2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講課時(shí)訓(xùn)練 選修4-5

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講課時(shí)訓(xùn)練 選修4-5 1. 解不等式1<|x-1|<3. 解:原不等式可化為12時(shí),不等式化為x+1+x-2<4, 解得22x. 解:原不等式等價(jià)于x2-2x+4<-2x?、?, 或x2-2x+

2、4>2x?、? 解①得解集為?, 解②得解集為{x|x∈R且x≠2}. ∴ 原不等式的解集為{x|x∈R且x≠2}. 4. 解不等式x2-|x|-2<0. 解:(解法1)當(dāng)x≥0時(shí),x2-x-2<0, 解得-1

3、≤4的x的最大值為3,求實(shí)數(shù)a的值. 解:因?yàn)閤的最大值為3,所以x≤3,即不等式為|2x+a|+3-x≤4,所以|2x+a|≤x+1, 所以所以 因?yàn)閤的最大值為3,所以1-a=3,即a=-2. 6. 已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|-|a2-2a|.若函數(shù)f(x)的圖象恒在x軸上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:f(x)的最小值為3-|a2-2a|, 由題設(shè),得|a2-2a|<3,解得a∈(-1,3). 7. 已知函數(shù)f(x)=|x|-|x-3|. (1) 解關(guān)于x的不等式f(x)≥1; (2) 若存在x0∈R,使得關(guān)于x的不等式m≤f(x0)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍

4、. 解:(1) 原不等式等價(jià)于不等式組①:或②:或③:不等式組①無解;解不等式組②得2≤x<3;解不等式組③得x≥3,所以原不等式的解集為[2,+∞). (2) 由題意知m≤f (x)max,因?yàn)閒(x)=|x|-|x-3|≤|x-x+3|=3,所以f(x)max=3,所以m≤3,即m∈(-∞,3]. 8. 已知函數(shù)f(x)=|1-x|-|2+x|. (1) 求f(x)的最大值; (2) |2t-1|≥f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解:(1) f(x)=|1-x|-|2+x|≤|1-x+2+x|=3, 當(dāng)且僅當(dāng)x≤-2時(shí)等號(hào)成立,∴ f(x)max=3. (2) 由|2

5、t-1|≥f(x)恒成立得|2t-1|≥f(x)max, 即|2t-1|≥3,2t-1≥3或2t-1≤-3, 解得t≥2 或 t≤-1, ∴ 實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞). 9. 已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1(a>0). (1) 當(dāng)a=1時(shí),求此不等式的解集; (2) 若此不等式的解集為R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1) 當(dāng)a=1時(shí),得2|x-1|≥1, 即|x-1|≥, 解得x≥或x≤, ∴ 不等式的解集為∪. (2) ∵ |ax-1|+|ax-a|≥|a-1|, ∴ 原不等式解集為R等價(jià)于|a-1|≥1. ∴ a≥2或a≤0

6、. ∵ a>0,∴ a≥2. ∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+∞). 10. 設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集; (2) ?x∈R,f(x)≥t2-t,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解:(1) f(x)= 當(dāng)x<-時(shí),-x-3>2,x<-5,∴ x<-5; 當(dāng)-≤x<2時(shí),3x-1>2,x>1,∴ 12,x>-1,∴ x≥2. 綜上所述,不等式f(x)>2的解集為{x|x>1或x<-5}. (2) f(x)min=-,若?x∈R,f(x)≥t2-t恒成立, 則只需f(x)min=-≥t2-,解得≤t≤5

7、. 即t的取值范圍是. 11. 設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x+1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D; (2) 若存在實(shí)數(shù)x∈{x|0≤x≤2},使得+>a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1) 當(dāng)x≤-1時(shí),由f(x)=-x+2≤0得x≥2,所以x∈?; 當(dāng)-1時(shí),由f(x)=x-2≤0得x≤2,所以

8、∞,2). 第2課時(shí) 不等式證明的基本方法 1. 已知x≥1,y≥1,求證:x2y+xy2+1≤x2y2+x+y. 證明:左邊-右邊=(y-y2)x2+(y2-1)x-y+1=(1-y)[yx2-(1+y)x+1]=(1-y)(xy-1)(x-1), ∵ x≥1,y≥1,∴ 1-y≤0,xy-1≥0,x-1≥0. 從而左邊-右邊≤0, ∴ x2y+xy2+1≤x2y2+x+y. 2. (2017·蘇州期末)已知a,b,x,y都是正數(shù),且a+b=1,求證:(ax+by)(bx+ay)≥xy. 證明:因?yàn)閍,b,x,y都是正數(shù), 所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2

