2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 第二章 2.5 直線與圓的位置關(guān)系練習(xí) （新版）湘教版

2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 第二章 2.5 直線與圓的位置關(guān)系練習(xí) （新版）湘教版 基礎(chǔ)題 知識點1　直線與圓的位置關(guān)系的判定 1．下圖中直線l是⊙O的切線的是(C) 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以點C為圓心，以2.5 cm為半徑畫圓，則⊙C與直線AB的位置關(guān)系是(A) A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定 3．如圖為平面上⊙O與四條直線l1，l2，l3，l4的位置關(guān)系．若⊙O的半徑為2 cm，且O點到其中一條直線的距離為2.2 cm，則這條直線是(C) A．ll B．l2 C．l3 D．l4 4．如圖，已知點A，B在半徑為1的⊙O上，∠AOB＝60°，延長OB至C，過點C作直線OA的垂線記為l，則下列說法正確的是(D) A．當(dāng)BC等于0.5時，l與⊙O相離 B．當(dāng)BC等于2時，l與⊙O相切 C．當(dāng)BC等于1時，l與⊙O相交 D．當(dāng)BC不為1時，l與⊙O不相切 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(－3，4)為圓心，4為半徑的圓(C) A．與x軸相交，與y軸相切 B．與x軸相離，與y軸相交 C．與x軸相切，與y軸相交 D．與x軸相切，與y軸相離 6．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB為直徑的圓，則直線DC與⊙O的位置關(guān)系是相離． 7．(教材P65例1變式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有何種位置關(guān)系？請你寫出判斷過程． (1)r＝1.5 cm；(2)r＝ cm；(3)r＝2 cm. 解：(1)相離．判斷過程略． (2)相切．判斷過程略． (3)相交．判斷過程略． 知識點2　直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì) 8．已知，⊙O的直徑等于12 cm，圓心O到直線l的距離為5 cm，則直線l與⊙O的交點個數(shù)為(C) A．0 B．1 C．2 D．無法確定 9．已知⊙O的半徑為5，直線l是⊙O的切線，則點O到直線l的距離是(C) A．2.5 B．3 C．5 D．10 10．已知⊙O的半徑為4，直線l與⊙O不相交，則圓心到直線l的距離d一定滿足(C) A．d＞4 B．d＝4 C．d≥4 D．d≤4 易錯點　直線與圓的位置關(guān)系未考慮全面而漏解 11．已知⊙O半徑為2，直線l上有一點P滿足PO＝2，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切與相交． 中檔題 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為(－3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為(B) A．1 B．1或5 C．3 D．5 13．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點O為邊AD的中點．如果以點O為圓心，r為半徑的圓與對角線BD所在的直線相切，那么r的值是． 14．已知⊙O的半徑是5，圓心O到直線AB的距離為2，則⊙O上有且只有3個點到直線AB的距離為3. 15．已知圓心O到直線m的距離為d，⊙O的半徑為r. (1)當(dāng)d，r是方程x2－9x＋20＝0的兩根時，判斷直線m與⊙O的位置關(guān)系？ (2)當(dāng)d，r是方程x2－4x＋p＝0的兩根時，直線m與⊙O相切，求p的值． 解：(1)解方程x2－9x＋20＝0，得d＝5，r＝4或d＝4，r＝5. 當(dāng)d＝5，r＝4時，d＞r，此時直線m與⊙O相離． 當(dāng)d＝4，r＝5時，d＜r，此時直線m與⊙O相交． (2)當(dāng)直線m與⊙O相切時，d＝r，(x1－x2)2＝0＝(x1＋x2)2－4x1x2， 即16－4p＝0，解得p＝4. 16．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝6，O是AB邊上的一動點，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓． (1)設(shè)OA＝x，則x為多少時，⊙O與BC相切？ (2)當(dāng)⊙O與直線BC相離或相交時，分別寫出x的取值范圍． 解：(1)在Rt△ABC中， ∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝6， ∴AB＝12. 若⊙O與BC相切于點D，過點O作OD⊥BC，則 OD＝OA. ∵OB＝12－x. ∴OD＝OB＝6－x. ∴6－x＝x. 解得x＝4. ∴當(dāng)x＝4時，⊙O與BC相切． (2)當(dāng)⊙O與直線BC相離時，0＜x＜4； 當(dāng)⊙O與直線BC相交時，4＜x≤12. 綜合題 17．設(shè)邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的⊙O的圓心O在直線l上運動，點A，O間距離為d. 