2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形學案

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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第一部分 基礎與考點過關 第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形學案 ① 了解任意角的概念；了解終邊相同的角的意義. ② 了解弧度的意義，并能進行弧度與角度的互化. ③ 理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；了解有向線段的概念，會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切． ① 能進行角度與弧度的互化. ② 能判斷角所在的象限，會判斷半角和倍角所在的象限. ③ 準確理解任意角的三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能準確判斷三角函數(shù)值的符號． 1. (必修4P10習題9改編)小明從家步行到學校需要

2、15 min，則這段時間內鐘表的分針走過的角度是________．　 答案：－90° 解析：利用定義得分針是順時針走的，形成的角是負角．又周角為360°，所以×15＝90°，即分針走過的角度是－90°. 2. (必修4P10習題4改編)若角θ的終邊與角的終邊相同，則在[0，2π)內終邊與角的終邊相同的角的集合為__________________．(用列舉法表示) 答案： 解析：由題意θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴ ＝＋kπ(k∈Z)． 由0≤<2π，即0≤＋kπ<2π知－≤k<，k∈Z. ∴ k＝0或1.故在[0，2π)內終邊與角的終邊相同的角的集合為. 3. (必修4P9例3改

3、編)已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為__________． 答案：6 解析：設扇形的半徑為R，則R2α＝2，∴ R2×4＝2.而R2＝1，∴ R＝1，∴ 扇形的周長為2R＋α·R＝2＋4＝6. 4. 已知角θ的終邊經(jīng)過點P(8，m＋1)，且sin θ＝，則m＝________． 答案：5 解析：sin θ＝＝，解得m＝5. 5. 函數(shù)y＝lg(2cos x－1)的定義域為____________． 答案：(k∈Z) 解析：∵ 2cos x－1＞0，∴ cos x＞.利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，∴ x∈(k∈Z)．

4、 1. 任意角 (1) 角的概念的推廣 ① 按旋轉方向不同分為正角、負角、零角． ② 按終邊位置不同分為象限角和軸線角． (2) 終邊相同的角 終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)． (3) 弧度制 ① 1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角． ② 規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑． ③ 弧度與角度的換算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ rad；1 rad＝度． ④ 弧長公式：l＝|α|r． 扇形面積公式：S扇形＝lr＝|α|r2．

5、 2. 任意角的三角函數(shù) (1) 任意角的三角函數(shù)的定義 設P(x，y)是角α終邊上任意一點，且|PO|＝r(r＞0)，則有sin α＝，cos α＝，tan α＝，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)． (2) 三角函數(shù)在各象限內的正值口訣是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函數(shù)值 角α α弧度數(shù) sin α cos α tan α 0° 0 0 1 0 30° 45° 1 60° 90° 1 0 / 120° － － 續(xù)表 角α α弧

6、度數(shù) sin α cos α tan α 135° － －1 150° － － 180° π 0 －1 0 270° －1 0 / 3. 三角函數(shù)線 設角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過點P作PM垂直x軸于點M，則點M是點P在x軸上的正射影．由三角函數(shù)的定義知， 點P的坐標為(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan α＝AT．我們把有向線段OM，MP，AT叫做α的余弦線、正

7、弦線、正切線． 三角函數(shù)線 [備課札記] ,　　　　　　　　　1　象限角及終邊相同的角) ,　　　　　1)　(1) 已知α＝－2 017°，則與角α終邊相同的最小正角為________，最大負角為________． (2) (必修4P10習題12改編)已知角α是第三象限角，試判斷： ① π－α是第幾象限角？② 是第幾象限角？③ 2α的終邊在什么位置？ (1) 答案：143°?。?17° 解析：α可以寫成－6×360°＋143°的形式，則與α終邊相同的角可以寫成k·360°＋143°(k∈Z)的形式．當k＝0時，可得與角

8、α終邊相同的最小正角為143°，當k＝－1時，可得最大負角為－217°. (2) 解：①∵ α是第三象限角， ∴ 2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z. ∴ －2kπ－<π－α<－2kπ，k∈Z. ∴ π－α是第四象限角． ② ∵ kπ＋<

