《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時(shí)訓(xùn)練 選修4-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時(shí)訓(xùn)練 選修4-2(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時(shí)訓(xùn)練 選修4-2
1. 已知矩陣A=,B=滿足AX=B,求矩陣X.
解:設(shè)X=,由=得
解得所以X=.
2. 已知變換矩陣A:平面上的點(diǎn)P(2,-1),Q(-1,2)分別變換成點(diǎn)P1(3,-4),Q1(0,5),求變換矩陣A.
解:設(shè)所求的變換矩陣A=,依題意,可得
=及 =,
即解得
所以所求的變換矩陣A=.
3. 已知M=,N=,求二階矩陣X,使MX=N.
解:設(shè)X=,
由題意有=,
根據(jù)矩陣乘法法則有解得
∴ X=.
4. 曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=的作用下變換為曲線x2-2y2=1,求實(shí)數(shù)a,b的值
2、.
解:設(shè)P(x,y)為曲線x2-2y2=1上任意一點(diǎn),P′(x′,y′)為曲線x2+4xy+2y2=1 上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn),則=,即代入x2-2y2=1得(x′+ay′)2-2(bx′+y′)2=1,整理得(1-2b2)x′2+(2a-4b)x′y′+(a2-2)y′2=1,
又x′2+4x′y′+2y′2=1,所以解得
5. (2017·揚(yáng)州中學(xué)期初)已知點(diǎn)M(3, -1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,在矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換作用下,得到點(diǎn)N(3,5),求a,b的值.
解:由題意,=,
又=,所以
解得
6. 已知曲線C: y2=2x在矩陣M=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C1,C1在矩陣N
3、=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C2,求曲線C2的方程.
解:設(shè)A=NM,則A==,設(shè)P′(x′,y′)是曲線C上任一點(diǎn),在兩次變換作用下,在曲線C2上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x, y),則 ==, 即∴
又點(diǎn)P′(x′,y′)在曲線C: y2=2x上,
∴ 2=2y,即曲線C2的方程為y=x2.
7. 設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣A=(a>0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1.求實(shí)數(shù)a,b的值.
解:設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點(diǎn)P(x,y)在矩陣A對(duì)應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)P′(x′,y′),則
==,
所以
因?yàn)閤′2+y′2=1,所以(ax)2+(bx+y)2=
4、1,即(a2+b2)x2+2bxy+y2=1,
所以解得
8. 求圓C:x2+y2=1在矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的曲線的方程.
解:設(shè)圓C上任一點(diǎn)(x1,y1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)(x,y),則=,則x1=,y1=,代入x2+y2=1得所求曲線的方程為+=1.
9. 已知矩陣A=,B=.若矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換把直線l:x+y-2=0變?yōu)橹本€l′,求直線l′的方程.
解:∵ A=,B=,
∴ AB==.
在直線l′上任取一點(diǎn)P(x,y),設(shè)它是由l上的點(diǎn)P0(x0,y0)經(jīng)矩陣AB所對(duì)應(yīng)的變換作用所得,∵ 點(diǎn)P0(x0,y0)在直線l:x+y-2=0上,∴ x0+y0-
5、2=0?、?
又AB=,即=,
∴ ∴ ②.
將②代入①得x-y+y-2=0,即4x+y-8=0,
∴ 直線l′的方程為4x+y-8=0.
10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)P(x,3)在矩陣M=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(y-4,y+2),求M2.
解:依題意,=,
即解得
M2==,
所以M2==.
11. 已知曲線C1:x2+y2=1,對(duì)它先作矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換,再作矩陣B=對(duì)應(yīng)的變換,得到曲線C2:+y2=1,求實(shí)數(shù)m的值.
解:BA==,設(shè)P(x0,y0)是曲線C1上的任一點(diǎn),它在矩陣BA變換作用下變成點(diǎn)P′(x′,y′),
則==,則即又點(diǎn)P在曲線C1上
6、,則y′2+=1,所以m2=1,所以m=±1.
