2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 不等式教案 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 不等式教案 理 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析 2018 Ⅰ卷 線性規(guī)劃求最值·T13 1.選擇、填空題中的考查以簡單的線性規(guī)劃與不等式性質(zhì)為主，重點(diǎn)求目標(biāo)函數(shù)的最值，有時也與其他知識交匯考查． 2.基本不等式求最值及應(yīng)用在課標(biāo)卷考試中是低頻點(diǎn)，很少考查． 3.不等式的解法多與集合、函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)交匯考查. Ⅱ卷 線性規(guī)劃求最值·T14 2017 Ⅰ卷 線性規(guī)劃求最值·T14 Ⅱ卷 線性規(guī)劃求最值·T5 Ⅲ卷 線性規(guī)劃求最值·T13 2016 Ⅰ卷 一元

2、二次不等式的解法、集合的交集運(yùn)算·T1 不等式比較大小、函數(shù)的單調(diào)性·T8 線性規(guī)劃的實際應(yīng)用·T16 Ⅱ卷 一元二次不等式的解法、集合的并集運(yùn)算·T2 Ⅲ卷 一元二次不等式的解法、集合的交集運(yùn)算·T1 不等式比較大小、函數(shù)的單調(diào)性·T6 線性規(guī)劃求最值·T13 [悟通——方法結(jié)論] 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號，則其解集在兩根之間．簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間． 2．解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是利用相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為整式

3、不等式(一般為一元二次不等式)求解． 3．解含參數(shù)不等式要正確分類討論． [全練——快速解答] 1．(2018·深圳一模)已知a>b>0，c<0，下列不等關(guān)系中正確的是(　　) A．a(chǎn)c>bc　　　 B．a(chǎn)c>bc C．loga(a－c)>logb(b－c) D.> 解析：法一：(性質(zhì)推理法)A項，因為a>b，c<0，由不等式的性質(zhì)可知ac0，又a>b>0，由不等式的性質(zhì)可得a－c>b－c>0，即>>0， 再由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得ac

4、－c)＝ > 1＝0，即loga(a－c)b>0，c<0，所以a－c>b－c>0，b－a<0， 所以>0，即－>0， 所以>，故D正確． 綜上，選D. 法二：(特值驗證法)由題意，不妨取a＝4，b＝2，c＝－2. 則A項，ac＝－8，bc＝－4，所以ac

5、上，選D. 答案：D 2．(2018·湖南四校聯(lián)考)已知不等式mx2＋nx－<0的解集為，則m－n＝(　　) A. B．－ C. D．－1 解析：由題意得，x＝－和x＝2是方程mx2＋nx－＝0的兩根，所以－＋2＝－且－×2＝－(m<0)，解得m＝－1，n＝，所以m－n＝－. 答案：B 3．不等式≤x－2的解集是(　　) A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞) C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞) 解析：①當(dāng)x－2>0，即x>2時，不等式可化為(x－2)2≥4，所以x≥4；②當(dāng)x－2<0，即x<2時，不等式可化為(x－2)2≤4，所以0≤x<2

6、.綜上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)． 答案：B 4．已知x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：根據(jù)題意，由于1＋2x＋(a－a2)·4x>0對于一切的x∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(00?a－a2>－，故只要求解h(t)＝－(0－，所以4a2－4a－3<0，解得－

7、數(shù)f(x)＝則使得f(x)≤1成立的x的取值范圍是________． 解析：由得0≤x≤9，由得－1≤x<0，故使得f(x)≤1成立的x的取值范圍是[－1,9]． 答案：[－1,9] 1．明確解不等式的策略 (1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集． (2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立問題的解題方法 (1)f(x)>a對一切x∈I恒成立?f(x)min>a；f(x)

8、x)>g(x)對一切x∈I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方． (3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．利用分離參數(shù)法時，常用到函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等． 基本不等式 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第10頁 [悟通——方法結(jié)論] 　求最值時要注意三點(diǎn)：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用定理求最值時，和或積為定值，“三相等”是指等號成立． [全練——快速解答] 1．(2018·長春模擬)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最

9、小值為(　　) A．8 B．9　　　C．12　　　D．16 解析：由4x＋y＝xy得＋＝1，則x＋y＝(x＋y)·＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝3，y＝6時取“＝”，故選B. 答案：B 2．(2017·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________． 解析：因為ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號， 故的最小值是4. 答案：4 3．(2017·高考江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是_______

