2022度高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用檢測(cè)試題 新人教A版必修1

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1、2022度高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用檢測(cè)試題 新人教A版必修1 【選題明細(xì)表】 知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào) 函數(shù)零點(diǎn)的求法及應(yīng)用 1,4,10,15,17 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間 3,8,13,16 二分法求方程的近似解 2 不同函數(shù)的增長(zhǎng)關(guān)系 6 函數(shù)模型 5,7,9,11,12,14,18,19,20 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.函數(shù)y=1+的零點(diǎn)是(　B　) (A)(-1,0) (B)x=-1 (C)x=1 (D)x=0 解析:令1+=0解得x=-1. 2.已知函數(shù)f(x)=x3+2x-8的零點(diǎn)用二分法計(jì)算,附近的函數(shù)值

2、參考數(shù)據(jù)如表所示: x 1 2 1.5 1.75 1.625 1.687 5 f(x) -5.00 4.00 -1.63 0.86 -0.46 0.18 則方程x3+2x-8=0的近似解可取為(精確度0.1)(　B　) (A)1.50 (B)1.66 (C)1.70 (D)1.75 解析:由表格可得,函數(shù)f(x)=x3+2x-8的零點(diǎn)在(1.625,1.687 5)之間;結(jié)合選項(xiàng)可知,方程x3+2x-8=0的近似解可取為(精確度為0.1)1.66.故選B. 3.設(shè)x0是函數(shù)f(x)=ln x+x-4的零點(diǎn),則x0所在的區(qū)間為(　C　) (A)

3、(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 解析:因?yàn)閒(2)=ln 2+2-4=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>ln e-1=0,f(2)·f(3)<0. 由零點(diǎn)存在定理,得x0所在的區(qū)間為(2,3).故選C. 4.方程lox=2x-1的實(shí)根個(gè)數(shù)是(　B　) (A)0 (B)1 (C)2 (D)無(wú)窮多 解析:畫(huà)出y=lox與y=2x-1的圖象可知,兩曲線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn),故實(shí)根個(gè)數(shù)是1. 5.如圖所示,陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0≤h≤H),則該函數(shù)的圖象是(　B　) 解析:取特殊點(diǎn)驗(yàn)證:當(dāng)h=時(shí),面積顯然

4、小于總面積的一半,于是排除A,C,D.故選B. 6.下列函數(shù)中,隨x的增大,增長(zhǎng)速度最快的是(　A　) (A)y=2x (B)y=10 000x (C)y=log3x (D)y=x3 解析:隨著x的增大,指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度是最快的,故選A. 7.如表顯示出函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù),判斷它最可能的函數(shù)模型是(　A　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 (A)一次函數(shù)模型 (B)二次函數(shù)模型 (C)指數(shù)函數(shù)模型 (D)對(duì)數(shù)函數(shù)模型 解析:畫(huà)出散點(diǎn)圖,如圖. 由圖可知其最可能的函數(shù)模

5、型為一次函數(shù)模型,故選A. 8.方程x-1=lg x必有一個(gè)根的區(qū)間是(　A　) (A)(0.1,0.2) (B)(0.2,0.3) (C)(0.3,0.4) (D)(0.4,0.5) 解析:設(shè)f(x)=lg x-x+1. 因?yàn)閒(0.1)=lg 0.1-0.1+1=-0.1<0,f(0.2)=lg 0.2-0.2+1=lg 0.2+ 0.8>0, 所以函數(shù)y=f(x)在(0.1,0.2)內(nèi)必有一根.故選A. 9.某人2016年7月1日到銀行存入a元,若按年利率x復(fù)利計(jì)算,則到2019年7月1日可取款(　D　) (A)a(1+x)2元 (B)a(1+x)4元 (C)a

6、+(1+x)3元 (D)a(1+x)3元 解析:由題意知,2017年7月1日可取款a(1+x)元, 2018年7月1日可取款a(1+x)·(1+x)=a(1+x)2元, 2019年7月1日可取款a(1+x)2·(1+x)=a(1+x)3元.故選D. 10.函數(shù)f(x)=x2+ln|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　B　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由題意,作函數(shù)y=x2與y=-ln |x|的圖象如下, 結(jié)合圖象知,函數(shù)y=x2與y=-ln|x|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)=x2+ln|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,故選B. 11.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y

7、(m2)與時(shí)間t(月)的關(guān)系:y=at,有以下敘述: ①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2; ②第5個(gè)月時(shí),浮萍的面積就會(huì)超過(guò)30 m2; ③浮萍從4 m2蔓延到12 m2需要經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月; ④浮萍每個(gè)月增加的面積都相等. 其中正確的是(　B　) (A)① (B)①② (C)②③④ (D)①②④ 解析:圖象單調(diào)遞增,底數(shù)大于1,又過(guò)點(diǎn)(2,4),所以a2=4,所以a=2 (a>0),故①對(duì);令t=5,得y=25=32>30,故②對(duì);若浮萍從4 m2蔓延到 12 m2需要經(jīng)過(guò)的時(shí)間是1.5個(gè)月,則有12=23.5,因?yàn)?3.5=8≠12,故③錯(cuò);由指數(shù)型函數(shù)模型的圖象上升

8、特征可知④錯(cuò).故選B. 12.有濃度為90%的溶液100 g,從中倒出10 g后再倒入10 g水稱(chēng)為一次操作,要使?jié)舛鹊陀?0%,這種操作至少應(yīng)進(jìn)行的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　C　) (A)19 (B)20 (C)21 (D)22 解析:操作次數(shù)為n時(shí)的濃度為()n+1, 由()n+1<10%, 得n+1>=≈21.8, 又n∈N*,所以n≥21.故選C. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是　 　　　(填正確序號(hào)).? ①(-2,-1);②(

9、-1,0);③(0,1);④(1,2). 解析:由f(-2)=-2-2<0,f(-1)=-3<0, f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,f(2)=e2+2-2>0知函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(0,1). 答案:③ 14.已知等腰三角形的周長(zhǎng)為40 cm,底邊長(zhǎng)y(cm)是腰長(zhǎng)x(cm)的函數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)?　A　) (A)(10,20) (B)(0,10) (C)(5,10) (D)[5,10) 解析:y=40-2x,由得100,若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是　　　　.?