9、為{x|x＝kπ＋，k∈Z}． ,　　　　　　　　　2　三角函數(shù)的定義) ,　　　　　2)　(1) 點P是始邊與x軸的正半軸重合、頂點在原點的角θ的終邊上的一點，若|OP|＝2，θ＝60°，則點P的坐標是__________； (2) (2017·泰州模擬)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為________． 答案：(1) (1，)　(2) 解析：(1) 設點P的坐標為(x，y)，由三角函數(shù)的定義，得sin 60°＝，cos 60°＝，所以x＝2cos 60°＝1，y＝2sin 60°＝，故點P的坐標為(1，)． (2) ∵ r＝，∴

10、 cos α＝＝－， ∴ m＞0，∴ ＝，即m＝. 變式訓練 (2017·無錫期末)已知角α的終邊與單位圓的交點為P，則sin α·tan α＝________． 答案：－ 解析：由OP2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±. 當y＝時，sin α＝，tan α＝－，此時sin α·tan α＝－. 當y＝－時，sin α＝－，tan α＝，此時sin α·tan α＝－. ,　　　　　　　　　3　三角函數(shù)的符號及判定) ,　　　　　3)　點A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限． 答案：三 解析：因為2 017°＝5×360°＋217°

11、是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以點A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限． 變式訓練 下列判斷正確的是________．(填序號) ① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan＞0；④ sin 10＜0. 答案：④ 解析：300°＝360°－60°，則300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，則－305°是第一象限角； －π＝－8π＋π，則－π是第二象限角； 因為3π＜10＜π，所以10是第三象限角． 故sin

12、 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan＜0，sin 10＜0，④正確． ,　　　　　　　　　4　弧長公式與扇形面積公式) ,　　　　　4)　扇形AOB的周長為8 cm. (1) 若這個扇形的面積為3 cm2，求圓心角的大小； (2) 求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB. 解：設扇形AOB的半徑為r cm，弧長為l cm，圓心角為α， (1) 由題意可得解得或 ∴ α＝＝或6. (2) ∵ 2r＋l＝8，∴ S扇＝lr＝l·2r≤·＝×＝4(cm2)， 當且僅當2r＝l，即α＝＝2時，扇形面積取得最大值， ∴ r＝2，∴ 弦長AB＝2×2sin 1＝

13、4sin 1(cm)． 已知扇形的周長是4 cm，則扇形面積最大時，扇形的圓心角的弧度數(shù)是________；扇形的圓心角所對的弦長為________cm. 答案： 2　2sin 1 解析：設此扇形的半徑為r cm，弧長為l cm，則2r＋l＝4，面積S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故當r＝1時S最大，這時l＝4－2r＝2 cm.從而α＝＝＝2. 扇形的圓心角所對的弦長為2sin 1 cm. 1. 若tan(α＋45°)<0，則sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定為負數(shù)的是__________． 答案：cos 2α 解析：∵

14、tan(α＋45°)<0，∴ k·180°－135°<α

15、而θ與－θ的終邊關于x軸對稱，故說法正確的是③. 4. 已知一扇形的圓心角為α (α>0)，扇形所在圓的半徑為R. (1) 若α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積； (2) 若扇形的周長是一定值C cm(C>0)，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？ 解：(1) 設弧長為l，弓形面積為S弓，又α＝90°＝，R＝10，則l＝×10＝5π(cm)， S弓＝S扇－S三角形＝×5π×10－×102＝25π－50 (cm2)． (2) 扇形周長C＝2R＋l＝(2R＋αR)cm，∴ R＝cm， ∴ S扇＝α·R2＝α·＝·＝·≤. 當且僅當α2＝4，即α＝2時，扇

16、形面積有最大值 cm2. 1. 給出下列命題： ① 第二象限角大于第一象限角； ② 三角形的內角是第一象限角或第二象限角； ③ 不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所在半徑的大小無關； ④ 若sin α＝sin β，則α與β的終邊相同； ⑤ 若cos θ<0，則θ是第二或第三象限的角． 其中正確的命題是________．(填序號) 答案：③ 解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①錯；當三角形的內角為90°時，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②錯；③正確；正弦值相等，但角的終邊不一定相同，故④錯；當θ＝π時，cos θ＝－1<0，θ既不是