10、_． 解析：由題意，一年購買次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為×6＋4x＝4≥8＝240， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時取等號， 故總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小時x的值是30. 答案：30 掌握基本不等式求最值的3種解題技巧 (1)湊項：通過調(diào)整項的符號，配湊項的系數(shù)，使其積或和為定值． (2)湊系數(shù)：若無法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值． (3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開，即化為y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值．

11、 簡單的線性規(guī)劃問題 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第10頁 [悟通——方法結(jié)論] 平面區(qū)域的確定方法 　解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗證解決． [全練——快速解答] 1．(2017·高考全國卷Ⅲ)設(shè)x，y滿足約束條件 則z＝x－y的取值范圍是(　　) A．[－3,0]　 B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3] 解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)A(2,0)時，

12、z取得最大值2，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)B(0,3)時，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范圍是[－3,2]． 答案：B 2．已知平面上的單位向量e1與e2 的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，它們的夾角為.平面區(qū)域D由所有滿足＝λe1＋μe2的點(diǎn)P組成，其中那么平面區(qū)域D的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨令單位向量e1＝(1,0)，e2＝，設(shè)向量＝(x，y)，因為＝λe1＋μe2，所以即因為所以表示的平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示，所以平面區(qū)域D的面積為，故選D. 答案：D 3．(2018·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道

13、工序．已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個工作時，漆工2個工作時；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個工作時，漆工1個工作時．生產(chǎn)一把椅子的利潤為1 500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2 000元．該廠每個月木工最多完成8 000個工作時、漆工最多完成1 300個工作時．根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個月所能獲得的最大利潤是________元． 解析：設(shè)該廠每個月生產(chǎn)x把椅子，y張桌子，利潤為z元，則得約束條件 畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，畫出直線3x＋4y＝0，平移該直線，可知當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)P時，z取得最大值．由得即P(200,900)，所以zmax＝1 500×200＋2 000×900＝2

14、 100 000.故每個月所獲得的最大利潤為2 100 000元． 答案：2 100 000 解決線性規(guī)劃問題的3步驟 [練通——即學(xué)即用] 1．(2018·湘東五校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿足且z＝x＋y的最大值為6，則(x＋5)2＋y2的最小值為(　　) A．5 B．3 C. D. 解析：作出不等式組 表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示， 由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直線y＝－x，由圖形可知當(dāng)直線y＝－x＋z經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y＝－x＋z的縱截距最大，此時z最大，最大值為6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，∵直線y＝k過點(diǎn)A，∴k＝3.(x＋5)2＋y

15、2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與D(－5,0)的距離的平方，數(shù)形結(jié)合可知，(－5,0)到直線x＋2y＝0的距離最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值為2＝5.故選A. 答案：A 2．已知變量x，y滿足約束條件記z＝4x＋y的最大值是a，則a＝________. 解析：如圖所示，變量x，y滿足的約束條件的可行域如圖中陰影部分所示．作出直線4x＋y＝0，平移直線，知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時，z取得最大值，由解得所以A(1，－1)，此時z＝4×1－1＝3，故a＝3. 答案：3 3．(2018·高考全國卷Ⅰ)若x、y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________． 解析：作出滿足約束條件的可行域

16、如圖陰影部分所示． 由z＝3x＋2y得y＝－x＋. 作直線l0：y＝－x.平移直線l0，當(dāng)直線y＝－x＋過點(diǎn)(2,0)時，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6. 答案：6 授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第118頁 一、選擇題 1．已知互不相等的正數(shù)a，b，c滿足a2＋c2＝2bc，則下列等式中可能成立的是(　　) A．a(chǎn)>b>c　　 B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b 解析：若a>b>0，則a2＋c2>b2＋c2≥2bc，不符合條件，排除A，D； 又由a2－c2＝2c(b－c)得a－c與b－c同號，排除C； 當(dāng)b>a>c時，a2＋c2＝2bc有