圖1　　　　　　　圖2　　　　　　　圖3 (1)如圖1，當(dāng)r＜a時，根據(jù)d與a，r之間關(guān)系，將⊙O與正方形的公共點個數(shù)填入下表： d，a，r之間關(guān)系 公共點的個數(shù) d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a－r＜d＜a＋r 2 d＝a－r 1 d＜a－r 0 所以，當(dāng)r＜a時，⊙O與正方形的公共點的個數(shù)可能有0，1，2個； (2)如圖2，當(dāng)r＝a時，根據(jù)d與a，r之間關(guān)系，將⊙O與正方形的公共點個數(shù)填入下表： d，a，r之間關(guān)系 公共點的個數(shù) d＞a＋r 0 d＝a＋r 1 a≤d＜a＋r 2 d＜a 4 所以，當(dāng)r＝a時，⊙O與正方形的公共點個數(shù)可能有0，1，2，4個； (3)如圖3，當(dāng)⊙O與正方形有5個公共點時，試說明：r＝a. 解：連接OC.則OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r.在Rt△OCF中，由勾股定理，得 OF2＋FC2＝OC2，即(2a－r)2＋a2＝r2，4a2－4ar＋r2＋a2＝r2，5a2＝4ar，5a＝4r. ∴r＝a. 第2課時　切線的性質(zhì) 基礎(chǔ)題 知識點　圓的切線的性質(zhì) 1．如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，OP＝4，∠APO＝30°，則⊙O的半徑為(C) A．1 B. C．2 D．4 2．如圖，AB是⊙O的弦，BC與⊙O相切于點B，連接OA.若∠ABC＝70°，則∠A等于(C) A．10° B．15° C．20° D．30° 3．如圖，△ABC的邊AC與⊙O相交于C，D兩點，且經(jīng)過圓心O，邊AB與⊙O相切，切點為B.已知∠A＝30°，則∠C的大小是(A) A．30° B．45° C．60° D．40° 　 4．如圖，兩個同心圓的半徑分別為4 cm和5 cm，大圓的一條弦AB與小圓相切，則弦AB的長為(C) A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 5．(xx·眉山)如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，線段PO交⊙O于點C，連接BC.若∠P＝36°，則∠B等于(A) A．27° B．32° C．36° D．54° 6．(教材P69練習(xí)T2變式)如圖所示，⊙O與AC相切于點A，且AB＝AC，BC與⊙O相交于點D，下列說法不正確的是(D) A．∠C＝45° B．CD＝BD C．∠DAB＝∠DAC D．CD＝AB 7．(xx·湘潭)如圖，AB是⊙O的切線，點B為切線．若∠A＝30°，則∠AOB＝60°． 8．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，MN與⊙O相切，切點為A.若∠MAB＝30°，則∠B＝60°. 9．如圖，在等腰△OAB中，OA＝OB，以點O為圓心作圓與底邊AB相切于點C.求證：AC＝BC. 證明：∵AB切⊙O于點C， ∴OC⊥AB. ∵OA＝OB，∴AC＝BC. 10．(教材P69練習(xí)T2變式)如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點B，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，AD的延長線交BC于點C. (1)求∠BAC的度數(shù)； (2)求證：AD＝CD. 解：(1)∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵直線BC與⊙O相切于點B， ∴∠ABC＝90°. ∴∠ABD＝45°. ∴∠BAC＝180°－90°－45°＝45°. (2)證明：∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠C＝45°.∴AB＝CB. 又∵BD⊥AC，∴AD＝CD. 中檔題 11．(xx·泰安)如圖，BM與⊙O相切于點B.若∠MBA＝140°，則∠ACB的度數(shù)為(A) A．40° B．50° C．60° D．70° 12．如圖，已知線段OA交⊙O于點B，且OB＝AB，點P是⊙O上的一個動點，那么∠OAP的最大值是(A) A．30° B．45° C．60° D．90° 13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，過C點的切線與AB的延長線交于P點．若∠P＝40°，則∠D的度數(shù)為115°． 14．如圖，一個邊長為4 cm的等邊三角形ABC的高與⊙O的直徑相等，⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點E，則CE的長為3cm. 15．如圖，在⊙O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點，連接AD，BC，BD. (1)求證：△ABD≌△CDB； (2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度數(shù)． 解：(1)證明：∵AB，CD是直徑， ∴∠ADB＝∠CBD＝90°. 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)． (2)∵BE是切線， ∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°. ∴∠ABD＋∠DBE＝90°. ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠DBE. ∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠CDA. ∴∠ADC的度數(shù)為37°. 16．如圖，AC是⊙O的直徑，四邊形ABCD是平行四邊形，AD，BC分別交⊙O于點F，E，連接AE，CF. (1)試判斷四邊形AECF是哪種特殊的四邊形，并說明理由； (2)若AB與⊙O相切于點A，且⊙O的半徑為5 cm，弦CE的長為8 cm，求AB的長． 解：(1)四邊形AECF是矩形．理由如下： ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AF∥EC.∴∠EAF＝∠AEC＝90°. ∴四邊形AECF是矩形． (2)∵AB與⊙O相切于點A，∴∠BAC＝90°. ∵∠ACE＝∠BCA. ∴Rt△CAE∽Rt△CBA. ∴CA∶CB＝CE∶CA，即10∶CB＝8∶10. ∴CB＝，AB＝＝. 綜合題 17．(xx·婁底)如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的點，＝，弦CD交AB于點E. (1)當(dāng)PB是⊙O的切線時，求證：∠PBD＝∠DAB； (2)求證：BC2－CE2＝CE·DE； (3)已知OA＝4，E是半徑OA的中點，求線段DE的長． 解：(1)證明：∵AB是直徑， ∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°. 又∵PB是⊙O的切線， ∴PB⊥AB. ∴∠ABP＝90°，即∠ABD＋∠PBD＝90°. ∴∠PBD＝∠DAB. (2)證明：∵＝， ∴∠EBC＝∠BDC. 又∵∠BCE＝∠BCD， ∴△BCE∽△DCB. ∴＝. ∴BC2＝CE·CD. ∴BC2＝CE·(CE＋DE)． ∴BC2＝CE2＋CE·DE. ∴BC2－CE2＝CE·DE. (3)連接OC. ∵E是OA的中點， ∴AE＝OE＝2. ∴BE＝4＋2＝6. ∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°. 在Rt△COE中，OC＝4，OE＝2， 由勾股定理，得CE＝2. ∵＝. ∴∠DAB＝∠BCD. 又∵∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE. ∴＝. ∴＝. ∴DE＝. *2.5.3　切線長定理 基礎(chǔ)題 知識點　切線長定理 1．如圖，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點．如果∠PAB＝60°，PA＝2，那么AB的長為(B) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A，B.如果OP＝2，OA＝1，那么PB等于(C) A．1 B．2 C. D．2 3．如圖，PA，PB是⊙O的切線，切點為A，B.若OP＝4，PA＝2，則∠AOB的度數(shù)為(C) A．60° B．90° C．120° D．無法確定 4．如圖，AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD，CE分別與⊙O相切于點D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，則CE＝2． 5．如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點．若∠APB＝60°，PO＝2，則⊙O的半徑等于1． 6．如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA和⊙O相切，且AB＝8 cm，CD＝5 cm，則AD＋BC＝13cm. 7．如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，連接PO與⊙O相交于點C，連接AC，BC，求證：AC＝BC. 證明：∵PA，PB分別切⊙O于點A，B， ∴PA＝PB， ∠APC＝∠BPC. 又∵PC＝PC， ∴△APC≌△BPC(SAS)． ∴AC＝BC. 8．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P＝60°. (1)求∠BAC的度數(shù)； (2)當(dāng)OA＝2時，求AB的長． 解：(1)∵PA，PB是⊙O的切線， ∴AP＝BP， ∠PAC＝90°. 又∵∠P＝60°， ∴∠PAB＝60°. ∴∠BAC＝∠PAC－∠PAB＝30°. (2)連接OP. 在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°. ∴OP＝4. 由勾股定理，得AP＝2. ∵AP＝BP，∠APB＝60°， ∴△APB是等邊三角形． ∴AB＝AP＝2. 中檔題 9．(教材P71例5變式)如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點，連接BD，AD.若∠ACD＝30°，則∠DBA的大小是(D) A．15° B．30° C．60° D．75° 10．如圖，⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長度為(D) A．8 B．9 C．10 D．11 11．如圖，AE，AD和BC分別切⊙O于點E，D，F(xiàn).如果AD＝20，那么△ABC的周長為(C) A．