《2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專(zhuān)題突破 限時(shí)集訓(xùn)6 空間幾何體的三視圖、表面積和體積 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專(zhuān)題突破 限時(shí)集訓(xùn)6 空間幾何體的三視圖、表面積和體積 文(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專(zhuān)題突破 限時(shí)集訓(xùn)6 空間幾何體的三視圖、表面積和體積 文
一、選擇題
1.已知圓錐的母線長(zhǎng)為8,底面圓周長(zhǎng)為6π,則它的側(cè)面積是( )
A.24π B.48π C.33π D.32π
A [∵圓錐的母線長(zhǎng)為8,底面圓周長(zhǎng)為6π,∴圓錐的側(cè)面積為S側(cè)=×6π×8=24π.]
(教師備選)
1.當(dāng)圓錐的側(cè)面積和底面積的比值是2時(shí),圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角等于( )
A. B. C. D.π
D [設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,
則=2,∴=2,因母線長(zhǎng)1,所以r=,則側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)為π,以母線長(zhǎng)為半徑的扇形的圓心角為π,
2、故此時(shí)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角等于π.]
2.已知三個(gè)球和一個(gè)正方體,第一個(gè)球與正方體各個(gè)面內(nèi)切,第二個(gè)球與正方體各條棱相切,第三個(gè)球過(guò)正方體各頂點(diǎn),則這三個(gè)球的體積之比為( )
A.1∶∶ B.1∶2∶3
C.1∶2∶3 D.1∶8∶27
C [設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則其內(nèi)切球半徑R1=;棱切球直徑為正方體各面上的對(duì)角線長(zhǎng),則半徑R2=a;外接球直徑為正方體的體對(duì)角線長(zhǎng),所以半徑R3=a,所以這三個(gè)球的體積之比為13∶()3∶()3=1∶2∶3.故選C.]
3.(2018·沈陽(yáng)模擬)已知S,A,B,C是球O表面上的不同點(diǎn),SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=1,BC=,若球
3、O的表面積為4π,則SA=( )
A. B.1
C. D.
B [根據(jù)已知把S-ABC補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體.因?yàn)榍騉的表面積為4π,所以球O的半徑R=1,2R==2,解得SA=1,故選B.]
2.(2018·合肥模擬)如圖2-4-13,網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,圖中粗線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的表面中互相垂直的平面有 ( )
圖2-4-13
A.3對(duì) B.4對(duì)
C.5對(duì) D.6對(duì)
B [由三視圖還原出原幾何體的直觀圖如圖所示,因?yàn)锳B⊥平面BCD,AE⊥平面ABC,CD⊥平面ABC,所以平面ABE⊥平面BCD,平面AEB⊥平面A
4、BC,平面BCD⊥平面ABC,平面AEDC⊥平面ABC,故選B.]
3.(2018·鄭州模擬)劉徽的《九章算術(shù)注》中有這樣的記載:“邪解立方有兩塹堵,邪解塹堵,其一為陽(yáng)馬,一為鱉臑,陽(yáng)馬居二,鱉臑居一,不易之率也.”意思是說(shuō):把一塊立方體沿斜線分成相同的兩塊,這兩塊叫做塹堵,再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊,大的叫陽(yáng)馬,小的叫鱉臑,兩者體積比為2∶1,這個(gè)比率是不變的.如圖2-4-14是一個(gè)陽(yáng)馬的三視圖,則其表面積為( )
圖2-4-14
A.2 B.2+
C.3+ D.3+
B [由三視圖可得該四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,有一條長(zhǎng)度為1的側(cè)棱垂直于底面,四個(gè)側(cè)面三角
5、形都是直角三角形,側(cè)面積為2××1×1+2×××1=1+,底面積是1,所以其表面積為2+,故選B.]
4.已知一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍,記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1,外接球的表面積為S2,則=( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶4 D.1∶8
C [如圖,由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍,不妨設(shè)底面圓半徑為r,
則lR=2πr2,·2πr·R=2πr2,解得R=2r.
故∠ADC=30°,∠DCB=90°.
則=,∴=.
故=.
故選C.]