第2課時(shí) 逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量
1. 已知變換T:→=,試寫出變換T對(duì)應(yīng)的矩陣A,并求出其逆矩陣A-1.
解:由T:→=,得A=.
設(shè)A-1=,則AA-1===,所以解得
所以A-1=.
2. (2017·蘇北四市期末)已知矩陣A=的一個(gè)特征值為2,其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α=.求實(shí)數(shù)a,b的值.
解:由條件知,Aα=2α,即=2,即=,
所以 解得
3. (2017·揚(yáng)州期末)已知a,b∈R,若點(diǎn)M(1,-2)在矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)N(2,-7),求矩陣A的特征值.
解:由題意得=,即解得
7、所以A=,所以矩陣A的特征多項(xiàng)式為f(λ)==λ2-8λ+15.
令f(λ)=0,解得λ=5或λ=3,即矩陣A的特征值為5和3.
4. 已知二階矩陣A=,矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為α1=,屬于特征值λ2=4的一個(gè)特征向量為α2=,求矩陣A.
解:由特征值、特征向量定義可知,Aα1=λ1α1,
即=-1×,
得同理可得
解得因此矩陣A=.
5. 已知矩陣A=,A的逆矩陣A-1=,求A的特征值.
解:∵AA-1= , ∴ =,
則解得
∴ A= ,A的特征多項(xiàng)式f(λ)==(λ-3)(λ-1).
令f(λ)=0,解得λ=3或λ=1.
∴ A的特征值為3和1.
8、
6. 已知矩陣A=.若矩陣A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為α=,求該矩陣的另一個(gè)特征值.
解:因?yàn)椋?,則
解得所以A=.
由f(λ)==(λ-1)2-4=0,
所以(λ+1)(λ-3)=0,解得λ1=-1,λ2=3.
所以另一個(gè)特征值是-1.
7. 已知a,b∈R,矩陣A=,若矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為α1=,屬于特征值5的一個(gè)特征向量為α2=.求矩陣A,并寫出A的逆矩陣.
解:由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為α1=,
得=,
∴ 3a-b=3.①
由矩陣A屬于特征值5的一個(gè)特征向量為α2=,
得=5,
∴ a+b=5.②
聯(lián)立①②,解得即A=.
∴
9、 A的逆矩陣A-1=.
8. 設(shè)是矩陣M=的一個(gè)特征向量.
(1) 求實(shí)數(shù)a的值;
(2) 求矩陣M的特征值.
解:(1) 設(shè)是矩陣M屬于特征值λ的一個(gè)特征向量,
則=λ,故解得∴ a=1.
(2) 令f(λ)==(λ-1)(λ-2)-6=0,解得 λ1=4,λ2=-1.
9. 已知矩陣A=將直線l:x+y-1=0變換成直線l′.
(1) 求直線l′的方程;
(2) 判斷矩陣A是否可逆.若可逆,求出矩陣A的逆矩陣A-1;若不可逆,請(qǐng)說明理由.
解:(1) 在直線l上任取一點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)它在矩陣A=對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镼(x,y).
∵ =,
∴ 即
∵ 點(diǎn)P
10、(x0,y0)在直線l:x+y-1=0上,
∴ +-1=0,
即直線l′的方程為4x+y-7=0.
(2) ∵ det(A)==7≠0,
∴ 矩陣A可逆.
設(shè)A-1=,∴ AA-1=,
解得
∴ A-1=.
10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)P(x,5)在矩陣M=對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(y-2,y),求M-1.
解:依題意,=,
即解得
由逆矩陣公式知,
矩陣M=的逆矩陣M-1=,
所以M-1==.
11. (2017·南通、泰州期末)已知向量是矩陣A屬于特征值-1的一個(gè)特征向量.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(1,1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(3,3),求矩陣A.
解:設(shè)A=,
因?yàn)橄蛄渴蔷仃嘇的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量,
所以=(-1)=.
所以
因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻′(3,3),
所以=,
所以解得
所以A=.