10、 解析:當(dāng)m>0時(shí),函數(shù)f(x)=的圖象如圖. 因?yàn)閤>m時(shí),f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2>4m-m2, 所以要使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根, 必須4m-m20), 即m2>3m(m>0), 解得m>3, 所以m的取值范圍是(3,+∞). 答案:(3,+∞) 16.已知函數(shù)f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).當(dāng)2

11、=loga3+3-b>1+3-b=4-b>0, 即f(2)·f(3)<0, 易知f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn)x0, 且x0∈(2,3),所以n=2. 答案:2 三、解答題(共40分) 17.(本小題滿(mǎn)分8分) 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-m-x,其中m∈R,當(dāng)m>1時(shí),判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,m)內(nèi)是否存在零點(diǎn). 解:f(x)=ex-m-x,所以f(0)=e-m-0=e-m>0, f(m)=e0-m=1-m.又m>1,所以f(m)<0, 所以f(0)·f(m)<0. 又函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[0,m]上是一條連續(xù)曲線(xiàn)

12、, 故函數(shù)f(x)=ex-m-x(m>1)在區(qū)間(0,m)內(nèi)存在零點(diǎn). 18.(本小題滿(mǎn)分10分) 物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t后的溫度是T,則T-Tα=(T0-Tα)·(),其中Tα表示環(huán)境溫度,h稱(chēng)為半衰期.現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡,放在24 ℃的房間中,如果咖啡降溫到40 ℃需要20 min,那么降溫到35 ℃時(shí),需要多長(zhǎng)時(shí)間(結(jié)果精確到0.1)? 解:由題意知40-24=(88-24)·(),即=(), 解得h=10,故T-24=(88-24)·(), 當(dāng)T=35時(shí),代入上式,得35-24=(88-24)·

13、(),即()=, 兩邊取對(duì)數(shù),用計(jì)算器求得t≈25.4. 因此,約需要25.4 min,可降溫到35 ℃. 19.(本小題滿(mǎn)分10分) 國(guó)際視力表值(又叫小數(shù)視力值,用V表示,范圍是[0.1,1.5])和我國(guó)現(xiàn)行視力表值(又叫對(duì)數(shù)視力值,由繆天容創(chuàng)立,用L表示,范圍是[4.0,5.2])的換算關(guān)系式為L(zhǎng)=5.0+lg V. (1)請(qǐng)根據(jù)此關(guān)系式將下面視力對(duì)照表補(bǔ)充完整: V 1.5 ② 0.4 ④ L ① 5.0 ③ 4.0 (2)甲、乙兩位同學(xué)檢查視力,其中甲的對(duì)數(shù)視力值為4.5,乙的小數(shù)視力值是甲的2倍,求乙的對(duì)數(shù)視力值. (所求值均精確到小數(shù)點(diǎn)后面一位數(shù)

14、字,參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 解:(1)因?yàn)?.0+lg 1.5=5.0+lg =5.0+lg =5.0+lg 3-lg 2=5.0+0.477 1-0.301 0≈5.2, 所以①應(yīng)填5.2; 因?yàn)?.0=5.0+lg V, 所以V=1,②處應(yīng)填1.0; 因?yàn)?.0+lg 0.4=5.0+lg =5.0+lg 4-1=5.0+2lg 2-1=5.0+2×0.301 0-1≈4.6, 所以③處應(yīng)填4.6; 因?yàn)?.0=5.0+lg V, 所以lg V=-1. 所以V=0.1. 所以④處應(yīng)填0.1. 對(duì)照表補(bǔ)充完整如下: V 1.5

15、 1.0 0.4 0.1 L 5.2 5.0 4.6 4.0 (2)先將甲的對(duì)數(shù)視力值換算成小數(shù)視力值, 則有4.5=5.0+lg V甲, 所以V甲=1,則V乙=2×1. 所以乙的對(duì)數(shù)視力值L乙=5.0+lg (2×1)=5.0+lg 2-0.5=5.0+0.301 0-0.5≈4.8. 20.(本小題滿(mǎn)分12分) 某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知總收益滿(mǎn)足函數(shù): R(x)= 其中x是儀器的月產(chǎn)量. (1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x); (2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲得利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?(總收益=總成本+利潤(rùn)) 解:(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái),則總成本為20 000+100x,從而 f(x)= (2)當(dāng)0≤x≤400時(shí), f(x)=-(x-300)2+25 000. 所以當(dāng)x=300時(shí),f(x)的最大值為25 000; 當(dāng)x>400時(shí), f(x)=60 000-100x是減函數(shù), f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000. 所以當(dāng)x=300時(shí),f(x)的最大值為25 000. 即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí),利潤(rùn)最大, 最大利潤(rùn)為25 000元.