17、可能成立，例如：取a＝3，b＝5，c＝1.故選B. 答案：B 2．已知b>a>0，a＋b＝1，則下列不等式中正確的是(　　) A．log3a>0 B．3a－b< C．log2a＋log2b<－2 D．3≥6 解析：對于A，由log3a>0可得log3a>log31，所以a>1，這與b>a>0，a＋b＝1矛盾，所以A不正確；對于B，由3a－b<可得3a－b<3－1，所以a－b<－1，可得a＋1a>0，a＋b＝1矛盾，所以B不正確；對于C，由log2a＋log2b<－2可得log2(ab)<－2＝log2，所以ab<，又b>a>0，a＋b＝1>2，所以ab<，兩者一致，所以

18、C正確；對于D，因為b>a>0，a＋b＝1，所以3>3×2＝6, 所以D不正確，故選C. 答案：C 3．在R上定義運(yùn)算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x－b)>0的解集是(2,3)，則a＋b＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：由題知(x－a)(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4. 答案：C 4．已知a∈R，不等式≥1的解集為P，且－2?P，則a的取值范圍為(　　) A．(－3，＋∞)

19、B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) 解析：∵－2?P，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3. 答案：D 5．已知x，y滿足則z＝8－x·y的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由圖知當(dāng)x＝1，y＝2時，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此時2－3x－y最小，最小值為.故選D. 答案：D 6．設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是(　　) A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－

20、3,1)∪(2，＋∞) C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3) 解析：由題意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.當(dāng)x<0時，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.綜上，不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)． 答案：A 7．已知實數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z＝3x－2y的最小值為0，則實數(shù)m等于(　　) A．4 B．3 C．6 D．5 解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝3x－2y所對應(yīng)的直線經(jīng)過點(diǎn)A時，z取得最小值0. 由 求得A. 故

21、z的最小值為3×－2×＝－＋， 由題意可知－＋＝0，解得m＝5. 答案：D 8．若對任意正實數(shù)x，不等式≤恒成立，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：因為≤，即a≥，而＝≤(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號)，所以a≥. 答案：C 9．(2018·太原一模)已知實數(shù)x，y滿足條件則z＝x2＋y2的取值范圍為(　　) A．[1,13] B．[1,4] C. D. 解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點(diǎn)O到直線BC：2x－y＋2＝0的距離的平方，所以zmin＝2＝，最大值為點(diǎn)O與點(diǎn)A(－2,3)的距離的平方，所以zm

22、ax＝|OA|2＝13，故選C. 答案：C 10．(2018·衡水二模)若關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，則x1＋x2＋的最小值是(　　) A. B. C. D. 解析：∵關(guān)于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2>0， 又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2， ∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝時取等號． ∴x1＋x2＋的最小值是. 答案：C 11．某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別

23、為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為(　　) A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 解析：設(shè)租用A型車x輛，B型車y輛，目標(biāo)函數(shù)為z＝1 600x＋2 400y，則約束條件為 作出可行域如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A(5,12)時，有最小值zmin＝36 800(元)． 答案：C 12．(2018·淄博模擬)已知點(diǎn)P(x，y)∈{(x，y)|M(2，－1)，則·(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值為(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 解析：由題意知＝

24、(2，－1)，＝(x，y)，設(shè)z＝·＝2x－y，顯然集合{(x，y)|對應(yīng)不等式組所表示的平面區(qū)域．作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y對應(yīng)的直線經(jīng)過點(diǎn)A時，z取得最小值．由得A(－2,2)，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值zmin＝2×(－2)－2＝－6，即·的最小值為－6，故選C. 答案：C 二、填空題 13．(2018·青島模擬)若a>0，b>0，則(a＋b)·的最小值是________． 解析：(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋，因為a>0，b>0，所以(a＋b)≥3＋2＝3＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時等號成立．所以所求最小值為3＋2. 答案：3＋

25、2 14．(2018·高考全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 解析：由不等式組畫出可行域，如圖(陰影部分)，x＋y取得最大值?斜率為－1的直線x＋y＝z(z看做常數(shù))的橫截距最大， 由圖可得直線x＋y＝z過點(diǎn)C時z取得最大值． 由得點(diǎn)C(5,4)， ∴zmax＝5＋4＝9. 答案：9 15．(2018·石家莊模擬)若x，y滿足約束條件則z＝的最小值為________． 解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標(biāo)函數(shù)z＝表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(－3,2)連線的斜率．由圖知當(dāng)可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與圓相切時斜率最?。O(shè)切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－. 答案：－ 16．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，則a＋的最小值為________． 解析：令logab＝t，由a>b>1得0