(教師備選)
在三棱錐P-ABC中,側(cè)棱PA=PB=2,PC=,則當(dāng)三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大
6、時(shí),三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積是( )
A.(32-8)π B.(32-16)π
C.(40-8)π D.(40-16)π
D [由已知可得三棱錐的側(cè)面PAB的面積S△PAB=×PA×PB×sin∠APB=2sin∠APB,要使此面積最大,則∠APB=90°,同理可知,當(dāng)PA,PB,PC兩兩垂直時(shí),三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大.如圖,設(shè)內(nèi)切球的球心為O,則O到三棱錐的四個(gè)面的距離相等,均為球O的半徑r.因?yàn)镻A=PB=2,PC=,所以BC=AC=,AB=2,可得△ABC,△APC,△APB,△BPC的面積分別為4,,2,,所以VP-ABC=×(4++2+)·r
7、=×2×,解得r=-2,所以?xún)?nèi)切球的表面積S=4πr2=(40-16)π.]
二、填空題
(教師備選)
現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個(gè),若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為_(kāi)_______.
[設(shè)新的底面半徑為r,由題意得
×π×52×4+π×22×8=×π×r2×4+π×r2×8,
∴r2=7,∴r=.]
5.(2018·榆林模擬)如圖2-4-15,在小正方形邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中畫(huà)出了某多面體的三視圖,則該多面體的外接球表面積為_(kāi)_______.
圖2-4-15
4
8、8π [根據(jù)三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示:
三棱錐P-ABC是棱長(zhǎng)為4的正方體的一部分,
三棱錐P-ABC的外接球是此正方體的外接球,設(shè)外接球的半徑是R,
由正方體的性質(zhì)可得,2R==4,則R=2,即該幾何體外接球的表面積S=4πR2=48π.]
(教師備選)
一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形,側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長(zhǎng)都為1,頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該球的體積為_(kāi)_______.
[由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r=1,其高h(yuǎn)=1,∴球半徑為R===,∴該球的體積V=πR3=×3π=.]
6.(2017·濟(jì)南模擬)已知某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2-4-16所示,則
9、該幾何體的體積為_(kāi)_______.
圖2-4-16
[由三視圖得該幾何體是底面半徑為1,高為2的圓錐體的一半和一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱體的一半的組合體,所以其體積為××π×12×2+×π×12×2=.]
三、解答題
7.(2018·廣州模擬)如圖2-4-17,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,且BC=2AD=4,E,F(xiàn)分別為線段AB,DC的中點(diǎn),沿EF把AEFD折起,使AE⊥CF,得到如下的立體圖形.
(1)證明:平面AEFD⊥平面EBCF;
(2)若BD⊥EC,求點(diǎn)F到平面ABCD的距離.
圖2-4-17
[解] (1)證明:由題意可得EF∥AD,
10、
∴AE⊥EF,
又AE⊥CF,EF∩CF=F,
∴AE⊥平面EBCF.
∵AE?平面AEFD,
∴平面AEFD⊥平面EBCF.
(2)過(guò)點(diǎn)D作DG∥AE交EF于點(diǎn)G,連接BG,則DG⊥平面EBCF,
∵EC?平面EBCF,∴DG⊥EC,
又BD⊥EC,BD∩DG=D,∴EC⊥平面BDG,
又BG?平面BDG,∴EC⊥BG.
于是可得△EGB∽△BEC,
∴=,∴EB2=EG·BC=AD·BC=8,∴EB=2.
設(shè)點(diǎn)F到平面ABCD的距離為h,
由VF-ABC=VA-BCF,可得S△ABC·h=S△BCF·AE.
∵BC⊥AE,BC⊥EB,AE∩EB=E,
∴
11、BC⊥平面AEB,∴AB⊥BC.
又AB==4=BC,
∴S△ABC=×4×4=8.
又S△BCF=×4×2=4,AE=EB=2,
∴8h=4×2=16,解得h=2.
故點(diǎn)F到平面ABCD的距離為2.
8.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)如圖2-4-18,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
圖2-4-18
(1)證明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.
[解] (1)證明:如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO.
因?yàn)锳D=CD,所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形,
所以AC⊥BO.
從而AC⊥平面DOB,
故AC⊥BD.
(2)連接EO.
由(1)及題設(shè)知∠ADC=90°,所以DO=AO.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2.
又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,
故∠DOB=90°.
由題設(shè)知△AEC為直角三角形,所以EO=AC.
又△ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.
故E為BD的中點(diǎn),從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1.