17、第二象限角，也不是第三象限角，故⑤錯．綜上可知，只有③正確． 2. 已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝________． 答案：－ 解析：取終邊上一點(a，2a)(a≠0)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. 3. (2017·揚州一中月考改編)已知角α的終邊與單位圓x2＋y2＝1交于點P，則cos α＝________． 答案： 解析：∵ r＝1，∴ cos α＝＝. 4. (2017·蘇北四市期末)已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，

18、則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案：(－2，3] 解析：∵ cos α≤0，sin α>0， ∴ 角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上． ∴ ∴ －2

19、度制下的扇形的弧長與面積公式，比角度制下的扇形的弧長與面積公式要簡潔得多，用起來也方便得多．因此，我們要熟練地掌握弧度制下扇形的弧長與面積公式． 4. 利用單位圓解有關三角函數(shù)的不等式(組)的一般步驟 (1) 用邊界值定出角的終邊位置． (2) 根據(jù)不等式(組)定出角的范圍． (3) 求交集，找單位圓中公共的部分． (4) 寫出角的表達式． 第2課時　同角三角函數(shù)的基本關系式與 誘導公式(對應學生用書(文)、(理)51～52頁) ① 會運用同角三角函數(shù)進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明. ② 能運用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，會運用

20、它們進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明． ① 理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.② 理解正弦、余弦、正切的誘導公式[2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α]． 1. 已知sin α＝，且α∈，則tan α＝__________． 答案：－ 解析：由sin α＝，α∈，得cos α＝－， 則tan α＝＝－. 2. (必修4P20練習2改編)sin(－585°)的值為__________． 答案： 解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－sin(

21、180°＋45°)＝sin 45°＝. 3. (2017·蘇北四市摸底)已知sin＝，則cos α的值為________． 答案： 解析：∵ sin＝sin＝cos α，∴ cos α＝. 4. (必修4P23習題11改編)已知tan α＝2，則＝__________． 答案：1 解析：因為tan α＝2，所以＝＝＝1. 5. (必修4P21例4改編)若sin＝，則cos＋cos2＝__________． 答案： 解析：∵ sin ＝， ∴ sin＝， ∴ cos ＝. ∴ cos2＝1－sin2＝1－sin2 ＝1－sin2＝1－＝. ∴ cos＋cos2＝＋＝.

22、 1. 同角三角函數(shù)的基本關系 (1) 平方關系：sin2α＋cos2α＝1． (2) 商數(shù)關系：tan_α＝. 2. 誘導公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口訣 函數(shù)名不變符號看象限 函數(shù)名改變符號看象限 k·±

23、α(k∈Z)與α的三角函數(shù)關系的記憶規(guī)律：奇變偶不變，符號看象限． ,　　　　　　　　　1　同角三角函數(shù)的基本關系式) ,　　　　　1)　(必修4P23習題20改編)已知－0，即sin x－cos x<0. 則sin x－cos x＝－＝－＝－. (1) sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)

24、 ＝×＝－. (2) 由得則tan x＝－. 即＝＝. 變式訓練 (2017·鹽城模擬)已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α的值為________． 答案： 解析：∵ <α<，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴ cos α－sin α＝. ,　　　　　2)　(必修4P23習題12(2)改編)化簡： (－)·(－)． 解：原式＝[－]·[－]＝(－)·(－)＝· ＝ 若α為第二象限角，則cos α＋si

25、n α＝________． 答案：0 解析：原式＝cos α＋sin α＝cos α＋sin α.因為α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，即原式等于0. ,　　　　　　　　　2　誘導公式及其運用) ,　　　　　3)　已知sin＝，則sin＋sin2的值為__________． 答案： 解析：由誘導公式得sin ＝－sin＝－，sin2＝cos2＝，則sin＋sin2＝－＝. 變式訓練 已知cos＝a(|a|≤1)，則cos＋sin＝__________． 答案：0 解析：由題意知，cos＝cos＝ －cos＝－a.

