2022高考數(shù)學(xué)《從課本到高考》之集合與函數(shù) 專題06 分段函數(shù)學(xué)案

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1、2022高考數(shù)學(xué)《從課本到高考》之集合與函數(shù) 專題06 分段函數(shù)學(xué)案 【典例解析】 1.（必修1第45頁復(fù)習(xí)參考題B組第4題）已知函數(shù)求，，的值. 【解析】; ; 當(dāng)時(shí)，，， 當(dāng)時(shí)，，. 【反思回顧】（1）知識(shí)反思；函數(shù)及分段函數(shù)的概念，函數(shù)求值； （2）解題反思；應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)，首先要確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)關(guān)系代入計(jì)算求解， 特別要注意分段區(qū)間端點(diǎn)的取舍，當(dāng)自變量的值不確定時(shí)，要分類討論.體現(xiàn)分類思想。 【知識(shí)背囊】 1．有些函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)每一段都有一個(gè)

2、解析式，這些解析式組成的整體才是該分段函數(shù)的解析式．（注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)）； 2．分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾條曲線組成．在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)每段的定義區(qū)間和表達(dá)式依次畫出圖象，要注意每段圖象的端點(diǎn)是空心點(diǎn)還是實(shí)心點(diǎn)，組合到一起就得到整個(gè)分段函數(shù)的圖象．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，只有一個(gè)圖象，作圖時(shí)只能將各段函數(shù)圖象畫在同一坐標(biāo)系中，而不能將它們分別畫在不同的坐標(biāo)系中． 3．（1）分段函數(shù)的定義域：一個(gè)函數(shù)只有一個(gè)定義域，分段函數(shù)的定義域是所有自變量取值區(qū)間的并集，分段函數(shù)的定義域只能寫成一個(gè)集合的形式，不能分開寫成幾個(gè)集合的形式． （2）分段函數(shù)的值域：求分段函數(shù)的

3、值域，應(yīng)先求出各段函數(shù)在對應(yīng)自變量的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值的集合，再求出它們的并集． （3）分段函數(shù)求值：首先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段函數(shù)的解析式中求值，直到求出值為止．當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值． （4）對于分段函數(shù)應(yīng)用題，尤其是求最值問題，不僅要分段考慮，最后還要再將各段綜合起來進(jìn)行比較．要注意分段函數(shù)值域是各段上函數(shù)值域的并集，最大(小)值是各段上最大(小)值中最大(小)的． 【變式訓(xùn)練】 變式1. 若，則（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】∵–2<0，∴；又∵2>0，∴，故選C． 變式2. 設(shè)函數(shù)，

4、若，則實(shí)數(shù)（ ） A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 【答案】B 【解析】由知，（舍去），即或，選. 變式3.已知f（x）=使f（x）≥–1成立的x的取值范圍是（ ） A．[–4，2） B．[–4，2] C．（0，2] D．（–4，2] 【答案】B 變式4.已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是( ) A．(0,1)　　 B.　　 C.　　 D. 【答案】C 【解析】據(jù)題意要使原函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)，要滿足3

5、a－1＜0，且0＜a＜1，及x＝1時(shí)(3a－1)×1＋4a≥loga1，解得a的取值范圍為，故選C. 反思：在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)注意以下兩方面的問題：一是必須在定義域的范圍內(nèi)研究單調(diào)性，超出了定義域范圍的單調(diào)區(qū)間是沒有意義的. 變式5.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則方程的根為（　?。? A． B． C. ， D．， 【答案】B 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為上的奇函數(shù)，所以，即，解得. 所以.方程，即. 當(dāng)時(shí)，有，整理得，解得. 綜上，方程的根為，故選B. 變式6. 設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則

6、 【答案】 【解析】由分段函數(shù)的解析式可知： . 變式7.已知函數(shù) ，若 ，則 【答案】 【解析】當(dāng) 即時(shí)， （舍）； 當(dāng) 即時(shí)， 。 【高考鏈接】 1.【2015高考新課標(biāo)2理5】設(shè)函數(shù),( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】由已知得，又，所以， 故，故選C． 2.【2017山東文9】設(shè),若,則 （ ） A. 2 B. 4 C. 6

7、 D. 8 【答案】C 【解析】由時(shí)是增函數(shù)可知,若,則,所以,由得,解得,則,故選C. 3.【2014上海理18】若是的最小值，則的取值范圍為（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) 【答案】D 【解析】由于當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，由題意當(dāng)時(shí)，應(yīng)該是遞減的，則，此時(shí)最小值為，因此，解得，選D． 4.【2015高考湖北理6】已知符號函數(shù) 是上的增函數(shù)，，則（ ） A． B． C． D

8、． 【答案】B 【解析】因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，令，所以，因?yàn)椋允巧系臏p函數(shù)，由符號函數(shù) 知，. 5.【2014福建理7】已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 是偶函數(shù) B. 是增函數(shù) C.是周期函數(shù) D.的值域?yàn)? 【答案】D 【解析】由于分段函數(shù)的左右兩邊的函數(shù)圖象不關(guān)于y軸對稱，所以A不正確.由于圖象左邊不單調(diào),所以B不正確.由于圖象x>0部分的圖象不是沒有周期性，所以C不正確.故選D. 6.【2015高考山東理10】設(shè)函數(shù)則滿足的取值范圍是（ ） （A） （B） （C）

9、（D） 【答案】C 【解析】當(dāng) 時(shí)， ，所以， ，即符合題意. 當(dāng) 時(shí)， ,若 ，則 ，即： ，所以 適合題意綜上， 的取值范圍是 ,故選C. 7.【2014四川理12】設(shè)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 . 【答案】1 【解析】. 8.【2014年安徽卷】若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為 ，則. 【答案】 【解析】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性.因?yàn)橹芷谑?，且在上的解析式為 ，所以 . 9．【2018年江蘇卷】函數(shù)滿足，且在區(qū)間上， 則的值為________． 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對應(yīng)

10、函數(shù)解析式求值，再代入對應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果；由得函數(shù)的周期為4，所以因此 10.【2015高考浙江理10】已知函數(shù)，則 ，的最小值是 ． 【答案】，. 【解析】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等 號成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故最小值為. 11.【2014上海理4】設(shè)若，則的取值范圍為_____________. 【答案】 【解析】由題意，若，則不合題意，因此，此時(shí)時(shí)， ，滿足. 12.【2014年浙江卷理15】設(shè)函數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______ 【答案】 【解析】由題意，或，解得，當(dāng)或，解得，解得． 13.【2016高考江蘇卷】設(shè)是定義在上且周

11、期為2的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中 若 ，則的值是 . 【答案】 【解析】， 因此 14.【2015高考福建，理14】若函數(shù) （ 且 ）的值域是 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】當(dāng)，故，要使得函數(shù)的值域?yàn)椋恍瑁ǎ┑闹涤虬?，故，所以，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍是． 15.【2017課標(biāo)3理15】設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_________. 【答案】 【解析】：令 ， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 寫成分段函數(shù)的形式：， 函數(shù) 在區(qū)間 三段區(qū)間內(nèi)均單調(diào)遞增， 且： ， 據(jù)此x的取值范圍是： . 16.【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù). ①若，則的最大值為______________； ②若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________. 【答案】，. 【解析】如圖作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點(diǎn)是，，，由，知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，，因此的最大值是； ②由圖象知當(dāng)時(shí)，有最大值是；只有當(dāng)時(shí)，由，因此無最大值，∴所求的范圍是，故填：，．