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1、2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——推理與證明：直接證明與間接證明學(xué)案
【考點(diǎn)梳理】
1．直接證明
內(nèi)容
綜合法
分析法
定義
利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立
從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件
思維過程
由因?qū)Ч?
執(zhí)果索因
框圖表示
→→…→
→→…→
書寫格式
因?yàn)椤浴蛴伞?，得?
要證…，只需證…，即證…
2．間接證明
反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立
2、，這樣的證明方法叫做反證法．
【考點(diǎn)突破】
考點(diǎn)一、綜合法
【例1】在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列．
(2)若C＝，求證：5a＝3b.
[解析] (1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B，
因?yàn)閟in B≠0，
所以sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理，有a＋c＝2b，
即a，b，c成等差數(shù)列．
(2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得
(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，
即有5ab－3b2＝0，
所以5
3、a＝3b.
【類題通法】
掌握綜合法證明問題的思路
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明：對(duì)任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列．
[解析] (1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，當(dāng)n＝1時(shí)也適合．
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2.
(2)證明：要使得a1，an，am成等比數(shù)列，
只需要a＝a1·am，
即(3n－2)2＝1·(3m－2)，
即m＝3n2－4n＋2，而此時(shí)m∈N*，且m>n.
所以對(duì)任意的n>1，都存
4、在m∈N*，使得a1，an，am成等比數(shù)列．
考點(diǎn)二、分析法
【例2】已知a>0，求證：－≥a＋－2.
[解析] 要證－≥a＋－2，
只需要證＋2≥a＋＋.
因?yàn)閍>0，故只需要證2≥2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
從而只需要證2≥，
只需要證4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立.
【類題通法】
1．利用分析法證明問題的思路
分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證．
2．分析法證明問題的適用范圍
當(dāng)已知
5、條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識(shí)不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，?？紤]用分析法．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
若a，b∈(1，＋∞)，證明<.
[解析] 要證<，
只需證()2<()2，
只需證a＋b－1－ab<0，
即證(a－1)(1－b)<0.
因?yàn)閍>1，b>1，
所以a－1>0，1－b<0，
即(a－1)(1－b)<0成立，
所以原不等式成立．
考點(diǎn)三、反證法
【例3】(1)用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”時(shí)，假設(shè)為( )
A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)數(shù)根
6、
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
(2)已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1.
[答案] (1) A
[解析] (1)“至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根”的否定是“一個(gè)實(shí)數(shù)根也沒有”，即“沒有實(shí)數(shù)根”．
(2)假設(shè)a，b，c均小于1，
即a<1，b<1，c<1，
則有a＋b＋c<3，
而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，
兩者矛盾，所以假設(shè)不成立，
故a，b，c至少有一個(gè)不小于1.
【類題通法】
1．反證法證明問題的
7、3步驟
2．反證法的適用范圍
(1)否定性命題；
(2)命題的結(jié)論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等詞語的；
(3)當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆否命題又是非常容易證明的；
(4)要討論的情況很復(fù)雜，而反面情況很少．
【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】
1．①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下正確的是( )
A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤
8、B．①與②的假設(shè)都正確
C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤 D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確
[答案] D
[解析] 反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對(duì)于①，其結(jié)論的反面是p＋q＞2，所以①不正確；對(duì)于②，其假設(shè)正確.
2．設(shè)x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個(gè)數(shù)( )
A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2
C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2
[答案] C
[解析] 假設(shè)a，b，c都小于2，則a＋b＋c＜6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，與a＋b＋c＜6矛盾，
∴a，b，c都小于2不成立．
∴a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.故選C.
2022高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破——推理與證明：直接證明與間接證明學(xué)案