26、 sin＝sin＝cos＝a， ∴ cos＋sin＝0. ,　　　　　　　　　3　同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式的綜合應用) ,　　　　　4)　(1) 設tan(5π＋α)＝m，求的值； (2) 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個內角． 解：(1) 由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m， ∴ ＝＝＝. (2) 由已知得 ①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±. (ⅰ) 當cos A＝時，cos B＝. 又∵ A，B是三角形的內角， ∴ A＝，B＝，∴ C＝π－(A＋B)＝. (ⅱ)

27、當cos A＝－時，cos B＝－. 又∵ A，B是三角形的內角， ∴ A＝，B＝，不合題意． 綜上知，A＝，B＝，C＝. 變式訓練 (1) (2017·江西聯(lián)考)已知tan(π－α)＝－，且α∈，求的值； (2) 在△ABC中，若sin(3π－A)＝sin(π－B)，cos＝cos(π－B)．試判斷三角形的形狀． 解：(1) 由已知得tan α＝，＝＝＝＝－. (2) 由題設條件，得sin A＝sin B，－sin A＝－cos B， ∴ sin B＝cos B，∴ tan B＝1. ∵ B∈(0，π)，∴ B＝， ∴ sin A＝×＝1. 又A∈(0，π)，∴ A＝

28、，∴ C＝. ∴ △ABC是等腰直角三角形． 1. 已知cos 31°＝a，則sin 239°·tan 149°的值是________． 答案： 解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝. 2. 已知α為銳角，且tan(π－α)＋3＝0，則sin α的值是________． 答案： 解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即＝3，sin α＝3cos α，所以sin2α＝9(1－sin2α)，10sin2α＝9，sin2α＝.因為α為銳角

29、，所以sin α＝. (解法2)因為α為銳角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.在如圖所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC＝3，則AC＝1，所以AB＝＝，故sin α＝＝. 3. (2017·南通調研)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ＝________． 答案：－ 解析：∵ sin θ＋cos θ＝，∴ 2sin θcos θ＝， ∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，∴ sin θ－cos θ＝或－.∵ θ∈，∴ sin θ

30、則(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值為__________． 答案：4 解析：因為＝2，所以sin2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4. 1. 已知sin(3π－α)＝－2sin，則sin αcos α＝__________． 答案：－ 解析：因為sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝＝＝－. 2. 已知cos(－80°)＝k，那么t

31、an 100°＝__________．　 答案：－ 解析：因為cos(－80°)＝cos 80°＝k，所以sin 80°＝＝.所以tan 100°＝－tan 80°＝－＝－. 3. (2017·鹽城調研)若3sin α＋cos α＝0，則＝________． 答案： 解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－，∴ ＝＝＝＝. 4. (2017·南京、鹽城模擬)已知cos＝，且－π<α<－，則cos＝________． 答案：－ 解析：因為＋＝，所以cos＝sin＝sin. 因為－π＜α＜－，所以－＜α＋＜－. 又cos＝＞0，所以－＜α＋＜

32、－， 所以sin＝－＝－＝－. 1. 利用平方關系解決問題時，要注意開方運算結果的符號，需要根據(jù)角α的范圍進行確定． 2. 應熟練應用誘導公式．誘導公式的應用原則是：負化正、大化小、化到銳角為終了．誘導公式的應用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：① 負角變正角，再寫成2kπ＋α(k∈Z)，0≤α＜2π的形式；② 轉化為銳角． 3. 同角三角函數(shù)基本關系可用于統(tǒng)一函數(shù)；誘導公式主要用于統(tǒng)一角，其主要作用是進行三角函數(shù)的求值、化簡和證明，如已知一個角的某一三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值時，要特別注意平方關系的使用． 4. 三角求值、化簡是三角函數(shù)的基礎，在求值與化

33、簡時，常用方法有： ① 弦切互化法：主要利用公式tan x＝進行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等類型可進行弦化切． ② 和積轉換法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關系進行變形、轉化． ③ 注意變角技巧：如π＋α為π＋或2π－等． ④ 巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝… 5. 在△ABC中常用到以下結論： sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－