20 B．30 C．40 D．50 12．如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，連接PO，與AB相交于點D，C是⊙O上一點，∠C＝60°. (1)求∠APB的大??； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面積． 解：(1)∵∠C＝60°， ∴∠AOB＝120°. ∵PA，PB分別切⊙O于點A，B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠APB＝60°. (2)∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，∴PA＝PB. ∴點P在AB的垂直平分線上．同理，點O在AB的垂直平分線上．∴PO垂直平分AB. ∵∠APB＝60°，∠AOB＝120°， ∴∠OPB＝∠OPA＝30°，∠POB＝∠POA＝60°. ∵PO＝20 cm，∴OB＝10 cm. ∴OD＝OB·cos∠POB＝5 cm. ∴BD＝OB·sin∠POB＝5 cm. ∴AB＝2BD＝10 cm. ∴S△AOB＝×10×5＝25 cm2. 13．(教材P72練習(xí)T1變式)如圖，直線AB，BC，CD分別與⊙O相切于點E，F(xiàn)，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求： (1)∠BOC的度數(shù)； (2)BE＋CG的長； (3)⊙O的半徑． 解：(1)連接OF. 根據(jù)切線長定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∴∠OBC＋∠OCF＝90°. ∴∠BOC＝90°. (2)由(1)知，∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理，得BC＝＝10 cm. ∴BE＋CG＝BC＝10 cm. (3)∵OF⊥BC，由面積相等，得OF＝＝4.8 cm. 綜合題 14．如圖，AD∥BC，AB⊥BC，以AB為直徑的⊙O與DC相切于E.已知AB＝8，邊BC比AD大6. (1)求邊AD，BC的長； (2)在直徑AB上是否存在一動點P，使以A，D，P為頂點的三角形與△BCP相似？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由． 解：(1)過點D作DF⊥BC于F， 在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，F(xiàn)C＝BC－AD＝6， ∴DC2＝62＋82＝100，即DC＝10. 設(shè)AD＝x，則DE＝AD＝x，EC＝BC＝x＋6， ∴x＋(x＋6)＝10. ∴x＝2.∴AD＝2，BC＝2＋6＝8. (2)存在符合條件的P點．設(shè)AP＝y(tǒng)，則BP＝8－y，△ADP與△BCP相似，有兩種情況： ①△ADP∽△BCP時，有 ＝，即＝，∴y＝. ②△ADP∽△BPC時，有 ＝，即＝.∴y＝4. 故存在符合條件的點P，此時AP＝或4. 2.5.4　三角形的內(nèi)切圓 基礎(chǔ)題 知識點1　三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心及作圖 1．已知△ABC的內(nèi)切圓O和各邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，則點O是△DEF的(D) A．三條中線的交點 B．三條高的交點 C．三條角平分線的交點 D．三條邊的中垂線的交點 2．關(guān)于三角形的內(nèi)心：①到三邊的距離相等；②到三個頂點的距離相等；③是三邊垂直平分線的交點；④是三條內(nèi)角平分線的交點．其中正確的說法有(B ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．如圖，某石油公司計劃在三條公路圍成的一塊平地上建一個加油站，綜合各種因素，要求這個加油站到三條公路的距離相等，則應(yīng)建在(A) A．△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點處 B．△ABC的三條高線的交點處 C．△ABC三邊的中垂線的交點處 D．△ABC的三條中線的交點處 4．若三角形的內(nèi)心和外心重合，那么這個三角形是(D) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 5．制作鐵皮桶，需在一塊三角形材料上截取一個面積最大的圓，請畫出該圓．(保留作圖痕跡，不要求寫作法) 解：⊙O即為所求作的圓． 知識點2　三角形的內(nèi)心、內(nèi)切圓的有關(guān)計算與證明 6．(xx·眉山)如圖，在△ABC中，∠A＝66°，點I是內(nèi)心，則∠BIC的大小為(C) A．114° B．122° C．123° D．132° 7．等邊三角形外接圓的半徑為2，那么它內(nèi)切圓的半徑為(A) A．1 B. C. D．2 8．(xx·湖州)如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC邊相切于點D，連接OB，OD.若∠ABC＝40°，則∠BOD的度數(shù)是70°． 9．如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，CA于點D，E，F(xiàn)，設(shè)⊙O的半徑為r，BC＝a，CA＝b，AB＝c.求證：S△ABC＝r(a＋b＋c)． 