9、)+xy(a2+b2) ≥ab·2xy+xy(a2+b2)=(a+b)2xy. 又a+b=1,所以(ax+by)(bx+ay)≥xy. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立. 3. 已知x,y,z∈R,且x+2y+3z+8=0.求證:(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14. 證明:因?yàn)閇(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](12+22+32) ≥[(x-1)+2(y+2)+3(z-3)]2 =(x+2y+3z-6)2=142, 當(dāng)且僅當(dāng)==,即x=z=0,y=-4時(shí),取等號(hào), 所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥14. 4. 已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x

10、+1|,函數(shù)g(x)=f(x)+|x+1|的值域?yàn)镸. (1) 求不等式f(x)≤3的解集; (2) 若t∈M,求證:t2+1≥+3t. (1) 解:依題意,得f(x)=于是得f(x)≤3?或或解得-1≤x≤1.即不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤1}. (2) 證明:g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-2x-2|=3, 當(dāng)且僅當(dāng)(2x-1)(2x+2)≤0時(shí),取等號(hào),∴M=[3,+∞). 原不等式等價(jià)于t2-3t+1-==. ∵t∈M,∴t-3≥0,t2+1>0. ∴≥0.∴t2+1≥+3t. 5. (2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)二模

11、)已知a,b,c為正實(shí)數(shù),求證:++≥a+b+c. 證明:∵ a,b,c為正實(shí)數(shù),∴ a+≥2b,b+≥2c,c+≥2a, 將上面三個(gè)式子相加得a+b+c+++≥2a+2b+2c, ∴ ++≥a+b+c. 6. 設(shè)a1,a2,a3均為正數(shù),且a1+a2+a3=1,求證:++≥9. 證明:因?yàn)閍1,a2,a3均為正數(shù),且a1+a2+a3=1,所以++=(a1+a2+a3)≥3(a1a2a3)·3=9(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3時(shí)等號(hào)成立),所以++≥9. 7. 已知正數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=1,求++的最小值. 解:++=(x+2y+3z) =1+4+9++++++ ≥

12、14+2+2+2=36, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=時(shí)等號(hào)成立, ∴ ++的最小值為36. 8. 已知x>0,y>0,z>0且xyz=1,求證:x3+y3+z3≥xy+yz+zx. 證明:∵ x>0,y>0,z>0, ∴ x3+y3+z3≥3xyz. 同理x3+y3+1≥3xy,y3+z3+1≥3yz,x3+z3+1≥3xz. 將以上各式相加,得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3zx. ∵ xyz=1,∴ x3+y3+z3≥xy+yz+zx. 9. 已知a,b,c均為正數(shù),且a+2b+4c=3.求++的最小值,并指出取得最小值時(shí)a,b,c的值. 解:∵ a+

13、2b+4c=3,∴ (a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10. ∵ a,b,c為正數(shù), ∴ 由柯西不等式得[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]·≥(1++2)2. 當(dāng)且僅當(dāng)(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2時(shí),等式成立. ∴++≥, ∴ 2(c+1)+2(c+1)+4(c+1)=10, ∴ c=,b=,a=. 10. 已知a+b+c=1,a,b,c>0.求證: (1) abc≤; (2) a2+b2+c2≥. 證明:(1) a+b+c≥3·,而a+b+c=1?abc≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào). (2) 由柯西不等式得a2+b2+c2≥(a+b+c)2=,由(1)知≤, ∴ a2+b2+c2≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào). 11. 已知函數(shù)f(x)=,g(x)=.若存在實(shí)數(shù)x使f(x)+g(x)>a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:存在實(shí)數(shù)x使f(x)+g(x)>a成立, 等價(jià)于f(x)+g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)+g(x)=+ =×+1×, 由柯西不等式得,(×+1×)2≤(3+1)·(x+2+14-x)=64, ∴ f(x)+g(x)=+≤8,當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)取等號(hào). 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,8).

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