黎曼積分與勒貝格積分的比較

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畢業(yè)論文 題 目 黎曼積分與勒貝格積分的比較 學 院 **************** 姓 名 **** 專業(yè)班級 ******** 學 號 ********* 指導教師 提交日期 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導教師的指導下獨立進行研究所取得的成果.學位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點等均已明確注明出處.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果. 本聲明的法律責任由本人承擔. 論文作者簽名： 年 月 日 論文指導教師簽名： 年 月 日 黎曼積分與勒貝格積分的比較 摘 要 本文介紹了黎曼積分和勒貝格積分的概念，通過對兩類積分的基本性質(zhì)，可積條件,結(jié)合相關(guān)定理，分析了勒貝格積分在積分與極限交換次序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處，并結(jié)合具體實例，具體說明了黎曼積分和勒貝格積分之間的聯(lián)系與區(qū)別. 關(guān)鍵字 黎曼積分； 勒貝格積分；比較；可測函數(shù)；可積函數(shù). 目錄 引言 1 1 定義 1 1.1黎曼積分的定義 1 1.2 勒貝格積分的定義 2 2 黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì) 2 2.1黎曼積分的基本性質(zhì) 2 2.2勒貝格積分的基本性質(zhì) 3 3 黎曼可積與勒貝格可積的條件 4 3.1黎曼可積的條件 4 3.2勒貝格可積的條件 5 4 相關(guān)定理 5 4.1與勒貝格積分有關(guān)的定理 5 4.2與黎曼積分有關(guān)的定理 6 5 黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系 6 6 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別 8 7 實例 10 總結(jié) 11 參考文獻 12 致謝 13 16 黎曼積分與勒貝格積分的比較 引言 勒貝格積分相對于黎曼積分要遲發(fā)展了半個世紀.我們知道，黎曼積分在求積、物體質(zhì)心、矩量等問題中起著重要作用.黎曼可積函數(shù)主要是連續(xù)函數(shù)或者不連續(xù)點不太多的函數(shù)，就從數(shù)學分析中的一些重要結(jié)果如積分與極限交換次序，重積分交換次序，牛頓-萊布尼茨公式等來看，在黎曼積分情形所加條件，沒有勒貝格積分情形那樣方便.而用勒貝格積分處理這一類問題是相當靈活的.事實上，如果不用勒貝格測度概念，數(shù)學分析中的一些道理很難講清楚.下面就具體比較一下勒貝格積分和黎曼積分的不同處理方法. 1 定義 1.1黎曼積分的定義 設(shè)在上有定義 1） 作劃分.在上添加個分點得到，將分成個小區(qū)間，記小區(qū)間的長度為. 2） 取近似.任取點，用底為 ，高為的矩形面積近似代替小的曲邊梯形的面積. 3） 求和.這些小矩形面積之和為. 4） 取極限.令，當時，極限 存在. 則稱在上黎曼可積，且有 1.2 勒貝格積分的定義 設(shè)是有界可測集上的可測函數(shù) 1） (簡單函數(shù)的積分) 設(shè)上簡單函數(shù)，其中等為互不相交的可測集，等互異，表示的特征函數(shù).和為簡單函數(shù)在上的積分，并記為 2） (非負可測函數(shù)的積分) 取簡單函數(shù)滿足，另變動，定義在上積分為 如果此量為有限，則稱在上可積，否則只說在上積分為（這時在上有積分但不可積）. 3) （一般可測函數(shù)的積分）對于一般可測函數(shù)，當與不同時為時，定義 在上的積分為 當此式右端兩項均為有限項時，的積分是有限的，稱在上可積. 2 黎曼積分與勒貝格積分的基本性質(zhì) 2.1黎曼積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 若在上黎曼可積，為常數(shù)，則在上黎曼可積，且 . 性質(zhì)2 若，都在上黎曼可積，則在上也黎曼可積，且 . 性質(zhì)3 若，都在上黎曼可積，則在上也黎曼可積. 性質(zhì)4 在上黎曼可積的充要條件是:任給，在與 都黎曼可積，且有等式 . 性質(zhì)5 設(shè)為上的黎曼可積函數(shù).若，，則 . 性質(zhì)6 若在上黎曼可積，則在上也黎曼可積，且 . 