證明：連接OA，OB，OC，OD，OE，OF. ∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓， ∴OD＝OE＝OF＝r. ∵S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△COA， ∴S△ABC＝cr＋ar＋br＝r(a＋b＋c)． 10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點． (1)求證：四邊形ODCE是正方形； (2)如果AC＝6，BC＝8，求內(nèi)切圓⊙O的半徑． 解：(1)證明：∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓， ∴OD⊥BC，OE⊥AC. 又∠C＝90°， ∴四邊形ODCE是矩形． ∵OD＝OE， ∴四邊形ODCE是正方形． (2)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝＝10. 由切線長定理，得AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE， ∴CD＋CE＝BC＋AC－BD－AE＝BC＋AC－AB＝4，則CE＝2. 即⊙O的半徑為2. 易錯點　內(nèi)心與外心概念混淆不清 11．如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，點P是△ABC的內(nèi)心，∠A＝50°，則∠BPC的度數(shù)為115°． 中檔題 12．《九章算術(shù)》中“今有勾七步，股有二十四步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為7步，股(長直角邊)長為24步，問該直角三角形的容圓(內(nèi)切圓)直徑是多少？”(C) A．4步 B．5步 C．6步 D．8步 13．(xx·威海)如圖，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足為D，⊙E是△ACD的內(nèi)切圓，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)為135°． 14．已知，在△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn). (1)若∠A＝60°，求∠FDE的度數(shù)； (2)若∠A＝130°，求∠FDE的度數(shù)； (3)你能猜想出∠FDE與∠A有什么數(shù)量關(guān)系嗎？不需要證明． 解：(1)連接IE，IF. ∵內(nèi)切圓I和邊BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)， ∴∠AEI＝∠AFI＝90°. ∵∠A＝60°， ∴∠EIF＝360°－∠AEI－∠AFI－∠A＝120°. ∴∠FDE＝∠EIF＝60°. (2)方法同上，∠EIF＝50°. ∴∠FDE＝∠EIF＝25°. (3)∠FDE＝90°－∠A. 15．如圖所示，已知△ABC的內(nèi)心為I，外心為O. (1)試找出∠A與∠BOC，∠A與∠BIC的數(shù)量關(guān)系； (2)由(1)題的結(jié)論寫出∠BOC與∠BIC的關(guān)系． 解：(1)∠A＝∠BOC. ∵I是△ABC的內(nèi)心， ∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB. ∴∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB) ＝180°－(∠ABC＋∠ACB) ＝180°－(180°－∠A) ＝90°＋∠A. (2)∠BIC＝90°＋∠A ＝90°＋×∠BOC ＝90°＋∠BOC. 綜合題 16．如圖，有一塊三角形余料ABC，∠B＝90°，BC＝3 m，AB＝4 m，現(xiàn)有兩種余料的再利用方案，分別制作正方形和圓形桌面． 方案一，如圖1，作正方形DEFB，使它的四個頂點都在△ABC邊上； 方案二，如圖2，作△ABC的內(nèi)切圓O，它與三邊分別相切于點G，H，I. 請通過計算，比較哪種方案的利用率高． 圖1　　　　　　　圖2 解：設(shè)DE＝x，則AD＝4－x， ∵DE⊥AB，∴△ADE∽△ABC. ∴＝，即＝.解得x＝. ∴S正方形DEFB＝()2＝. ∵△ABC中，∠B＝90°，BC＝3 m，AB＝4 m， ∴AC＝5 m. ∵點O是△ABC的內(nèi)心，∴OI＝OG＝OH＝r. ∴(AB＋BC＋AC)·r＝AB·BC，即 (4＋3＋5)r＝4×3，解得r＝1. ∴S⊙O＝π. ∵＜π，∴方案二的利用率高． 2.5.2　圓的切線 第1課時　切線的判定 基礎(chǔ)題 知識點　圓的切線的判定 1．下列直線中，能判定為圓的切線的是(D) A．與圓有公共點的直線 B．過圓的半徑的外端點的直線 C．垂直于圓的半徑的直線 D．經(jīng)過直徑的一個端點，且垂直于這條直徑的直線 2．如圖，A是圓O上一點，AO＝5，PO＝13，AP＝12，則PA與圓O的位置關(guān)系是(C) A．無法確定 B．相交 C．相切 D．相離 3．如圖，△ABC的一邊AB是⊙O的直徑，請你添加一個條件，使得BC是⊙O的切線，你所添加的條件為AB⊥BC. 4．如圖，A，B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線．如果∠AOB＝120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°時，AC才能成為⊙O的切線． 5．