34、tan C， sin＝sin＝cos， cos＝cos＝sin .[備課札記] 第3課時　三角函數(shù)的圖象和性質(對應學生用書(文)、(理)53～55頁) ① 知道三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期為T＝. ② 能根據(jù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上，正切函數(shù)在上的性質(如單調性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點等). ③ 會用“五點法”畫出y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期上的簡圖，能由正弦曲線y＝sin x通過相位、周期和振幅變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象． ① 了解三角函數(shù)

35、的周期性. ② 能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，并能根據(jù)圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上，正切函數(shù)在上的性質. ③ 了解三角函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義及其參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響． 1. (2017·南京期初)若函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期為π，則f的值是________． 答案： 解析：由題意，得＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin.因此f＝sin＝sin ＝. 2. 將函數(shù)f(x)＝2sin 2x的圖象上每一點向右平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則g(x)＝__________

36、__． 答案：2sin 解析：將函數(shù)f(x)＝2sin 2x的圖象上每一點向右平移個單位，得到函數(shù)g(x)＝2sin 2＝2sin的圖象．本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換(平移變換)． 3. 已知函數(shù)y＝2cos x的定義域為，值域為[a，b]，則b－a的值是__________． 答案：3 解析：因為x∈，所以cos x∈，所以y＝2cos x的值域為[－2，1]，所以b－a＝3. 4. 函數(shù)f(x)＝sin的單調遞增區(qū)間為________． 答案：(k∈Z) 解析：由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所求函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)．

37、 5. (必修4P45習題9改編)電流強度I(A)隨時間t(s)變化的函數(shù)I＝Asin(ωt＋φ)的部分圖象如圖所示，則當t＝ s時，電流強度是__________A. 答案：－5 解析：由圖象知A＝10，＝－＝，∴ ω＝＝100π.∴ I＝10sin(100πt＋φ).為五點中的第二個點，∴ 100π×＋φ＝.∴ φ＝.∴ I＝10sin(100πt＋)，當t＝ s時，I＝－5 A. 1. 周期函數(shù)的定義 周期函數(shù)的概念：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零的常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么稱y＝f(x)為周期函數(shù)；函數(shù)y＝Asin

38、(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均為T＝； 函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的周期為T＝.2. 三角函數(shù)的圖象和性質 三角函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 R R 值域和最值 [－1，1] 最大值：1 最小值：－1 [－1，1] 最大值：1 最小值：－1 R 無最值 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 關于原點對稱 關于y軸對稱 關于原點對稱 單調區(qū)間 在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)上單調遞減

39、 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調遞減 在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上單調遞增 3. “五點法”作圖 在確定正弦函數(shù)y＝sin x在[0，2π]上的圖象形狀時，起關鍵作用的五個點是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函數(shù)呢？ 4. 函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的特征 若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一個振動量時，則A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做頻率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． [備課札記]

40、 ,　　　　　　　　　1　“五點法”與“變換法”作圖) ,　　　　　1)　(必修4P40練習7改編)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)的周期為π. (1) 用“五點法”作出它在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象； (2) 說明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到． 解：∵ T＝π，∴ ＝π，即ω＝2. ∴ f(x)＝2sin. (1) 令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X. 列表如下： x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0

41、 y＝2sin 0 2 0 －2 0 圖象如圖： (2) (解法1)把y＝sin x的圖象上所有點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象；再把y＝sin的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象；最后把y＝sin的圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象． (解法2)將y＝sin x的圖象上每一點的橫坐標x變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)＝2sin

42、的圖象． 已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f＝. (1) 求ω和φ的值； (2) 在給定坐標系中作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象； (3) 若f(x)>，求x的取值范圍． 解：(1) 周期T＝＝π，∴ ω＝2. ∵ f＝cos＝cos＝－sin φ＝.又－<φ<0，∴ φ＝－. (2) 由(1)得f(x)＝cos，列表如下： x 0 π π π π 2x－ － 0 π π π f(x) 1 0 －1 0 圖象如圖： (3)∵ cos>，∴ 2kπ－<2x－<2kπ＋，∴ 2kπ＋<2x<

