　已知命題p：“?x0∈R，－x0－1≤0”，則命題p的否定為(　　) A．?x0∈R，－x0－1≥0 B．?x0∈R，－x0－1>0 C．?x∈R，ex－x－1>0 D．?x∈R，ex－x－1≥0 答案　C 解析　根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系，可得命題p的否定為“?x∈R，ex－x－1>0”，故選C. 1．設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　x＞y?x

9、＞|y|(如x＝1，y＝－2)， 但當(dāng)x＞|y|時(shí)，能有x＞y. ∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分條件． 2．“0≤m≤1”是“函數(shù)f(x)＝cos x＋m－1有零點(diǎn)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　方法一　若0≤m≤1，則0≤1－m≤1， ∴cos x＝1－m有解． 要使函數(shù)f(x)＝cos x＋m－1有零點(diǎn)， 只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故選A. 方法二　函數(shù)f(x)＝cos x＋m－1有零點(diǎn)， 則|m－1|≤1，解得0≤m≤2， ∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m

10、≤2}． ∴“0≤m≤1”是“函數(shù)f(x)＝cos x＋m－1”有零點(diǎn)的充分不必要條件． 3．已知命題“?x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1,3) C．(－3，＋∞) D．(－3,1) 答案　B 解析　原命題的否定為?x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由題意知，其為真命題，即Δ＝(a－1)2－4×2×＜0， 則－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3. 4．對(duì)任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(－∞，0] 解析　由x2－a≥0，得a≤x2，故a

11、≤(x2)min，得a≤0. 5．已知命題“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________． 答案　 解析　由“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定為假命題，可知原命題必為真命題，即不等式x2－5x＋a>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．設(shè)f(x)＝x2－5x＋a，則其圖象恒在x軸的上方，故Δ＝25－4×a<0， 解得a>，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (1)判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x＝x0，使p(x0)成立． (2)對(duì)全(特)稱命題進(jìn)行

12、否定的方法 ①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義先加上量詞，再改變量詞； ②對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定． 一、選擇題 1．“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“直線l垂直于平面α”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 2．下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是(　　) A．有一個(gè)α，使tan(90°－α)＝ B．存在實(shí)數(shù)x0，使sin x0＝ C．對(duì)一切α，sin(180°－α)＝sin α D．sin 15°＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45° 答案　A 3．

13、命題“有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)”的否定是(　　) A．?x∈R，|x|＞0 B．?x0∈R，|x0|＞0 C．?x∈R，|x|≤0 D．?x0∈R，|x0|≤0 答案　C 4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若x＝4，則a＝(4,3)， ∴|a|＝＝5， 若|a|＝5，則＝5， ∴x＝±4， 故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要條件． 5．王昌齡的《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“

14、攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的(　　) A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要條件．故選B. 6．命題“?x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x C．?x0?R，x≠x0 D．?x0∈R，x＝x0 答案　D 解析　全稱命題的否定是特稱命題，所以“?x∈R，x2≠x”的否定為“?x0∈R，x＝x0”． 二、填空題 7．若命題p：常數(shù)列是等差數(shù)列，則其否定為：______________________________________. 答案

15、　存在一個(gè)常數(shù)列，不是等差數(shù)列 解析　全稱命題的否定是特稱命題． 8．設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的________條件．(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案　充分不必要 解析　當(dāng)x>1，y>1時(shí)，x＋y>2一定成立，即p?q， 當(dāng)x＋y>2時(shí)，可令x＝－1，y＝4，則x＞1且y＞1不成立，即qD?/p， 故p是q的充分不必要條件． 9．已知命題p：a≤x≤a＋1，命題q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________． 答案　(0,3) 解析　令M＝{x|a≤x≤a＋

16、1}， N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}． ∵p是q的充分不必要條件，∴MN(yùn)， ∴解得0＜a＜3. 10．定義f(x)＝{x}({x}表示不小于x的最小整數(shù))為“取上整函數(shù)”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函數(shù)”在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費(fèi)，出租車收費(fèi)等都是按照“取上整函數(shù)”進(jìn)行計(jì)費(fèi)的．以下關(guān)于“取上整函數(shù)”的性質(zhì)是真命題的序號(hào)是________． ①f(2x)＝2f(x)；②若f(x)＝f(y)，則x－y<1； ③任意x，y∈R，f(x＋y)≤f(x)＋f(y)；④f(x)＋f＝f(2x)；⑤函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． 答案　②③ 解析　根據(jù)

17、新定義“取上整函數(shù)”的意義f(2x)＝2f(x)不一定成立，如x取1.5；f(x)＋f＝f(2x)不一定成立，如x取0；函數(shù)f(x)不滿足奇函數(shù)的關(guān)系，如f(1.6)＝f(2)，f(－1.6)＝f(－1)．故答案為②③. 三、解答題 11．設(shè)p：2x2－3x＋1≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　由題意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1. ∵q是p的必要不充分條件， ∴或 ∴0≤a≤. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 12．求證：函數(shù)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函數(shù)的充要條件是a＝0. 證明　先證充分性，若a＝

18、0，則函數(shù)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函數(shù)． 因?yàn)閍＝0，所以f(x)＝x2＋|x|＋1(x∈R)． 因?yàn)閒(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1， 所以f(x)是偶函數(shù)． 再證必要性，若f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函數(shù)，則a＝0. 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)， 即(－x)2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1， 從而|x－a|＝|x＋a|，即(x－a)2＝(x＋a)2， 展開并整理，得ax＝0.因?yàn)閤∈R，所以a＝0. 13．已知c>0，設(shè)p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集為R.如果p和q有

19、且僅有一個(gè)為真命題，求c的取值范圍． 解　函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減等價(jià)于01的解集為R 等價(jià)于函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1. ∵x＋|x－2c|＝ ∴函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上的最小值為2c， ∴2c>1，得c>. 如果p真q假，則解得0

20、必要條件 答案　A 解析　由直線l：y＝kx＋1與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，易知k≠0，且圓心O到直線l的距離d＝＜1， 所以|AB|＝2＝2＝2. 若k＝1，則|AB|＝，d＝， 所以△OAB的面積為××＝. 反過來，若△OAB的面積為， 則S＝××2＝＝， 解得k＝±1. 故“k＝1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件． 15．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式m＋f(x)＞0對(duì)任意x∈R恒成立？說明理由． (2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)不等式m＋f(x)＞0可化為m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4對(duì)任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在實(shí)數(shù)m，使不等式m＋f(x)＞0對(duì)任意x∈R恒成立， 此時(shí)，只需m＞－4. (2)不等式m－f(x0)＞0可化為m＞f(x0)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式m＞f(x0)成立，則只需m＞f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4， ∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)． 11