2.2勒貝格積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)是有界可測集上的可積函數(shù)，，等均可測且兩兩不相交，則有 . 性質(zhì)2 設(shè)在有界可測集上可積，則對任意正數(shù)，有正數(shù)，使當時就有 . 性質(zhì) 3 設(shè)是有界可測集上的可積函數(shù)，，等均可測且兩兩不相交，則 . 性質(zhì) 4 設(shè)在上可積，則對任何實數(shù)，也可積，且 . 性質(zhì) 5 設(shè)在，上均可積,則也可積，且 . 性質(zhì) 6 設(shè)在，上均可積,且，則 . 3 黎曼可積與勒貝格可積的條件 3.1黎曼可積的條件 充分條件： 1、若為定義在上的連續(xù)函數(shù)，則在上黎曼可積. 2、若為定義在上的只有有限個間斷點的有界函數(shù)，則在上黎曼可積. 3、若為定義在上的單調(diào)函數(shù)，則在上黎曼可積. 4、若為定義在上的有界函數(shù)，是的間斷點，且，則在上黎曼可積. 充要條件： 設(shè)在上有界 1、在上黎曼可積的充要條件是：在上的黎曼上積分等于黎曼下積分.即 設(shè)為對的任意分割.由在上有界，它在每個上存在上、下確界： ， 作和 ，， 則有 . 2、在上黎曼可積的充要條件是：任給，總存在相應的一個分割，使得 . 3、在上黎曼可積的充要條件是：任給，總存在相應的某一分割，使得 （其中，稱為在上的振幅）. 必要條件：若函數(shù)在上黎曼可積，則在上必定有界. 3.2勒貝格可積的條件 充分條件： 1、 若是有界可測集上的非負可測函數(shù)，則在上勒貝格可積. 2、若可測函數(shù)，在可測集上幾乎處處滿足，則當可積時，也可積. 3、設(shè)為定義在有限區(qū)間上的函數(shù)，若黎曼可積，則必然勒貝格可積. 充要條件： 1、設(shè)是可測集上的有界函數(shù)，則在上勒貝格可積的充要條件是：在上勒貝格可測. 2、設(shè)是可測集上的連續(xù)函數(shù)，則在上勒貝格可積的充要條件是：在上勒貝格可測. 4 相關(guān)定理 4.1與勒貝格積分有關(guān)的定理 1、（唯一性定理）設(shè)在可測集上勒貝格可積，則的 充要條件是. 2、（勒維定理）設(shè)可測集上可測函數(shù)列滿足下面的條件： ， 則的積分序列收斂于的積分： . 3、（法杜定理）設(shè)是可測集上的非負可測函數(shù)列，則 . 4、（控制收斂定理）設(shè)可測集上可測函數(shù)列滿足下面的條件：的極限存在，，且有可積函數(shù)使 ， 則可積，且有 . 4.2與黎曼積分有關(guān)的定理 1（連續(xù)性）若函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則其極限函數(shù)在上也連續(xù). 2（可積性）若函數(shù)列在上一致收斂，且每一項都連續(xù)，則 . 3（可微性）設(shè)為定義在上的函數(shù)列，若為的收斂點，的每一項在上有連續(xù)的導數(shù)，且在上一致收斂，則 . 5 黎曼積分與勒貝格積分的聯(lián)系 1、對于定義在上的函數(shù)，若它是黎曼可積的，則必然是勒貝格可積的，且 由此可知，通常在計算勒貝格積分時，一般先考慮該函數(shù)是否黎曼可積，如果可以，那么就先化為黎曼積分求解.下面先看一個例子. 例1 計算在上的積分. 解 用截斷函數(shù)求解 是上的非負函數(shù)，作截斷函數(shù) 顯然，對每個均黎曼可積，故也勒貝格可積，且有 于是 ， 注：上述結(jié)論只對上的有界函數(shù)成立，對于無界函數(shù)的廣義積分，結(jié)論不再成立. 例2 在上定義函數(shù) 其反常積分的值為，但，不是勒貝格可積的.但對于非負有界函數(shù)的黎曼反常積分，若在上黎曼反常積分存在，則必勒貝格可積的，且積分值相等. 2、 勒貝格可積的函數(shù)不一定黎曼可積 例3 在上定義狄利克雷函數(shù)： 就不是黎曼可積的.事實上，對區(qū)間的任意分劃，一切積分大和等于，一切積分小和等于.因而不可能是黎曼可積的.但是，注意到，就知道的勒貝格積分存在且等于. 3、 勒貝格積分是一定意義下黎曼積分的推廣（測度是長度的推廣，可測函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的推廣） 注：勒貝格積分并不是單純的對黎曼積分的推廣 例4 設(shè)函數(shù)定義在上，由于在廣義積分理論有，從而是黎曼可積的，但是在勒貝格積分理論中，由于，即非絕對可積，故不是勒貝格可積的. 6 黎曼積分與勒貝格積分的區(qū)別 1、 就可積函數(shù)的積分范圍來看，勒貝格積分比黎曼積分更廣泛. 對定義域和值域的劃分是黎曼積分與勒貝格積分最本質(zhì)的區(qū)別.