43、2kπ＋， ∴ kπ＋

44、上的圖象知， 當2x＋＝，即x＝時，f(x)取最大值＋1； 當2x＋＝，即x＝時，f(x)取最小值0. 綜上，f(x)在上的最大值為＋1，最小值為0. (3) 令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)， 所以當k＝0時，直線x＝是所有對稱軸中最靠近y軸的． 令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)， 所以當k＝0時，是所有對稱中心中最靠近y軸的， 所以所求的對稱軸為直線x＝，對稱中心為. 【精要點評】 對于三角函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的性質(定義域、單調性、對稱性、最值或值域等)問題，通常用換元的方法，令t＝ωx＋φ，將其轉化為函數(shù)y＝Asin t，

45、再進行其性質的研究． ●總結歸納 解有關三角函數(shù)性質的問題，通常需先將函數(shù)轉化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再用研究復合函數(shù)的單調性、值域的方法利用正弦函數(shù)的圖象和性質來處理．若ω<0，還需先利用誘導公式轉化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再將ωx＋φ看成整體，利用正弦函數(shù)y＝sin x的性質進行求解． ●題組練透 1. 將函數(shù)y＝sin 2x的圖象向左平移φ(φ＞0)個單位，若所得的圖象過點，則φ的最小值為__________． 答案： 解析：易知y＝sin 2(x＋φ)，即y＝sin(2x＋2φ)．∵ 圖象過點，∴ sin＝，∴ ＋2φ＝＋2kπ或

46、＋2φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝kπ或φ＝＋kπ，k∈Z.∵ φ>0，∴ φ的最小值為.Ｋ 2. 設函數(shù)y＝sin(0＜x＜π)，當且僅當x＝時，y取得最大值，則正數(shù)ω的值為__________． 答案：2 解析：當x＝時，令ωx＋＝，則正數(shù)ω＝2. 3. 函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為________． 答案：－ 解析：由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為－. 4. 設函數(shù)f(x)＝2sin的最小正周期為π，且滿足f(－x)＝－f(x)． (1) 求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2) 當x∈時，試求y＝f的最值

47、，并寫出取得最值時自變量x的值． 解：(1) 因為f(x)的最小正周期為π，所以T＝＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，所以f(0)＝0，所以sin＝0.又|φ|＜，所以φ＝－，所以ω＝2，φ＝－，所以f(x)＝2sin 2x.則2x∈(k∈Z)，解得函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2) 當x∈時，2x－∈，y＝f＝2sin 2＝2sin. 當2x－＝，即x＝時，f(x)取得最大值2；當2x－＝－，即x＝0時，f(x)取得最小值－. ,　　　　　　　　　3　根據(jù)圖象和性質確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式) ,　　　　　3)　設函數(shù)f(x)＝Asin

48、(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分圖象如圖所示． (1) 求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2) 當x∈時，求f(x)的取值范圍． 解：(1) 由圖象知，A＝2. 又＝－＝，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x＋φ)，將點代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)． 又－＜φ＜，所以φ＝.所以f(x)＝2sin. (2) 當x∈時，x＋∈， 所以sin∈， 即f(x)∈[－，2]． 變式訓練 已知函數(shù)f(x)＝2sin(0＜φ＜π，ω＞0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為. (1) 求f

49、的值； (2) 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)的解析式，并寫出g(x)的單調遞減區(qū)間． 解：(1) ∵ f(x)為偶函數(shù)， ∴ φ－＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z. ∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝. 由題意得＝2×，解得ω＝2. 故f(x)＝2cos 2x，f＝2cos ＝. (2) 將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到f的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到f的圖象，所以g(x)＝f(－)＝2cos＝2cos. 當2kπ≤－≤2kπ＋π

50、(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)時，g(x)單調遞減． 因此g(x)的單調遞減區(qū)間為[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z)． ,　　　　　　　　　4　三角函數(shù)的應用) ,　　　　　4)　(必修4P42例2改編)如圖，一個水輪的半徑為4 m，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉動5圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計算時間． (1) 將點P距離水面的高度z(m)表示為時間t(s)的函數(shù)； (2) 點P第一次到達最高點大約需要多少時間？ 解：(1) 建立如圖所示的直角坐標系， 設角φ是以Ox為始邊，OP0為終邊的角． OP每秒鐘內所轉過的角為＝