(xx·邵陽)如圖所示，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，過點B作BD⊥CD，垂足為D，連接BC，BC平分∠ABD.求證：CD為⊙O的切線． 證明：∵BC平分∠ABD， ∴∠OBC＝∠DBC. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∴∠DBC＝∠OCB.∴OC∥BD. ∵BD⊥CD，∴OC⊥CD. 又∵OC為⊙O的半徑， ∴CD為⊙O的切線． 6．如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，D在AB的延長線上，且∠DCB＝∠A.求證：CD是⊙O的切線． 證明：連接OC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°. ∴∠A＋∠ABC＝90°. 又∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB. 又∵∠DCB＝∠A， ∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠OCB＝90°. ∴OC⊥DC. 又∵OC是⊙O的半徑， ∴CD是⊙O的切線． 7．(教材P67練習(xí)T2變式)如圖，在△ABO中，OA＝OB，C是邊AB的中點，以O(shè)為圓心的圓過點C. (1)求證：AB與⊙O相切； (2)若∠AOB＝120°，AB＝4，求⊙O的面積． 解：(1)證明：連接CO. ∵AO＝BO， ∴△AOB是等腰三角形． ∵C是邊AB的中點， ∴OC⊥AB. ∵OC是⊙O的半徑， ∴AB與⊙O相切． (2)在等腰△AOB中，∠AOB＝120°， ∴∠A＝∠B＝30°. ∵C是邊AB的中點，AB＝4，∴AC＝2. 在Rt△ACO中，∠ACO＝90°，∠A＝30°，AC＝2， ∴OC＝AC＝2. ∴S＝π×22＝4π. 易錯點　判斷圓和各邊相切時考慮不全面而漏解 8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)有一矩形OABC，B(4，2)，現(xiàn)有一圓同時和這個矩形的三邊都相切，則此圓的圓心P的坐標(biāo)為(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)． 中檔題 9．如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，DE⊥AC于點E，要使DE是⊙O的切線，還需補充一個條件，則補充的條件不正確的是(A) A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD 10．如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上的一點．若∠BAC＝∠CAM，過點C作直線l垂直于射線AM，垂足為D.試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由． 解：直線CD與⊙O相切．理由如下： 連接OC. ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA. ∵∠BAC＝∠CAM， ∴∠OCA＝∠CAM.∴OC∥AM. ∵CD⊥AM，∴OC⊥CD. ∵OC為半徑， ∴直線CD與⊙O相切． 11．(1)如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CAE＝∠B，試說明AE與⊙O相切于點A； (2)在圖2中，若AB為非直徑的弦，∠CAE＝∠B，AE還與⊙O相切于點A嗎？請說明理由． 圖1　　　　　　　　　圖2 解：(1)證明：∵AB為直徑， ∴∠ACB＝90°. ∴∠B＋∠BAC＝90°.而∠CAE＝∠B， ∴∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°. ∴OA⊥AE. 又∵OA是⊙O的半徑， ∴AE與⊙O相切于點A. (2)AE還與⊙O相切于點A.理由如下： 作直徑AD，連接DC， ∴∠D＋∠DAC＝90°. ∵∠B＝∠D，而∠CAE＝∠B， ∴∠CAE＋∠DAC＝90°，即∠DAE＝90°. ∴OA⊥AE. 又∵OA是⊙O的半徑， ∴AE與⊙O相切于點A. 綜合題 12．如圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點A，BC與⊙O相交于點D，在AC上取一點E，使得ED＝EA. (1)求證：ED是⊙O的切線； (2)當(dāng)OA＝3，AE＝4時，求BC的長度． 解：(1)證明：連接OD. ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， 即∠OAE＝90°. 在△AOE與△DOE中， ∴△AOE≌△DOE(SSS)． ∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED. 又∵OD是⊙O的半徑， ∴ED是⊙O的切線． (2)∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°. ∴∠ADC＝90°. ∴∠ADE＋∠CDE＝90°，∠DAE＋∠ACD＝90°. ∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE. ∴∠CDE＝∠ACD. ∴DE＝CE. 又AE＝DE， ∴AE＝CE. ∴AC＝2AE＝8. ∵OA＝3，∴AB＝6. 在Rt△ABC中， BC＝＝＝10. ∴BC的長度是10.