黎曼積分是將給定的函數(shù)劃分定義域而產(chǎn)生的，而勒貝格積分是通過劃分函數(shù)值域而產(chǎn)生的. 黎曼積分劃分后的區(qū)間長度很容易給出，但當分割的細度加細時，函數(shù)的振幅仍可能較大，而勒貝格積分的優(yōu)點是函數(shù)的振幅較小，從而擴展了可積函數(shù)類，使許多問題得到解決.但一般不再是區(qū)間，而是可測集，其度量一般不容易給出.然而就是這一點點差別，使勒貝格積分具備了很多黎曼積分所不具有的良好性質(zhì).因為勒貝格積分相對黎曼積分的 2、 從某些極限過程來看，勒貝格積分比黎曼積分更優(yōu)越些. 對黎曼積分來說，關(guān)于積分列求極限的問題，經(jīng)常要求函數(shù)序列一致收斂（充分條件），極限才可以與積分號交換順序.從運算的角度看不僅不方便，限制也過強.然而關(guān)于勒貝格積分，對函數(shù)列的要求就寬的多. 例5 在上定義狄利克雷函數(shù)： 把中的有理點依次排列為 作函數(shù)： 則處處收斂于，且，.由勒貝格控制收斂定理知，是勒貝格可積的，且有 . 但由例3知，不是黎曼可積的，就談不上上述極限等式成立的可能性.盡管在黎曼積分意義下， ， . 3、 微積分基本定理的使用范圍擴大了. 我們來看數(shù)學分析中的牛頓-萊布尼茨公式 在數(shù)學分析中通常在有連續(xù)導數(shù)的假定下證明上述公式，或者將條件減弱些，但總要求為黎曼可積才行.可是對于勒貝格積分情形，可以在為勒貝格可積的條件下進行討論.當有界時，證明微積分基本定理并不難，但當無界時，只要是可積的，微積分基本定理成立. 4、 黎曼積分和勒貝格積分的可加性（區(qū)域可加性）不同. 由前面黎曼積分和勒貝格積分的性質(zhì)知道，黎曼積分具有有限可加性，但沒有可列可加性，而對于勒貝格積分，它不僅具有有限可加性，還具有可列可加性.克服了黎曼積分的缺陷.對于這兩種積分的可加性不難理解，我們知道，黎曼積分建立在區(qū)間之上，而區(qū)間只有有限可加性，勒貝格積分建立在勒貝格測度之上，測度具有可列可加性，由于它們之間的密切聯(lián)系，區(qū)間和勒貝格測度也就反映到相應的積分上來了. 7 實例 因為勒貝格積分相對黎曼積分的優(yōu)越性，所以我們平時用勒貝格積分解決黎曼積分中較難的問題. 例6 計算上黎曼函數(shù) 的積分. 分析：這個函數(shù)在所有無理點處是連續(xù)的，在有理點處是不連續(xù)的，雖然在中有無窮多個有理點，即黎曼函數(shù)在上的不連續(xù)點有無窮多個，但它仍是黎曼可積的，但用黎曼積分方法求其積分值比較復雜，然而用勒貝格積分的方法求積分值就十分簡單了. 解 由是黎曼可積幾乎處處連續(xù)，令，，則 例7 求極限 . 解 因為有 且有 由勒貝格控制收斂定理可得 . 利用勒貝格積分可得出黎曼積分比較深刻的理論，其中之一就是黎曼可積條件的推廣.利用勒貝格積分理論中的積分極限定理，可以證明：對上有界函數(shù)，黎曼可積的充分必要條件是在上不連續(xù)點的測度長為，這是黎曼積分的本質(zhì)特性，從黎曼積分的自身理論是推不出來的，必須借助勒貝格積分理論才能得到.但是，黎曼積分也有它的優(yōu)勢，比如在非均勻分布時，“直線段”質(zhì)量、平面薄板質(zhì)量等的問題上，用黎曼積分比較簡潔方便. 總結(jié) 1 勒貝格積分和黎曼積分之間有一種相互依賴、相互補充及特定條件下相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系. 2 勒貝格積分拓寬了黎曼積分的定義，使得可積性的條件要求減弱了. 3 勒貝格積分在積分與極限交換次序的條件要求上有比黎曼積分優(yōu)越的好處.它，放松了黎曼積分要求函數(shù)序列的一致收斂的過強要求，由勒貝格控制收斂定理，只要所給函數(shù)列可測、有界、收斂，積分與極限就可交換次序. 4 勒貝格積分并沒有完全否定黎曼積分，它把黎曼積分作為一種特例加以概括，并在一定條件下勒貝格積分可以轉(zhuǎn)化為黎曼積分.由此可見，黎曼積分和勒貝格積分各有自己的優(yōu)勢和價值. 參考文獻 [1] 鄭維行，王聲望.實變函數(shù)與泛函分析概要（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010 [2] 周成林.勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系[J]. 河南：新鄉(xiāng)教育學報.2005:(18)75-76 [3] 華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010 [4] 周民強.實變函數(shù)論[M]. 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