51、. 則OP在t(s)內所轉過的角為t. 由題意可知水輪逆時針轉動，得z＝4sin＋2. 當t＝0時，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－. 故所求函數(shù)解析式為z＝4sin＋2. (2) 令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1. 令t－＝，得t＝4， 故點P第一次到達最高點大約需要4 s. 如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點與地面距離為0.8 m，且60 s轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面間的距離為h. (1) 求h與θ之間的函數(shù)解析式； (2) 設從OA開始轉動，經(jīng)過t s后到達OB，求h與t之間的函數(shù)

52、解析式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少． 解：(1) 以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系． 則以Ox為始邊，OB為終邊的角為θ－， 故點B的坐標為， ∴ h＝5.6＋4.8sin. (2) 點A在圓上轉動的角速度是 rad/s， 故t s轉過的弧度數(shù)為t， ∴ h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)． 到達最高點時，h＝10.4 m. 由sin＝1，得t－＝，∴ t＝30 s， ∴ 纜車到達最高點時，用的最少時間為30 s. 1. 已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期為π，且它的圖象過點，則φ的值為__________． 答案

53、：－ 解析：f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的最小正周期為π，則ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，它的圖象過點，則sin＝－，故φ＝－. 2. 函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示．若A，B兩點之間的距離AB＝5，則ω的值為________． 答案： 解析：AB＝5，|yA－yB|＝4，則|xA－xB|＝3＝，則T＝6，則＝6，ω＝. 3. 將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位得到的圖象關于點對稱，則φ＝________． 答案： 解析：由題意得平移以后的函數(shù)為y＝sin，因為圖象關于點對稱，所以2×＋＋φ＝kπ(k∈

54、Z)，解得φ＝kπ－(k∈Z)．因為0<φ<π，所以φ＝. 4. 函數(shù)f(x)＝cos(πx＋φ)的部分圖象如圖所示． (1) 求φ及圖中x0的值； (2) 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解：(1) 由圖可知，f(0)＝f(x0)＝， 即cos φ＝，cos(πx0＋φ)＝. 又φ∈，x0>0，所以φ＝，x0＝. (2) 由(1)可知f(x)＝cos. 因為x∈，所以－≤πx＋≤. 所以當πx＋＝0，即x＝－時，f(x)取得最大值1； 當πx＋＝，即x＝時，f(x)取得最小值0. 1. (2017·南師附中、淮陰中學、海門中學、天一中學四校聯(lián)考)將函數(shù)y＝

55、sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，若函數(shù)f(x)的圖象過原點，則φ＝________． 答案： 解析：將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到函數(shù)f(x)＝sin＝sin的圖象，若函數(shù)f(x)的圖象過原點，則f(0)＝sin＝0，＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z.又0<φ<π，則φ＝. 2. 若函數(shù)y＝sin(ωx－φ)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是______． 答案：2， 解析：由題圖可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2.又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ

56、(k∈Z)．而|φ|<，所以φ＝. 3. (2017·第三次全國大聯(lián)考江蘇卷)將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)的圖象向右平移φ(0<φ<π)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若f(x)，g(x)的圖象都經(jīng)過點P，則φ的值為________． 答案： 解析：由題意，可得sin θ＝.因為－＜θ＜，所以θ＝.因為g(x)＝sin，所以sin＝.又因為0＜φ＜π，所以－2φ＋∈，－2φ＋＝－，φ＝. 4. 已知函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在區(qū)間上的最大值為3，則 (1) m＝________； (2) 當f(x)在[a，b]上至少含20個零點時，b－a的最小值為___

57、_____． 答案：(1) 0　(2) 解析：(1) f(x)＝ sin 2x＋2cos2x＋m＝sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin ＋m＋1. 因為0≤x≤，所以≤2x＋≤. 所以－≤sin≤1， f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，∴ m＝0. (2) 由(1)得f(x)＝2sin＋1，周期T＝＝π，在長為π的閉區(qū)間內有2個或3個零點． 由2sin＋1＝0，得sin＝－， 2x＋＝2kπ＋，k∈Z或2x＋＝2kπ＋，k∈Z， 所以x＝kπ＋或x＝kπ＋，k∈Z. 不妨設a＝，則當b＝9π＋時，f(x)在區(qū)間[a，b]上恰有19個零點，當b＝9π＋時恰有2

58、0個零點，此時b－a的最小值為9π＋＝. 1. 求三角函數(shù)的定義域實際上是解簡單的三角函數(shù)不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解． 2. 求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型： ① 形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)； ② 形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)； ③ 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函數(shù)，可先設t＝sin x±cos x，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)．　 3. 對

59、于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k函數(shù)的性質(定義域、值域、單調性、對稱性、最值等)，可以通過換元的方法令t＝ωx＋φ，將其轉化為研究y＝sin t的性質． 4. 求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由最高(低)點的縱坐標確定A，由周期確定ω，由適合解析式的點的坐標來確定φ，但由條件求得y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范圍，才能得出惟一解． 5. 由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位；而先周期變換(伸

60、縮變換)再相位變換，平移的量是(ω＞0)個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值． [備課札記] 第4課時　兩角和與差的正弦、余弦和 正切公式(對應學生用書(文)、(理)56～58頁) 掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式，能運用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明． ① 了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程.② 能從兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦、兩角和與差的正弦、兩角和與差的正切公式，體會化歸思想的應用． 1. 設α∈，若si

61、n α＝，則cos＝________． 答案： 解析：∵ α∈，且sin α＝，∴ cos α＝. ∴ cos＝cos αcos －sin αsin＝×－×＝. 2. (必修4P106練習4改編)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________． 答案： 解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin 10°＝sin 30°＝. 3. (必修4P109練習8改編)函數(shù)y＝sin x＋cos x的值域是__________． 答案：[－2，2] 解析：y＝sin

62、x＋cos x＝2sin∈[－2，2]． 4. (必修4P118習題9改編)若α＋β＝，則(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________． 答案：2 解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan ·(1－tan αtan β)＋1＝2. 5. (必修4P110例6改編)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則的值為________． 答案： 解析：(解法1) ? 從而＝＝×5＝. (解法2)設x＝，∵ ＝5

63、， ∴ ＝＝＝＝5. ∴ x＝，即 ＝. 1. 兩角差的余弦公式推導過程 設單位圓上兩點P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，則∠P1OP2＝α－β(α>β)． 向量a＝＝(cos α，sin α)，b＝＝(cos β，sin β)， 則a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)， 由向量數(shù)量積的坐標表示，可知a·b＝cos αcos β＋sin αsin β， 因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之間的關系及導出過程 3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsi

64、n_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； tan(α－β)＝； tan(α＋β)＝． 4. asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝.φ的終邊所在象限由a，b的符號來決定． 5. 常用公式變形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)； sin α＋cos α＝si

65、n； sin α－cos α＝sin. [備課札記] ,　　　　　　　　　1　利用角的和、差公式進行化簡、求值或證明) ,　　　　　1)　(1) 求值：＝__________； (2) (原創(chuàng))化簡：tan(18°－θ)·＋[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]＝__________． 答案：(1) 　(2) 1 解析：(1) 原式＝ ＝ ＝＝. (2) 原式＝tan(18°－θ)·＋[tan(18°－θ)＋ta

66、n(12°＋θ)]＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋tan[(18°－θ)＋(12°＋θ)][1－tan(18°－θ)tan(12°＋θ)] ＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋[1－tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)]＝1. 變式訓練 (1) (改編題)求4(cos 24°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°的值； (2) 化簡：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． 解：(1) 原式＝4(sin 66°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40° ＝4sin 40°－＝ ＝＝ ＝＝＝. (2) 原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－·cos[(θ＋45°)－30°]＝sin(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋45°)－sin(θ＋45°)＝0.,　　　　　　　　　2　給值求值、求角問題) ●典型示例 ,　　　　　2)　已知0＜α＜＜β＜π，tan＝－7，cos(β－α)＝. (1)